数学建模及典型案例分析课件

3微分方程建模方法当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我们通常建立微分方程模型来描述它的变化过程，以分析它的变化规律、预测它的未来性态。3微分方程建模方法当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我微分方程建模思想和方法净变化率输入率输出率守恒原理微分方程建模思想和方法净变化率输入率输出率守恒原理例1死亡时间的确定在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是21oC.1小时后尸体温度下降到27oC,试估计死者的死亡时间.例1死亡时间的确定在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度模型假设设环境的温度为常数TE,人体正常温度为TP.t时刻尸体的温度为T(t).t1时刻测量时尸体温度为T1,t2测量温度为T2.模型假设根据热传导定律：热量总是由高温的物体传向低温物体.单位时间的热传导量与温差成正比.有模型建立根据热传导定律：模型建立令得到微分方程模型令得到微分方程模型模型求解这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解为其中C,k’为参数,可通过测量数据确定其值.模型求解这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即又由t2=t1+1,有其中TE=21,TP=37,T1=29,T2=27又由t2=t1+1,有TE=21,TP=37,T1=2进一步讨论如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗?进一步讨论如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗例2湖水污染浓度有一个小湖,水容量为2000m3,分别有一入水口和出水口,水流量都为0.1m3/s.在上午11:05时,因交通事故一个盛有毒性化学物质Z的容器倾翻,在入口处注入湖中.于11:35时事故得到控制,但已有数量不详的化学物质泻入湖中,初步估计为5~20m3.建立一个模型,估计湖水污染程度随时间的变化规律,并估计湖水何时到达污染高峰;何时污染程序可降至安全水平(<0.05%)入水口出水口例2湖水污染浓度有一个小湖,水容量为2000m3,分别假设湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).湖水总容量为常量V.物质Z以均速泻入湖中,总量为z,所用时长为T.入口与出口的水流速度均为r.安全水平为Z的浓度小于k.假设湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).根据以上假设，有令Δt→0得根据以上假设，有求解得到利用初始条件c(0)=0和c(t)的连续性有求解得到这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为

c(t)在[0,T]内是增函数,在[T,∞)内是减函数,且c(t)是连续的,所以c(t)的最大值为为求何时能达到安全水平,当t>T时令c(t)<k,解得这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为例3池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的盐水。混合的盐水从另一端流出。试建立数学模型来描述池中盐水浓度的动态过程。例3池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的盐水。模型假设注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改变了池中的盐水浓度。盐水注入的速度为r1(t),浓度为p1(t).盐水流出的速度为r2(t),浓度为p2(t).池中盐水总体积为V(t),浓度为p(t).其中t为时间.V0=V(0)，p0=p(0).模型假设注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改变了池模型建立考虑在一段较短时间Δt内,池中盐量的变化，有由积分中值定理，存在ξ∈(t,t+Δt),使得两边除以Δt,并令Δt→0,得模型建立考虑在一段较短时间Δt内,池中盐量的变化，下面讨论池中盐水体积的变化。由积分中值定理，存在η∈(t,t+Δt),使得于是有下面讨论池中盐水体积的变化。所以微分方程模型因为其中所以微分方程模型因为其中若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1为常量，则有其中再利用p(0)=p0,解得若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1为常取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1=5,得到的解的图像如下取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1例4最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业，林业资源)的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年龄组的自然死亡率为0.8(/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为1.22×1011/(1.22×1011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数，下网次数等)固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。请建立数学模型分析如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。例4最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源假设鱼群总量的增加虽然是离散的,但对大规模鱼群而言,我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的,设t时刻i龄鱼的数目为xi(t),时间以年为单位.假设鳀鱼每年只在8月份产生卵,12月底孵化完成.每只4龄鱼每年的产卵量为N,每只3龄鱼每年的产卵量为N/2.卵的成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为r.

i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼,i=1,2,3.

