专升本高等数学(一)分类模拟24

专升本高等数学(一)分类模拟24(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：28.00)A．1.在[-1，1]上满足罗尔中值定理的所有条件的函数f(x)= A．B．|x|C．x2-1D．x+1（分数：3.00）A.B.C.√D.A，x=0(1y=f(x)在[ab(2)在(aA，x=0B，f"(0)不存在．B，f"(0)不存在．定理的三个条件，应选C．对D，f(x)=x+1，f(-1)=0，f(1)=2，f(-1)≠f(1)，不满足第三个条件在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的函数，f(x)= C．A．ln(x-1)B．lnxC．D．lnlnx（分数：3.00）A.√C.D.解析：[解析]当x=1时，函数ln(x-1)无定义，ln(x-1)在[1，e]不连续，故不选A．C，x=11，e]不连续．B，f(x)=lnx[1，e1，e)内可导，故y=lnxC，x=11，e]不连续．3.设在[1，2]满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的3.设在[1，2]满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ＝ A．C．D．（分数：3.00）C．D．A.B.√解析：[解析]因解析：[解析]因a=1，b=2；f(a)=1，，故，于是但，故，应4.函数的单调减少区间是4.函数的单调减少区间是 （分数：3.00）A.(-∞，-2)，(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，0)，(0，+∞)解析：[解析]由，定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，，令y"=0，得x=±2．解析：[解析]由，定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，，令y"=0，得x=±2．列表：

x(-∞，-2)(-2，0)(0，2)(2，+∞)y + - - +y ↗ ↘ ↘ ↗5.设，则x=15.设，则x=1是f(x)[-2，2]上的 （分数：3.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点12小值点．但12小值点．但，于是，x=1也是最小值点．应选B．

-1．令f"(x)=0，得驻点x

=1．f"(x)=2x，f"(1)=2＞0，故x=1是极B．B．设a＜x＜b，f"(x)＜0，f"(x)＞0，则曲线f(x)在区间(a，b)内沿x轴正向 （分数：3.00）下降且上凹 √CD解析：[解析]当a＜x＜b时，f"(x)＜0，曲线f(x)在(a，b)内沿x轴下降；由f"(x)＞0，知曲线f(x)在(a，b)内沿x轴正向上凹，故曲线f(x)在(a，b)内下降且上凹，选A．7.设f"(x)＜0，f"(x)＜0，Δx＞0，Δy=f(x+Δx)-f(x)，dy=f"(x)Δx， （分数：3.00）Δy＞dy＞0Δy＜dy＜0√dy＞Δy＞0dy＜Δy＜0解析：[解析]由于f"(x)＜0，Δx＞0，知道dy=f"(z)Δx＜0，故除掉A，C．8.曲线 渐近线．由f(x)＜0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)是单调下降且上凸，如图所示．从中可知8.曲线 渐近线．（分数：7.00）A.仅有水平 B.仅有铅直，知，知y=1，又函数yx=0，知无铅直渐近线，故选A．二、解答题(总题数：14，分数：72.00)9.设函数在9.设函数在x =1处可导，试确定常数a和b的值．（分数：3.00）正确答案：()f(x)f(1)=a，

=10

=1处连续．但0故a=1+b．0再由于f(x)在x0

=1处可导，其左、右导数存在且相等，即f"-(1)=f"+(1)，于是故a=2．将a=2代入a=1+b，得b=1．利用f"-(1)=f"+(1)的条件也可用如下方法．用求导的方法可得又f"(1)存在，故f"(1)=f"-(1)=f"+(1)，但10.按定义求10.按定义求x=1X（分数：3.00）正确答案：()根据导数定义求函数的导数，如果是求在一点处的导数，用求较方便；如果是求在任意一点处的导数，用根据导数定义求函数的导数，如果是求在一点处的导数，用求较方便；如果是求在任意一点处的导数，用较方便．（分数：3.00）正确答案：()x内的情形，故x内的情形，故即f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，故f(x)在点x=0处连续．又即f"

