曾谨言量子力学课件第二章

第二章一维势场中的粒子第二章一维势场中的粒子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质§2.2方势§2.3δ势§2.4一维谐振子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质§1一维势场中粒子能量本征态的一般性质

在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。其好处主要有四：

（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；

（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。§1一维势场中粒子能量本征态的一般性质在继续

下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。设粒子质量为m，沿x方向运动，势能为V（x），则Schrodinger方程表示为：

对于定态，即具有一定能量E的状态，波函数形式为（3）（1）（2）（4）下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。定理1设是方程（3）的一个解，对应的能量本征值为E，则也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E。证明取复共扼得证定理1设是方程（3）的一个解，对应的能量本征定理2对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。证明实解实解集合复解得证定理2对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（3）的定理3

设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）＝V（x）。如是方程（3）的对应于能量本征值E的解，则也是方程（3）的对应于能量本征值E的解。证明得证定理3设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）＝V（x空间反射算符P定义为

按定理3，如V（－x）＝V(x)，则与都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。偶宇称奇宇称则称波函数没有确定的宇称。空间反射算符P定义为按定理3，如V（－x）＝V(x定理4设V（－x）＝V（x），则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开。证明得证定理4设V（－x）＝V（x），则对应于任何一个能量本征对于一维方势场，可证明下列定理：定理5

对于阶梯方位势有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的（但如果，则定理不成立）。在V（x）连续的区域，连续（11）证明对于一维方势场，可证明下列定理：定理5对于阶梯方位势在在V（x）发生阶梯形跳跃处，有限跃变在x－a邻域对方程（11）积分连续得证在V（x）发生阶梯形跳跃处，有限跃变在x－a邻域对方程（11定理6对于一维粒子，设和均为方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则证明对束缚态(14)(15)得证定理6对于一维粒子，设和均为方程定理7

设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。证明得证设和是方程（3）的属于能量E的两个束缚态解定理7设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，§2方势（一）无限深方势阱（二）有限深方势阱（三）束缚态与离散谱（四）方势垒的反射和透射（五）方势阱的反射、透射和共振§2方势（一）无限深方势阱2.2.1一维无限深势阱求解S—

方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数0a2.2.1一维无限深势阱求解S—方程分四步：0在阱内（0<x<a），能量本征方程为（2）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。因及有限，由（2）

（3）在阱内（0<x<a），能量本征方程为（2）一维无限深方势阱中讨论：（a）最低能级不为0；（b）节点；（c）波函数在全空间连续，但微商在x＝0和a点不连续。（10）讨论：（10）2.2.2有限深对称方势阱在阱外（，经典禁区）2.2.2有限深对称方势阱在阱外（，经典禁在阱内（，经典允许区）考虑势阱具有空间反射不变性，在阱内（，经典允许区）考虑势阱具有空间反射（a）偶宇称态（a）偶宇称态（b）奇宇称态

在对称方势阱情况下，无论的值多少，至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶。对奇宇称，只有，才可能出现最低的奇宇称能级。（b）奇宇称态在对称方势阱情况下，无论的2.2.3束缚态与离散谱

束缚能量本征态（E<V0）的能量是离散的，它是束缚态边条件下求解能量本征方程的必然结果。

在经典允许区（V<E），波函数是振荡函数，E－V越大的区域，振荡越快；此外，由于两者符号相反，波函数总向x轴弯曲。2.2.3束缚态与离散谱束缚能量本征态（E<

在经典禁区（V>E），波函数是e指数，而且由于两者符号相同，波函数总背离x轴弯曲。在经典禁区（V>E），波函数是e指数，而且由于两者0aV(x)V0IIIIIIE2.2.4方势垒的反射与透射势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，其定义如下：考虑，在势垒外0aV(x)III因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故反射项＝0入射粒子流密度为反射流密度和透射流密度分别为反射系数和透射系数分别为因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故反射项＝0入射粒子流密度为反在势垒内部在势垒内部此结果表明，即使，透射系数一般不等于零。(44)此结果表明，即使，(44)

粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应

.隧道效应的本质:来源于微观粒子的波粒二相性.经典量子隧道效应粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一维方势垒以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到的III区域，另一部分则被势垒反射回来。表明粒子数守恒(45)ⅠⅡⅢ一维方势垒以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到例1:入射粒子为电子。设E=1eV,U0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å

则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。

质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。例2:入射粒子为质子。

由例1、2看出，只有粒子的质量和势垒宽度比较小时，隧道效应才显著例1:入射粒子为电子。设E=1eV,U0=2eV,应用实例

1962年,Josephson预言了Josephson节。将两块超导体用一绝缘层隔开,如果绝缘层较厚,电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。Josephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。

隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。应用实例1962年,Josephson预言了Joseph