i龄鱼的重量为gi.对i龄鱼捕捞强度系数为ki.鱼群的自然死亡率为常数d.4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可不予考虑。连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周期为1年,可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况.假设鱼群总量的增加虽然是离散的,但对大规模鱼群而言,我们模型建立考虑在[t,t+Δt]时间内(未跨年)i龄鱼的数量变化.鱼群数量的变化是由于自然死亡和被捕捞而导致的，所以有令Δt→0,得到模型建立考虑在[t,t+Δt]时间内(未跨年)i龄鱼的数量变模型求解求解得到其中i=1,2,3,4.如何求xi(0)?模型求解求解得到因为每年末i龄鱼到下一年初时会变为i+1龄鱼，所以即因为每年末i龄鱼到下一年初时会变为i+1龄鱼，所以又由每年产卵总量又由每年产卵总量又因为每年初1龄鱼的数量为其中q=1.22×1011.求解可得又因为每年初1龄鱼的数量为于是有于是有捕捞量为再利用k3=0.42k4,捕捞量就是关于k4的一元函数.通过求其极大值可得到最大捕捞量.当N=1.109×105,g3=17.86,g4=22.99,d=0.8,q=1.22×1011时,求得结果为k4=17.36292602,f=3.887075518×1011.捕捞量为小结本章主要介绍微分方程建模方法,主要利用率物质或能量的守恒原理进行建模.模型的求解方法有解析解法和数值解法.小结本章主要介绍微分方程建模方法,主要利用率物质或能量的守3微分方程建模方法当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我们通常建立微分方程模型来描述它的变化过程，以分析它的变化规律、预测它的未来性态。3微分方程建模方法当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我微分方程建模思想和方法净变化率输入率输出率守恒原理微分方程建模思想和方法净变化率输入率输出率守恒原理例1死亡时间的确定在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是21oC.1小时后尸体温度下降到27oC,试估计死者的死亡时间.例1死亡时间的确定在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度模型假设设环境的温度为常数TE,人体正常温度为TP.t时刻尸体的温度为T(t).t1时刻测量时尸体温度为T1,t2测量温度为T2.模型假设根据热传导定律：热量总是由高温的物体传向低温物体.单位时间的热传导量与温差成正比.有模型建立根据热传导定律：模型建立令得到微分方程模型令得到微分方程模型模型求解这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解为其中C,k’为参数,可通过测量数据确定其值.模型求解这是一个比较简单的微分方程方程模型,可以求得其通解由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得由假设1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即又由t2=t1+1,有其中TE=21,TP=37,T1=29,T2=27又由t2=t1+1,有TE=21,TP=37,T1=2进一步讨论如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗?进一步讨论如果只测量一次尸体的温度,你能估计出死亡的时间吗例2湖水污染浓度有一个小湖,水容量为2000m3,分别有一入水口和出水口,水流量都为0.1m3/s.在上午11:05时,因交通事故一个盛有毒性化学物质Z的容器倾翻,在入口处注入湖中.于11:35时事故得到控制,但已有数量不详的化学物质泻入湖中,初步估计为5~20m3.建立一个模型,估计湖水污染程度随时间的变化规律,并估计湖水何时到达污染高峰;何时污染程序可降至安全水平(<0.05%)入水口出水口例2湖水污染浓度有一个小湖,水容量为2000m3,分别假设湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).湖水总容量为常量V.物质Z以均速泻入湖中,总量为z,所用时长为T.入口与出口的水流速度均为r.安全水平为Z的浓度小于k.假设湖水中Z的浓度是均匀的,t时刻为c(t).根据以上假设，有令Δt→0得根据以上假设，有求解得到利用初始条件c(0)=0和c(t)的连续性有求解得到这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为

c(t)在[0,T]内是增函数,在[T,∞)内是减函数,且c(t)是连续的,所以c(t)的最大值为为求何时能达到安全水平,当t>T时令c(t)<k,解得这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为例3池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的盐水。混合的盐水从另一端流出。试建立数学模型来描述池中盐水浓度的动态过程。例3池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的盐水。模型假设注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改变了池中的盐水浓度。盐水注入的速度为r1(t),浓度为p1(t).盐水流出的速度为r2(t),浓度为p2(t).池中盐水总体积为V(t),浓度为p(t).其中t为时间.V0=V(0)，p0=p(0).模型假设注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改变了池模型建立考虑在一段较短时间Δt内,池中盐量的变化，有由积分中值定理，存在ξ∈(t,t+Δt),使得两边除以Δt,并令Δt→0,得模型建立考虑在一段较短时间Δt内,池中盐量的变化，下面讨论池中盐水体积的变化。由积分中值定理，存在η∈(t,t+Δt),使得于是有下面讨论池中盐水体积的变化。所以微分方程模型因为其中所以微分方程模型因为其中若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1为常量，则有其中再利用p(0)=p0,解得若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1为常取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1=5,得到的解的图像如下取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1例4最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业，林业资源)的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年龄组的自然死亡率为0.8(/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为1.22×1011/(1.22×1011+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力(如渔船数，下网次数等)固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。请建立数学模型分析如何实现可持续捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)。例4最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源假设鱼群总量的增加虽然是离散的,但对大规模鱼群而言,我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的,设t时刻i龄鱼的数目为xi(t),时间以年为单位.假设鳀鱼每年只在8月份产生卵,12月底孵化完成.每只4龄鱼每年的产卵量为N,每只3龄鱼每年的产卵量为N/2.卵的成活率(1龄鱼条数与产卵量n之比)为r.

i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼,