城市系统工程学-相关分析与回归分析

第四

章

相关分析与回归分析2城市系统是一个极其复杂的系统，系统各要素之间存在着相互联系，相互影响和相互制约。为了定量的研究它们之间的数量关系，常常采用相关分析法和回归分析法确定它们之间的关系和性质，并概括成数学模型，进而对城市系统作出预测。3内容第一节城市系统要素间的相关分析第二节一元回归模型的建立

第一节城市系统要素间的相关分析51.1基本概念1、相关：是指两个或两个以上变数间相互关系是否密切。自变量与因变量视实际需要来确定。２、相关分析的限定范围：相关分析仅限于测定两个或两个以上变数具有相关关系者。３、相关分析的目的：得到两个或两个以上变数间的相关程度和性质。在城市系统中大多数要素间是具有相关关系的，因此，相关分析在城市规划中得到了广泛应用。61.2系统各要素间相互关系分类

（设X、Y为两种要素）１、函数关系或完全相关：若y严格的随着x的变化而变化，称函数关系，如图，所有观测点均落在直线或曲线上。２、统计相关：两个要素之间具有相关关系，观测点均落在直线或曲线两旁。如图，要素间既存在较密切的关系，但又不能由一个（或几个）要素（或变量）的值精确地求出另一个要素（变量）的值。３、不相关：两个要素间相互独立，没有依存关系，所有观测点在图中分布状态散乱，无规律可寻。7图4-1系统各要素间的相互关系图81.3相关程度的度量方法

由于相关基本类型的不同，因而度量相关程度的指标也各异。1.3.1简单直线相关程度的度量---相关系数(r)

相关系数是用来度量直线相关程度和方向的指标。1

相关系数计算公式：9102相关系数性质：a、相关系数的分布范围介于-1≤r≤+1之间；b、当相关系数为正值时，表示两个要素（或变数）之间为正相关；相关系数为负值时，表示两个要素（或变数）之间为负相关；c、相关系数的绝对值∣r∣越大，表示两个要素相关程度越密切。具体情况如下：当r=+1时，为完全正相关；r=-1时，为完全负相关；r=0时，完全无关。在实际工作中，r总处于0~+1或-1~0之间，见图4－1。11例1：求全国城市化水平（y）与年份（t）的相关系数，数据如下表：t（年）

19831984198519861987198819891990199119921993y（%）20.4722.0223.3823.8924.6625.5126.0826.4126.7527.7928.912解：（1）列相关系数计算表：13（2）代入公式计算：

141.3.2多要素相关与相关矩阵（R）1、定义：把两个变量间的相关推广扩大为若干对变量间相关，并把它们的相关系数按矩阵方式列出，称之为相关矩阵。表示形式：矩阵与列表

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相关矩阵必为正方矩阵，它对角线上各元素相关系数均为1（因是自相关），且主对角线上下三角形部分完全对称。2、意义：相关矩阵能帮助人们定量地判明各有关要素之间关系的密切程度。

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例如，在分析居住小区居住密度时，通常可以有户/公顷（ha），居住面积密度，居住建筑面积密度，居住建筑密度，每人用地面积，人口净密度等指标来衡量。同时用以上指标来衡量，非常繁琐，工作量也大，可以根据各个指标之间存在着的一定相互关系，一个指标可以大体地代表另一个指标来加以取舍，选择最具有代表性的指标。调查统计十余个居住小区，取得上述指标，求两两之间的相关系数，列相关系数矩阵如下：

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*自相关系数不参与平均。从表中得知：户/ha与其他指标间的相关最为密切，具代表性，但因家庭规模是不太稳定的值，故以第二密切的人口净密度指标作为居住密度指标（居住小区居住密度）。181.4相关系数的显著性检验

为了判定计算出来的相关系数是否有意义，通常要进一步对相关系数作显著性检验。为实用方便，前人已制定了相关系数检验表（见附表二）。其中n表示所使用资料（样本）的个数，α为信度，α越小，信度越高。

如例1：r=0.984，查附表二，当n-2=9,α=5%时，其临界相关系数rα=0.602；α=1%时，rα=0.735，可见|0.984|>0.602，且|0.984|>0.735，表明两者的线性相关程度已达到极显著水平，两者高度相关。19注意：r越大，并不表示相关程度就一定好，不能忽略样本的大小。

例1：n-2=5,α=5%时，其临界相关系数rα=0.754，如求得的r=0.7，则此相关系数没有意义，相关程度不显著；例2：n-2=100,α=5%时，其临界相关系数rα=0.195，如求得的r=0.4，则此例相关程度极显著。当相关系数经过显著性检验后，则可以对要素间的数量关系进一步作回归分析。20三种相关系数Pearson皮尔逊相关系数，计算连续变量或是说等间隔测度变量间的相关分析。Spearman斯皮尔曼相关系数，根据数据的秩求相关系数，即秩相关系数。Kendall’stau-b肯德尔相关系数，对两个有序变量或两个秩变量间的关系程度的测度，分析时考虑了节点（秩次相同）第二节一元回归模型的建立（两要素的回归分析与预测）

222.1一元（正态）线性回归模型2.1.1建立一元（正态）线性回归模型的基本思路假设两个要素（变量）x和y，x自变量，y因变量。假定一元线性模型结构为

yα=B0+B1xα+εα

式中，B0、B1为待定参数,α=1,2,…，n为n组观测数据，(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn),εα为随机变量。参数B0、B1为未知数，需根据yα