STM的发明者宾尼、罗雷尔和电子显微镜的发明者卢斯卡分享了1986年诺贝尔物理奖。

第一台扫描隧道显微镜STM是由美国IBM公司的宾尼和罗雷尔在1982年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。宾尼罗雷尔STM的发明者宾尼、罗雷尔和电子显微镜的发明者卢斯卡分扫描隧道显微镜（STM）装置示意图U0U0U0样品针尖dE电子云重叠扫描隧道显微镜（STM）装置示意图U0U0U0样品针尖dE电STM显示的生物DNA分子表面图像STM显示的生物DNA分子表面图像用STM得到的神经细胞象用STM得到的神经细胞象硅表面77重构图象硅表面77重构图象

液体中观察原子图象

在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜单晶表面的STM图象。

液体中观察原子图象在电解液中得到的硫酸根离中国科学院科学家的“原子书法”

在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图（纳米量级）

在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为2纳米的线条字样操纵原子已不是梦中国科学院科学家的“原子书法”在石墨表面上刻“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了

用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成的“量子围栏”用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成(49)(49)2.2.5方势阱的反射、透射与共振(51)2.2.5方势阱的反射、透射与共振(51)共振透射物理意义如下透射强反射强如，则T＝1，这是意料中的事，因此时无势阱。但一般情况下，则T<1，，即粒子有一定概率被势阱弹回。这完全是一种量子效应，非经典力学可以解释的。共振透射物理意义如下透射强如，则T＝1，这是意§3δ势2.3.1δ势的穿透跃变条件δ势垒§3δ势2.3.1δ势的穿透跃变条件δ势垒根据x＝0点波函数连续及跃变条件，有：根据x＝0点波函数连续及跃变条件，有：(10)(11)(12)讨论：1）势垒换成势阱，透射系数、反射系数的值不变。2）特征长度，特征能量，透射波的振幅只依赖于，而透射系数只依赖于当，即高能极限下粒子将完全穿透势垒。3）波函数的导数在x＝0处不连续，但粒子流密度连续。(10)(11)(12)讨论：2.3.2δ势阱中的束缚态跃变条件(19)δ势阱在x不为0处，V（x）＝0，所以E>0为游离态，E可以取一切实数值，是连续变化的，而E<0时，则可能存在束缚态。2.3.2δ势阱中的束缚态跃变条件(19)δ势阱在x不A）偶宇称态归一化条件特征长度粒子能量本征值A）偶宇称态归一化条件特征长度粒子能量本征值B）奇宇称态由波函数连续条件（x＝0）从物理上考虑，奇宇称波函数在x＝0点必为零，而δ势又恰好只在x＝0点起作用。所以δ势对奇宇称态没有影响，不可能形成束缚态。B）奇宇称态由波函数连续条件（x＝0）从物理上考虑，奇宇称波2.3.3δ势与方势的关系，跃变条件在微观物理学中，δ势常作为一种理想的短程作用来讨论问题，δ势可看作方势的一种极限情况。所有涉及δ势的问题，原则上都可以从方势情况下取极限而得以解决。但直接采用δ势来求解，往往简便得多。下面仅就跃变条件来讨论。2.3.3δ势与方势的关系，跃变条件在微观物理学中，δ势常跃变条件现在让当有跃变条件现在让当有§4一维谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则§4一维谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（1）方程的建立为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数2.方程的求解（7）

为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2，于是方程变为：其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，欲验证解的正确性，可将其代回方程，ξ2>>±12.方程的求解（7）为求解方程，我们先看一下它的渐其解方程（7）在处的有限解为

令方程（6）的解

（9）

波函数有限性条件：当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为：其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。方程（7）在处的有限解为令方程（6）的解（本征函数:

用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（10）满足有限性条件的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：（称为厄密方程）(10)(11)称为厄密多项式将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数

H(ξ)所满足的方程：本征函数:用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（10）满厄密多项式的微分形式积分公式(13)几个厄密多项式：厄密多项式的微分形式积分公式(13)几个厄密多项式：由归一化条件并运用积分公式：

求得归一化常数(14)3.线性谐振子的能量本征函数(15)归一化的本征函数由归一化条件并运用积分公式：求得归一化常数(14)3.线本征波函数(14)4.线性谐振子的本征能量由(5)和(11)式,即由和得本征能量:

(15)本征波函数(14)4.线性谐振子的本征能量由(5)和(111能量的本征值：

（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为

（2）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为1（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度）（3）基态能量：（又称零点能）

零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实。讨论1能量的本征值：（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为（基态能量：基态本征函数：2.基态在处的势能：在范围内动能由几率密度看出,粒子在处出现的几率最大；在范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。

