2012年浙江省高考数学试卷理科详解

★结束前2012年普通高等学校招生同一（浙江卷）数学（理科）51345页．150分，120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的 涂、写在答题纸上．时间选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 标号。不能答在试题卷上．参考公式：A，B互斥，那么柱体的体积公式PABPAP★结束前2012年普通高等学校招生同一（浙江卷）数学（理科）51345页．150分，120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的 涂、写在答题纸上．时间选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 标号。不能答在试题卷上．参考公式：A，B互斥，那么柱体的体积公式PABPAPBVShA，B相互独立，那么PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V1Sh3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高nAk次的概率 ,nnkPkCkkp1p球的表面积公式nnS4πR2台体的体积公式V1hSSSS球的体积公式1 12 23V4πR33R表示球的半径SS分别表示台体的上底、下底面积，12h表示台体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}ACRB)＝A．(1，4)B．(3，4)C．(1，3)D．(1，2)【 A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(CRB)＝(1，4)．【】A3i＝2i是虚数1iB．2－iA．1－2iC．2＋iD．1＋2i3+i 3+i1+i2+4i【】 ＝＝＝1＋2i．1i】D22【3．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l3+i 3+i1+i2+4i【】 ＝＝＝1＋2i．1i】D22【3．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件l1l2【a 2，解之得：a＝1ora＝﹣2．所以为充分不必要条件．1 a1【】A2倍(纵坐标不变)1个长度，1个长度，得到的图像是【 1个1个y3＞0；x＝1，得：y3＝0；观察即得．2【 】Ba，b是两个非零向量．a⊥b|a＋b|＝|a|－|b|λa＝λbλa＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|a，b共线，即存在实Ba⊥b，由正方形得|a＋Dλa＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【】C94个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【5个奇数，44个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2C2C260种；544C45种．566种．【】D成立．【】C94个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【5个奇数，44个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2C2C260种；544C45种．566种．【】Dd(d≠0)的无穷等差数列{an}n项和，则下列命题的是d＜0，则数列{Sn}有最大项{Sn}d＜0若数列{Sn}是递增数列，则对任意的nN*，均有Sn＞0若对任意的nN*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列【 是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn＞0不成立．【 】Cx2y2B是虚轴的a2b2F1BCP，QPQ的垂直平分M．若|MF2|＝|F1F2|C的离心率是2362B．3C．2D．3【 b，kMN＝﹣b．cc(x＋c)(x＋c)PQ为：y＝b(x＋c)，两条渐近线为：y＝bx，得：Q(ac，bc)cc，得：ca cacabbaaacac， 直线MN为：y－ ＝﹣b(x－ )，bcbcP(ca cacac cac3c3c236，解之得：e2 e＝ ．得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝c2a2c2a2aa22【】Bc3c3c236，解之得：e2 e＝ ．得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝c2a2c2a2aa22【】Ba＞0，b＞02a2a2b3ba＞b2a2a2b3ba＜bC2a2a2b3ba＞bD2a2a2b3ba＜b】若2a2a2b3b，必有2a2a2b2bfx2x2xfx2xln220恒成【fx2x2xx＞0a＞b成立．其余选项用同样方法排除．【】A10ABCD，AB＝1，BC＝2．将ABDBD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，ACBD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直“ACBD”，“ABCD”，“ADBC”均不垂直【 简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．】C【2012年普通高等学校招生同一（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将 写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．7428分．11．已知某三棱锥的三视图(：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm3．【】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角131211．23【】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．】T，i关系如下图：【1120【】13．设公比为{an}n项和为{Sn}．若S23a22，S43a42，则q＝ ．【 】将S23a22，S43a42两个式子全部转化成用a1，q表示的式子．a1a1q3a1q2a12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．】T，i关系如下图：【1120【】13．设公比为{an}n项和为{Sn}．若S23a22，S43a42，则q＝ ．【 】将S23a22，S43a42两个式子全部转化成用a1，q表示的式子．a1a1q3a1q2aq2aq33a21)，即：230，解之得：，两式作差得：aaqaq2aq33aq321 111 1 1 11q3orq1(舍去)．232【14．