2020高二下册期中考试数学试题(理)有答案

第二学期其中考试试卷

高二数学理科第I卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、计算复数(i是虚数单位)IA.1+2iB.—1+2iC.—1—2iD.1—2i2、函数y二x2—1的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A.1B.2C.0D.-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A.②①③B.③①②C.①②③D.②③①4、设f(x)=xInx,若x二3)，则x二00ln2A.e2B.eC.D.ln22f丘5、J2cosxdx等于0A.-込f丘5、J2cosxdx等于0A.-込2B.C.D.6、若f(x)=sina—cosx，则广(a)等于A.sinaB.cosac.sina+cosa7、函数f(x)=(x—3)ex的单调区间是D.2sinaA.(-®2)B.(2,+s)C.(1,4)D.(0,3)8、设函数f(x)是函数f(x)的导函数，y=f，(x)y=f(x)的图象最有可能的是9、函数y=x3—3x2—9x(0<x<4)有A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27，无极大值10、已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2—x)+ex—1+x2,广(1)=A.2B.3C.-1D.1第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.11、核黄素f(x)=sin2x，则函数的导函数为广(X)=12、复数z=1-2i,|Z=13、在AABC中，不等式++1>-成立，在四边形ABCD中，不等式1+丄+丄+丄>16成立;ABC兀ABCD2兀TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1111125在五边形ABCDE中，不等式++++>成立，\o"CurrentDocument"ABCDE3兀猜想在n边形AALA中，有不等式成立。12n__14、把复数z的共轭复数记作z,已知(1+i)z=1-i，则z=15、函数y=X3-x2+x-2图象在于y轴交点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为三、解答题：本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、(本小题满分10分)当实数m取何值时，在复平面内与复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i对应点满足下列条件？(1)在第四象限；(2)在直线x一y+3=0上。17、(本小题满分10分)用数学归纳法证明1+2+22+L+2n-1=2n—1(ngN*)18、(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11求函数f(x)的递减区间；讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有写出极值。19、(本小题满分10分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。求a,b的值；对于任意的xg[°，3]，求f(x)的最值。20、(本小题满分10分)已知x=2是函数f(x)=(x2+ax—2a—30的一个极值点(e=2.718L)求实数a的值；求函数f(x)在xg[|,3]的最大值和最小值。四、附加题(共3道题，共30分)21、(本小题满分10分)11125用数学归纳法证明++L+>对任意正整数n成立。n+1n+23n+124

22、(本小题满分10分)已知二次函数f(x)满足：①在x二1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。23、(本小题满分10分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+—,x>0，其中a>01+x若f(x)在x二1处取得极值，求a的值；求f(x)的单调区间。高二数学(理)选择题题号12345678910答案CBAACABCDD填空题14.i11.2cos2x12.v'513.—+丄+A+—>一———,(n>2且neN14.iAAA(n-2加12n15.2三．解答题16解：复数z=(m2—4m)+(m2—m—6)i,对应点的坐标为Z(m2—4m,m2—m—6).(i)点z在第四象限，贝y[m2-4m>0fm<0或m>4{，解得彳ccm2-m-6<0I-2<m<3TOC\o"1-5"\h\z••・—2〈m〈0...5分仃I)点Z在直线x—y+3=0上，则(m2—4m)—(m2—m—6)+3=0,即一3m+9=0,・：m=3.10分17.①当n=1时，左边=1,右边二21-1=1,等式成立。...2分②假设当n二k时，等式成立，即1+2+22+…2k-1=2k—1.4分则当n=k+1时，1+2+22+—2k-1+2k=2k—1+2k=2k+1—1.8分所以，当n=k+1时等式成立。2分由此可知，对任何neN*，等式都成立。.10分2分1&解：令八x)=0，得x1=-1，x1=3

x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:x(—8,—1)-1(—1,3)3(3,+8)f'(x)+0—0+f(x)增极大值f(—1)减极小值f⑶增……………..6分由表可得函数的递减区间为(—1,3)..8分由表可得，当x=—1时，函数有极大值f(—1)=16；当x=3时，函数有极小值f(3)=—16...10分19.解：(I)f'(x)二6x2+6ax+3b因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值，则有f⑴=0，广⑵=0.6+6a+3b二0,24+12a+3b二0.解得a=—3，b=4..4分(II)由(I)可知,f(x)二2x3—9x2+12x+8cf'(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2).f'(x)=0解得x=1,x=2,.6分xb.i)1(1,2)2(2,3〕八x)+0—0+f(x)增极大值减极小值增……………8分最小值为f(0)=8c,最大值为f(3)=9+8c10分20解：(I)由f(x)=(x2+ax一2a一3)ex可得f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax一2a一3)ex=[x2+(2+a)x一a一3]ex………..4分•・•x=2是函数f(x)的一个极值点，・•・f'⑵=0(a+5)e2=0，解得a=—5..6分(II)由f(x)=(x—2)(x—1)ex>0，得f(x)在(—8,1)递增，在(2,+8)递增，由f(x)<0，得f(x)在在(1,2)递减3・•・f(2)=e2是f(x)在xg[-,3]的最小值；.8分2f(|)=4et，f⑶=e3•f(3)—f(|)=e3—4e-=4e2(4ef2—7)>0,f(3)>f(|)3・•・f(x)在xg[-,3]的最大值是f(3)=e3.10分2附加题1126251证明：(1)当n=1时，左二++=>，不等式成立.2分342424

(II)g(x)二f(X2)=X4—2x2—3,g(x)=4x3—4x=4x(x—1)(x+1).列表:x(y,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+s)f(x)一0+0一0+f(x)//由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+R)..10分a2ax2+a一23解：(I)fxax+1(1+x)2(ax+1)(1+x)2‘(2)假设当n=k时，不等式成立，即-+-—+L+->25k+(2)假设当n=k时，不等式成立，即-+-—+L+->25k+1k+23k+124贝9当n=k+1时，11

1

(k+1)+1(k+1)+213(k+1)+1—+—+L+-+-+-+—k+1k+23k+13k+23k+33k+425>+24112+_3k+23k+43(k+1)因为1+1=6(k±^>-3k+23k+49k2+18k+83(k+1)116(k+1)2所以+=>3k+23k+49k2+18k+83(k+1)112所以+_>03k+23k+43(k+1)所以当n=k+1时不等式也成立.10分f'(1)=0,2a+b=0,'由题设可得：<f'(0)=_2,即<b=_2,解得<f(0)=_3,c=_3.所以f(x)=X2-2x-3.由(1)(2)知，对一切正整数n，都有丄+丄+L+-^>25n+1n+23n+1242解:(I)设f(x)=ax2+bx+c，则f(x)=2ax+b.a=1,b=_2,c=_3..4分•・•f(x)在x=1处取得极值，・•・f'(1)=0,即agL2