任意角三角函数的定义

关于任意角三角函数的定义第一页，共十五页，2022年，8月28日2初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)

思考

角的范围已经推广，那么我们如何定义任意角

的三角函数呢？

AB邻边

斜边对边C复习第二页，共十五页，2022年，8月28日3

任意角三角函数的定义

已知是任意角，P(x，y)，P'(x'，y')是角的终边与两个半径不同的同心圆的交点，

则由相似三角形对应边成比例得由于点

P，P

在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得P'PyxOx'y'r'yxr新授第三页，共十五页，2022年，8月28日4

所以当角

不变时，不论点P在角的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只依赖于的大小，与点P在角终边上的位置无关.新授第四页，共十五页，2022年，8月28日1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yox1M第五页，共十五页，2022年，8月28日2.任意角的三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

那么:（1）叫做角的正弦，记作，即；

（2）叫做角的余弦，记作,即；（3）叫做角的正切，记作，即。

所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.第六页，共十五页，2022年，8月28日7例1

已知角

终边经过点P（2，-3）如图，求角

的三个三角函数值．OyxP（2，-3）解已知点P（2，-3），则例题讲解第七页，共十五页，2022年，8月28日8设角的终边上的任意一点P（x，y），点

P到原点的距离为

r.

于是我们有如下定义：比值叫做角的余弦.记作cos比值叫做角的正弦.记作sin比值叫做角的正切.记作tan新授第八页，共十五页，2022年，8月28日9

依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应关系都是以角为自变量的函数，分别称作角的余弦函数、正弦函数和正切函数．新授第九页，共十五页，2022年，8月28日10计算三角函数值的步骤：S1

画角在直角坐标系中，作转角

；S2

找点在角的终边上任找一点P，使

OP＝r，并量出该点的纵坐标和横坐标；S3求值根据三角函数定义，求出角

的三角函数值．

三角函数求值新授第十页，共十五页，2022年，8月28日11例2

试确定三角函数在各象限的符号．解由三角函数的定义可知，sin

＝，角

终边上点的纵坐标y的正、负与角

的正弦值同号；cos

＝，角

终边上点的横坐标x的正、负与角

的余弦值同号；tan

＝，则当x与y同号时，正切值为正，当x与y异号时，正切值为负．例题讲解第十一页，共十五页，2022年，8月28日12记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦xyoxyoxyo三角函数在各象限的符号如下图所示：

新授第十二页，共十五页，2022年，8月28日3.根据三角函数的定义，确定它们的定义域三角函数定义域RR第十三页，共十五页，2022年，8月28日14(2)因为130是第二象限角，所以cos130

＜0.练习1确定下列各三角函数值的符号：(1)

；(2)cos130；

(3)

(3)因为是第三象限角，解(1)因为是第四象限角，