(0)≠f"-

(0)，故f(x)在点x=0处不可导．求下列函数的导数：（分数：18.00）(1).y=sin3xcos5x；（分数：3.00）正确答案：()解析：解y"=(sin3xcos5x)"=(sin3x)"cos5x+sin3x(cos5x)"=cos3x(3x)"cos5x+sin3x(-sin5x)(5x)"yy，则可将两种答案化为相等，留给读者来做．(2).y=3

xex

；（分数：3.00）正确答案：()(3).（分数：3.00）(3).（分数：3.00）

x]"=(3e)

xln(3e)=(3e)

x(1+ln3)．解析：解解析：解解析：解正确答案：()解析：解若直接求导数，则解析：解(5).（分数：3.00）解析：解(5).（分数：3.00）解析：解在求函数的导数时，要求熟练掌握并记住基本初等函数的求导公式和掌握导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则．复合函数求导法则，既是重点又是难点，其关键在于正确分析已知的复合函数是由哪些中间变量复合而成．解析：解(1).（分数：3.00）(1).（分数：3.00）正确答案：()解析：解(2).f(x)=coslnx．（分数：3.00）解析：解正确答案：()解析：解12.求解析：解12.求x=1正确答案：()解析：解故设曲线y=xlnx，在该曲线上的点P(x，y解析：解故0 0切线方程．（分数：3.00）

)处的切线平行于直线y=2x，求点P(x，y0 0

)的坐标和(4).（分数：3.00）解析：解(4).（分数：3.00）解析：解(6).（分数：3.00）正确答案：()解析：解由于点P(x0

，y y=xlnx0

=x 0 0

，y"=(xlnx)"=1+lnx，0y"|x=x

=1+lnx ．0 0

，y)处的切线平行于直线y=2x，直线y=2x的斜率k=2，故曲线上点P(x0 0

，y )0 0处的切线斜率是2，即1+lnx0e)，所求切线方程为y-e=2(x-e)，即2x-y-e=0．

=2，解得x0

=e，相应地得y=x0 0

lnx0

=elne=e，故P(x，y0 0

)=(e，设f(x)可导，求：（分数：12.00）(1).[f3(x)]"；（分数：3.00）正确答案：()解析：解[f3

(x)]"=3f

2(x)，f"(x)；(2).[f(x3)]"；（分数：3.00）(3).（分数：3.00）(3).（分数：3.00）

3)]"=3x

2f"(x

3)；解析：解正确答案：()解析：解(4).[-lnf(x3)]"．（分数：3.00）正确答案：()解析：解求由方程解析：解

x+y

，确定的函数y(x)的导数．（分数：3.00）正确答案：()解析：解1两端对x求导，注意y是x的函数，则y+xy" x化简得

x+y

(1+y")，x解2利用微分形式不变性，得ydx+xdy=e化简即得

x+y

(dx+dy)，解3设F(x，y)=xy-ex+y解3设F(x，y)=xy-ex+y≡0，得，其中F"(x，y)和F" (x，y)分别表示F(x，y)对x和y的偏导数．xy故yxxy故

x+y

，把x看作常数，对y求导，得F"

(x，y)=x-e

x+y，解4利用对数求导法，两端取对数，得ln|x|+ln|y|=x+y(因x与y同号，此处取绝对值)，两端对x求导，得整理得求由方程x

=y

确定的函数x(y)的导数．（分数：3.00）正确答案：()解析：解两端取对数，得ylnx=xlny，注意x是y的函数，两端对y求导，得整理得若对方程取对数后两端求微分，得则对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数，用对数求导法常常比较方便．对于幂指函数y=u(x)v(x)(u(x)＞0)，可以利用指数函数与对数函数的关系，将其化为y=e

v(x)lnu(x)．16.求星形线在处的法线方程．16.求星形线在处的法线方程．解析：解当时，（分数：3.00）正确答案：()切线斜率，法线斜率，故法线方程为y=x．切线斜率，法线斜率，故法线方程为y=x．（分数：3.00）正确答案：()解析：解1因为过P点的切线在两个坐标轴上的截距相等，故设在P点的切线方程为解得，将其代入y=4-x2，得解得，将其代入y=4-x2，得．因此，P解2设切点P的坐标(x 0点的切线方程是

)，曲线y=4-x20

。在P点的斜率为y"|

x=x0

=-2x|

x=x0

=-2x0

，故过Py-y

=-2x0

(x-x )，0 000000000y=0，得切线在x；令x=0，得切线在y轴上的截距y=4+x 2．

-2x

(x-x

)=4-x

2

(x-x )．0解出，即解出，即18.设，求18.设，求正确答案：()解析：解解析：解

2+y2=a

2后求导，留给读者．求下列函数的微分：（分数：6.00）(1).y=xlnx+sin(x2)；（分数：3.00）正确答案：()解析：解求微分有两种方法：运用微分定义dy=f"(x)dx，求出f"(