辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第17页/共17页大连市2021~2022学年度第一学期期末考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解【详解】因为，，所以，故选：A2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（）A.86 B.87 C.88 D.89【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义直接得出.【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.故选：C.3.已知函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间内有零点”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数在上满足，但其有零点，故必要性不成立；所以“”是“函数在区间内有零点”的充分不必要条件故选：A4.在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.【详解】如图所示：.故选：A.5.我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数､羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（）A.24钱 B.165钱 C.21钱 D.150钱【答案】D【解析】【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即可解得.【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，羊价为：.故选：D6.抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式直接计算.【详解】由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，事件即为向上一面的点数为2或4或6，事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，所以，故选：D.7.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】由指数、对数的运算性质求解即可【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，则，即，所以，所以，所以，因为，所以的最小值为14，则至少要过滤14次．故选：C.8.已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因，所以，因为，可得.故选：B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式中恒成立的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A：因为，所以恒成立，B：当时，显然成立，但不成立，C：因为，所以（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，故选：ACD10.下列说法不正确的是（）A.若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件B.若A，B为两个事件，则C.若事件A，B，C两两互斥，则D.若事件A，B满足，则A与B相互对立【答案】BCD【解析】【分析】A.“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；B.,所以该选项错误；C.举反例说明不一定成立，所以该选项错误；D.举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.【详解】解：A.若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”；“A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；B.若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；C.若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；D.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.故选：BCD11.如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A.(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C.若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D.若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【解析】【分析】结合平面向量基本定理可选出正确答案.【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，，则下列说法中正确的是（）A.是偶函数 B.在R上是增函数 C.是偶函数 D.的值域是【答案】BD【解析】【分析】对于A：利用函数奇偶性定义直接判断；对于B：利用单调性的四则运算即可判断；对于C：取特殊值，即可判断；对于D：直接求出的值域即可判断.【详解】对于A：因为函数，所以函数，所以，所以是奇函数.故A错误；对于B：因，而为增函数，为减函数，为增函数，所以为增函数.故B正确；对于C：因为，而.所以，所以不是偶函数.故C错误；对于D：因为，所以，所以的值域为.故D正确.故选：BD【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；（2）判断函数的单调性的方法：①定义法；②图像法；③四则运算法；④导数法.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置上.13.某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么=____．【答案】45【解析】【详解】利用分层抽样的特点，得，解得.14.已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据函数图象所过的点代入列式求解.【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.故答案为：15.如图，在正方形中，为边上的动点，设向量,则的最大值为__________．【答案】3【解析】【详解】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），∴，∴∴λ+μ=，令f（x）=，（0≤x≤2）∵f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=3．故答案为316.已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得，将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根，，，且，则由图象可知，，，又，可得，则则，由对勾函数的性质知在上单调递增，，即即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为，当时，关于的不等式的解集为.（1）求、；（2）当时，求证：是的充分条件.【答案】（1），.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法可求得集合，利用二次不等式的解法可求得集合；（2）分析可知当时，，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由得，解得，即，当时，，由得，解得，即.【小问2详解】解：当时，，，则，此时，是的充分条件.18.（1）已知，，三点共线，求的值；（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.【详解】（1）因为，，三点共线，所以可得，又，，所以，所以的值为.（2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为.19.从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.（1）求频率分布直方图中x的值；（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）估计该校学生身高的75%分位数.【答案】（1）0.06（2）172.25（3）176.25【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x；（2）直接利用平均数公式求出平均数；（3）可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得【小问1详解】由频率分布直方图可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,【小问2详解】根据频率分布直方图，由平均数公式可得：【小问3详解】的人数占比为5×0.02=10%.的人数占比为5×00.4=20%.所以该校100名生学身高的75%分位数落在.设该校100名生学身高的75%分位数为x，则,解得x=176.25.故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.20.已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.（1）求证：函数在上单调递增；（2）解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）求函数的定点坐标，从而得函数解析式，然后利用函数单调性的定义证明，任取，作差并化简，并判断的正负，从而根据定义说明单调性；（2）先证明得函数为奇函数，将不等式变形为，然后根据函数的单调性即可得解.【小问1详解】因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.【小问2详解】因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以变形为，当时，，所以不等式转化为，解集为，不符合题意；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以不等式转化为，解得，所以不等式的解集为.【点睛】利用函数单调性的定义的证明题，一般需要先在区间上取值，然后作差，并且因式分解，从而判断的正负号，即可判断出函数的单调性.21.甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；（2）求甲最终获胜的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，根据题意列出的所有可能，再根据独立事件公式即可求出结果.（2）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，再根据独立事件公式即可求出结果.【小问1详解】解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，则；【小问2详解】解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，则.22.已知函数（且）．（1）当时，解不等式；（2），，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足题意的实数，，理由见解析．【解析】【分析】（1）把代入，然后结合对