若将函数fxx5表示为fxa 1xa1x21aa0 125中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝ ．【】法一：由等式两边对应项系数相等．a54a0a10．即：Ca53a031a544 3fxx5a 1xa1a法二：两边连续对x0 1260x26a24a(1x60a(1x)2x1606aa10．34533【 】1015．在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则ABAC＝ ．【】此题最适合的方法是特例法．假设ABCAB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．cos∠BAC＝34341029．ABAC＝ABcosBAC29234 34T112161241120i23456【 】29ClClC2：x2＋(y＋4)2＝2l：y＝x的距离，则实数a＝ ．【 2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：d【 】29ClClC2：x2＋(y＋4)2＝2l：y＝x的距离，则实数a＝ ．【 2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：d22，故曲线2C2l：y＝xddrd22．C1：y＝x2＋ay2x0x1，曲线C1：y＝x2＋al：y＝x的距离的点为21，1a)，d2 a7．2 44227【417．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝ ．【】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：无解；2无解．2因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)2－ax－1P(0，1)．1令y＝0，得M( 还可分析得：a＞1；a1211a考查函数y＝x2－x－显然过点M( 0代入a1a1 a1得 ：a2．1a41(1a)2 40(4)【 】a2三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(14分)在ABCA，B，Ca，b，ccosA＝2，3sinB＝5cosC．的值；(Ⅱ)a＝2，求ABC的面积．【】本题主要三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。25，30，∴sinA＝1【 】a2三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(14分)在ABCA，B，Ca，b，ccosA＝2，3sinB＝5cosC．的值；(Ⅱ)a＝2，求ABC的面积．【】本题主要三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。25，30，∴sinA＝1cos2A(Ⅰ)∵cosA＝＞3又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝ cosC＋2sinC．53整理得：tanC＝5．356(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝ac又由正弦定理知：，sinA sinC故c3．(1)b2c2a22对角A运用余弦定理：cosA＝．(2)2bc3解(1)(2)得：b3or b＝3(舍去)．35ABC的面积为：S＝ ．25【】(Ⅰ)5；(Ⅱ) ．2)4521分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随X3球所得分数之和．X的分布列；XE(X)．【】本题主要分布列，数学期望等知识点。X的可能取值有：3，4，5，6．C31520423)5 ；4;P(XC342C992C315246)4 ．；P(XC3C 4242)4521分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随X3球所得分数之和．X的分布列；XE(X)．【】本题主要分布列，数学期望等知识点。X的可能取值有：3，4，5，6．C31520423)5 ；4;P(XC342C992C315246)4 ．；P(XC3C 424299X的分布列为(Ⅱ)XE(X)为：691E(X)＝iP(Xi)21．i491．21【】(Ⅰ)见；(Ⅱ)P—ABCD中，底面是边长为2的中点．ABCD；(Ⅱ)AAQ⊥PCQA—MN—Q的平面角的余弦值．【】本题主要线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。BD.∵M，NPB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．MNABCD，∴MNABCD；(Ⅱ)如图建系：26)，M(3，3，0)，2 2N(3，0，0)，C(3，3，0)．X3456P542201042 2115542 142142 21∵QP(2)，∴(332)．由OQCP OQCP0，得：1． 333．3 3∵AM( ，，∵QP(2)，∴(332)．由OQCP OQCP0，得：1． 333．3 3∵AM( ，，2 2a33133a3b0Mn0 b31．∴n( 2 23a0ANn03 3c0(6)．记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，nv 10．则cos510．5A—MN—Q的平面角的余弦值为10．5【】(Ⅰ)见；(Ⅱ)x2y21102a b2Ol与CA，BABOP平分．C的方程；(Ⅱ)求ABPl的方程．【】(Ⅰ)ec1；(1)a 2P(2，1)d(2c)21210．(2)由(1)(2)a24，b23，c21．x2y2求椭圆C的方程为： + 1．4 3y0＝1x0．22∵A，B在椭圆上，nv2A yA4 3k ∴．ABx2xBB1A+4 3l：y＝﹣3xm(m≠0)，2x24y2+ 133x23mxm230．2显然(3m)243(m23)3(12m202A yA4 3k ∴．ABx2xBB1A+4 3l：y＝﹣3xm(m≠0)，2x24y2+ 133x23mxm230．2显然(3m)243(m23)3(12m20．∴﹣12＜m＜12m≠0．m23xAxB＝myAyB＝．3m2∴|AB|＝1k |xx|＝1kx)24xx＝1k4 ．(AB A BABBABAB3ld．1kAB 1kABm211∴SABP＝2d|AB|＝2|m＋2|4 ，3m214 m＝﹣3 or ABP)max＝2．3ly＝﹣3x1．2 2x2y231】(Ⅰ) + 1；(Ⅱ)y＝﹣x ．【4 32 221．(14分)a＞0，bRfx4ax32bxab．0≤x≤1时，(ⅰ)函数fx的最大值为|2a－b|﹢a；fx＋|2a－b|﹢a≥0；(ⅱ)若﹣1≤fx≤1x[0，1]a＋b的取值范围．(Ⅱ)【】本题主要不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。(Ⅰ)(ⅰ)fx12ax22b．b≤0fx12ax22b＞00≤x≤1上恒成立，m231mfxf14a2bab3ab＝|2a－b|﹢a；b＞0fxfxf1