基态能量：基态本征函数：2.基态在处的

在经典情形下，粒子将被限制在范围中运动。这是因为振子在处，其势能，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在内。可见，量子与经典情况完全不同。3.具有宇称

上式谐振子波函数所包含的是的偶函数，所以的宇称由厄密多项式的宇称决定。由于的最高次项是。当偶数，则厄密多项式只含ξ的偶次项(偶宇称)；当奇数，则厄密多项式只含ξ的奇次项(奇宇称)。所以,具有宇称.在经典情形下，粒子将被限制在范围中运动。这是线性谐振子的前六个本征函数由图可以看出，在有限范围内与轴相交n次，即方程有n个根，或者说有n个节点。线性谐振子的前六个本征函数由图可以看出，在有限范围内与轴相交第二章一维势场中的粒子第二章一维势场中的粒子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质§2.2方势§2.3δ势§2.4一维谐振子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质§1一维势场中粒子能量本征态的一般性质

在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯穿）。其好处主要有四：

（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；

（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。§1一维势场中粒子能量本征态的一般性质在继续

下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。设粒子质量为m，沿x方向运动，势能为V（x），则Schrodinger方程表示为：

对于定态，即具有一定能量E的状态，波函数形式为（3）（1）（2）（4）下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。定理1设是方程（3）的一个解，对应的能量本征值为E，则也是方程（3）的一个解，对应的能量也是E。证明取复共扼得证定理1设是方程（3）的一个解，对应的能量本征定理2对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。证明实解实解集合复解得证定理2对应于能量的某个本征值E，总可以找到方程（3）的定理3

设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）＝V（x）。如是方程（3）的对应于能量本征值E的解，则也是方程（3）的对应于能量本征值E的解。证明得证定理3设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）＝V（x空间反射算符P定义为

按定理3，如V（－x）＝V(x)，则与都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。偶宇称奇宇称则称波函数没有确定的宇称。空间反射算符P定义为按定理3，如V（－x）＝V(x定理4设V（－x）＝V（x），则对应于任何一个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解（每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E的任何解，都可用它们来展开。证明得证定理4设V（－x）＝V（x），则对应于任何一个能量本征对于一维方势场，可证明下列定理：定理5

对于阶梯方位势有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的（但如果，则定理不成立）。在V（x）连续的区域，连续（11）证明对于一维方势场，可证明下列定理：定理5对于阶梯方位势在在V（x）发生阶梯形跳跃处，有限跃变在x－a邻域对方程（11）积分连续得证在V（x）发生阶梯形跳跃处，有限跃变在x－a邻域对方程（11定理6对于一维粒子，设和均为方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则证明对束缚态(14)(15)得证定理6对于一维粒子，设和均为方程定理7

设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。证明得证设和是方程（3）的属于能量E的两个束缚态解定理7设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，§2方势（一）无限深方势阱（二）有限深方势阱（三）束缚态与离散谱（四）方势垒的反射和透射（五）方势阱的反射、透射和共振§2方势（一）无限深方势阱2.2.1一维无限深势阱求解S—

方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数0a2.2.1一维无限深势阱求解S—方程分四步：0在阱内（0<x<a），能量本征方程为（2）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。因及有限，由（2）

（3）在阱内（0<x<a），能量本征方程为（2）一维无限深方势阱中讨论：（a）最低能级不为0；（b）节点；（c）波函数在全空间连续，但微商在x＝0和a点不连续。（10）讨论：（10）2.2.2有限深对称方势阱在阱外（，经典禁区）2.2.2有限深对称方势阱在阱外（，经典禁在阱内（，经典允许区）考虑势阱具有空间反射不变性，在阱内（，经典允许区）考虑势阱具有空间反射（a）偶宇称态（a）偶宇称态（b）奇宇称态

在对称方势阱情况下，无论的值多少，至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶。对奇宇称，只有，才可能出现最低的奇宇称能级。（b）奇宇称态在对称方势阱情况下，无论的2.2.3束缚态与离散谱

束缚能量本征态（E<V0）的能量是离散的，它是束缚态边条件下求解能量本征方程的必然结果。

在经典允许区（V<E），波函数是振荡函数，E－V越大的区域，振荡越快；此外，由于两者符号相反，波函数总向x轴弯曲。2.2.3束缚态与离散谱束缚能量本征态（E<

在经典禁区（V>E），波函数是e指数，而且由于两者符号相同，波函数总背离x轴弯曲。在经典禁区（V>E），波函数是e指数，而且由于两者0aV(x)V0IIIIIIE2.2.4方势垒的反射与透射势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，其定义如下：考虑，在势垒外0aV(x)III因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故反射项＝0入射粒子流密度为反射流密度和透射流密度分别为反射系数和透射系数分别为因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故反射项＝0入射粒子流密度为反在势垒内部在势垒内部此结果表明，即使，透射系数一般不等于零。(44)此结果表明，即使，(44)

粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应

.隧道效应的本质:来源于微观粒子的波粒二相性.经典量子隧道效应粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一维方势垒以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到的III区域，另一部分则被势垒反射回来。表明粒子数守恒(45)ⅠⅡⅢ一维方势垒以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到例1:入射粒子为电子。设E=1eV,U0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å

则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。

质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。例2:入射粒子为质子。

由例1、2看出，只有粒子的质量和势垒宽度比较小时，隧道效应才显著例1:入射粒子为电子。设E=1eV,U0=2eV,应用实例

1962年,Josephson预言了Josephson节。将两块超导体用一绝缘层隔开,如果绝缘层较厚,电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。Josephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。

隧道效应已在现代技术中得到广泛应用，如隧道二极管、约瑟夫逊隧道结、扫描隧道显微镜等。应用实例1962年,Josephson预言了Joseph

STM的发明者宾尼、罗雷尔和电子显微镜的发明者卢斯卡分享了1986年诺贝尔物理奖。

第一台扫描隧道显微镜STM是由美国IBM公司的宾尼和罗雷尔在1982年发明的，它的显微分辨率超过电子显微镜数百倍，达到0.1nm。宾尼罗雷尔STM的发明者宾尼、罗雷尔和电子显微镜的发明者卢斯卡分扫描隧道显微镜（STM）装置示意图U0U0U0样品针尖dE电子云重叠扫描隧道显微镜（STM）装置示意图U0U0U0样品针尖dE电STM显示的生物DNA分子表面图像STM显示的生物DNA分子表面图像用STM得到的神经细胞象用STM得到的神经细胞象硅表面77重构图象硅表面77重构图象

液体中观察原子图象

在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜单晶表面的STM图象。

液体中观察原子图象在电解液中得到的硫酸根离中国科学院科学家的“原子书法”

在石墨表面上刻蚀的出来最小的中国地图（纳米量级）

在硅单晶表面上提走硅原子形成宽度为2纳米的线条字样操纵原子已不是梦中国科学院科学家的“原子书法”在石墨表面上刻“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了

用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成的“量子围栏”用STM移动48个Fe原子到Cu表面上构成(49)(49)2.2.5方势阱的反射、透射与共振(51)2.2.5方势阱的反射、透射与共振(51)共振透射物理意义如下透射强反射强如，则T＝1，这是意料中的事，因此时无势阱。但一般情况下，则T<1，，即粒子有一定概率被势阱弹回。这完全是一种量子效应，非经典力学可以解释的。共振透射物理意义如下透射强如，则T＝1，这是意§3δ势2.3.1δ势的穿透跃变条件δ势垒§3δ势2.3.1δ势的穿透跃变条件δ势垒根据x＝0点波函数连续及跃变条件，有：根据x＝0点波函数连续及跃变条件，有：(10)(11)(12)讨论：1）势垒换成势阱，透射系数、反射系数的值不变。2）特征长度，特征能量，透射波的振幅只依赖于，而透射系数只依赖于当，即高能极限下粒子将完全穿透势垒。3）波函数的导数在x＝0处不连续，但粒子流密度连续。(10)(11)(12)讨论：2.3.2δ势阱中的束缚态跃变条件(19)δ势阱在x不为0处，V（x）＝0，所以E>0为游离态，E可以取一切实数值，是连续变化的，而E<0时，则可能存在束缚态。2.3.2δ势阱中的束缚态跃变条件(19)δ势阱在x不A）偶宇称态归一化条件特征长度粒子能量本征值A）偶宇称态归一化条件特征长度粒子能量本征值B）奇宇称态由波函数连续条件（x＝0）从物理上考虑，奇宇称波函数在x＝0点必为零，而δ势又恰好只在x＝0点起作用。所以δ势对奇宇称态没有影响，不可能形成束缚态。B）奇宇称态由波函数连续条件（x＝0）从物理上考虑，奇宇称波2.3.3δ势与方势的关系，跃变条件在微观物理学中，δ势常作为一种理想的短程作用来讨论问题，δ势可看作方势的一种极限情况。所有涉及δ势的问题，原则上都可以从方势情况下取极限而得以解决。但直接采用δ势来求解，往往简便得多。下面仅就跃变条件来讨论。2.3.3δ势与方势的关系，跃变条件在微观物理学中，δ势常跃变条件现在让当有跃变条件现在让当有§4一维谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则§4一维谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（1）方程的建立为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数2.方程的求解（7）

为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2，于是方程变为：其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，欲验证解的正确性，可将其代回方程，ξ2>>±12.方程的求解（7）为求解方