、xα观测值采用最小二乘法来估计。设b0、b1分别为参数B0、B1的最小二乘估计值，于是得一元线性回归模型为

上式代表x和y之间关系的最佳拟合直线，称为回归直线。23b0为常数，是y的截距；b1称回归系数，是直线的斜率（图5-2）：(1)b1值的大小反映变化率的大小；

（2）b1值反映方向。

2425262.1一元（正态）线性回归模型2.1.2一元线性回归模型的具体建立方法和步骤

例2：为检查某城市商业网点配置是否合理，调查了１０个居住小区，其居民户数（xi）和基层粮店数量(yi)见右表,求两者回归方程。

27解：（1）作散点图，求相关系数r:

n-2=8，取信度α=5%时，查表得其临界相关系数rα=0.632，可见|0.947|>0.632，表明两者的线性相关程度已达到极显著水平，两者高度相关，可作回归分析。28（2）计算b1，b0，求回归模型：

292.1一元（正态）线性回归模型2.1.3一元线性回归模型的效果检验1、回归模型估计的误差

由线性回归模型估计的值往往与实测值y不完全一致。由于用线性回归模型由x值估计值所产生的误差，称为回归方程估计的误差。剩余标准差（或标准估计误差）Ｓ是检验回归效果的重要标志，同时也是衡量预测精度的指标。Ｓ越小越好，在实际问题中，只要Ｓ≤允许的偏差就可以。

302、回归模型的显著性检验

n次观测值y1,y2,y3,…yn之间的差异，可用观测值yi与其算术平均值的离差平方和来表示，称为yi的总的离差平方和，记作

当样本n给定后，Q总是一个定值，于是Q剩余越大则Q回归越小。Q剩余越大说明剩余偏差越大，可能有某些因素的影响没有考虑进来，方程拟合得越差；相反，Q剩余越小，说明方程拟合得越好。31

此外，每个平方和都有一个自由度与其相联系。总平方和的自由度f总等于回归平方和的自由度f回与剩余平方和的自由度f剩之和，即

f总＝f回＋f剩

f总=n-1,n为样本数，1为因变量个数；

f回对应于自变量的个数，在一元回归方程中f回＝１，故f剩＝n-2。构造统计量F，

回归效果的好坏取决于Q回归在Q总中所占的比例的大小，该比值越大，即F越大，回归效果越显著；反之，亦反。这种将平方和和自由度同时进行分解，并用Ｆ检验法对整个回归方程进行显著性检验的方法，称方差分析。3334对回归方程的Ｆ检验可列成方差分析表进行：

若Ｆ≥Ｆα(1,n-2)，则回归方程显著；若Ｆ<Ｆα（1，n-2），则回归方程不显著。说明：(1)影响y的除x外，还有其他不可忽视的因素；

(2)x、y非线性相关；

(3)x、y无关。方差分析表35例2：

（3）预测精度估计：若预测3500户的住宅小区当预报精度要求95％时，根据3σ原则，即说明3500户居住区设置5或6个粮店均正常。

363σ原则：对正态分布的随机变量来说，几乎可以认为它的取值范围总是落在区间（μ－3σ，μ＋3σ

）之内，落在此区间之外几乎不可能。3σ原则37（4）作F检验：

定α=0.05，f回＝１，f剩＝8，查F分布表（附表4）

F0.05（1，8）=5.32，F＞Fα，说明方程显著。表：方差分析表38作业：用例1的数据求年份（t）和城市化水平(y)两者的回归方程，并对回归方程作F检验。39答案：F0.05（1，9）=5.12，F＞Fα，说明方程显著。402.2一元非线性回归模型的建立

2.2.1非线性回归关系、常见曲线及线性化处理1、幂指数函数（Power）：（图5-7）

412、指数函数(Exponential)：（图5-8）423、双曲线函数(Inverse)：（图5-9）左：书本公式；右：SPSS公式

434、负指数函数：（图5-10）445、对数函数（Logarithmic）：（图5-11）456、Ｓ曲线(S)：（图5-12）

467、生长曲线(Growth)：（图5-13）

47482.2一元非线性回归模型的建立2.2.2回归模型的建立例3：某市人口密度y（万人/平方公里），与市中心距离x（公里）抽样调查值如下，对其作非线性回归模型。NOX（km）Y（万人/km）102.8854222.1493333.4750451.3910570.9737690.704349解：

（1）作散点图：样本3数值突然增大，无法解释，可判断其为错误样本（奇异点）加以剔除。根据散点图，初步选定模型为指数函数。（2）线性化处理：50（3）列一元非线性回归计算表，求得：

51（4）求得，代入模型得方程：

522.2一元非线性回归模型的建立2.2.3

回归模型的效果检验

在非线性回归问题中，为表明所配曲线与实际观测数据间拟合的密切性，用相关指数R2对其进行检验。R2值越大（越靠近1）说明所配的曲线剩余离差小，曲线拟合越密切。例3：（5）检验：53若预测离市中心10公里处人口密度当预报精度要求95％时，根据3σ原则，

思考：计算S可否采用以下公式54总结：建立一元回归模型的步骤

试验调查，搜集样本值xi,yi(i=1,2,…,n);作散点图，直观判断是否线性相关；线性相关，则确定显著性水平，作相关