2020-2021学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷-20220601

第29页（共29页）2020-2021学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．1，2，3 C．3，3，3 D．4，5，63．（3分）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm24．（3分）下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．÷＝25．（3分）对八年级500名学生某次数学检测的成绩（百分制）进行了两次统计，第一次统计时，系统把一位缺考同学的成绩自动填充为该次检测唯一的零分，第二次统计时，老师删去了这个零分，则以下统计量在这两次统计中一定保持不变的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6．（3分）若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填（）A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形7．（3分）如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时，从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题(本题共24分，每小题3分)9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（3分）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式．11．（3分）为了庆祝中国共产党成立100周年，加深同学们对中国共产党历史的认识、激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如表，这组数据的中位数是．成绩（百分制）80859095100人数12521612．（3分）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中（填“面试”或“笔试”）的权重较大．13．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC＝．14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．16．（3分）若直线y＝kx+2与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为．三、解答题(本题共52分，第17-22题，每小题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)17．（5分）计算：﹣3+|2﹣|．18．（5分）已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线；作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；③画射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC，PD．由作法可知OC＝OD＝PC＝PD．∴四边形OCPD是，∴OP平分∠AOB（）（填推理的依据）．19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．20．（5分）一次函数的图象经过点（﹣1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y＝nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．21．（5分）如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．22．（5分）在2020年开展的第七次全国人口普查，是在中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查，全面查清中国人口数量、结构、分布、城乡住房等方面的情况，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军提供科学准确的统计信息支持下面给出了本次调查公布的部分数据：a．图1为2010年（第六次）、2020年（第七次）统计的各省、自治区、直辖市的常住人口占全国人口比重的统计图．（注：图1中射线为两轴夹角的角平分线）b．图2为七次人口普查中全国人口和年平均增长率的统计图，其中后两次统计中全国人口分为65岁以下人口和65岁及以上人口．（说明：数据来自国家统计局官方网站，所有数据为大陆所有省、自治区、直辖市和现役军人的人口）根据以上信息，回答下列问题：（1）从2010年到2020年，常住人口占全国人口的比重增长最多的是广东省，请在图1中用“〇”圈出表示广东省的点；（2）2010年各地区人口比重的方差为s12，2020年各地区人口比重的方差为s22，由图1可知s12s22（填“＞”，“＜”，“＝”）．（3）由图2可知，下列推断合理的是．（填写序号）①在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加；②在这七次调查中，从1982年往后，全国人口的年均增长率逐渐下降，说明全国人口每年增加的数量都在减小；③当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化，从最近两次人口普查数据可以看出中国老龄化问题日趋严重．23．（7分）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．（1）求证：AE＝DF；（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．24．（7分）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，M＝称为a，b这两个数的算术平均数，N＝称为a，b这两个数的几何平均数，P＝称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝；N＝；P＝；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．①分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；②借助图形可知，当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：（把M、N、P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．25．（8分）对于两个实数a，b，规定Max（a，b）表示a，b两数中较大者，特殊地，当a＝b时，Max（a，b）＝a．如：Max（1，2）＝2，Max（﹣1，﹣2）＝﹣1，Max（0，0）＝0．（1）Max（﹣1，0）＝，Max（n，n﹣2）＝；（2）对于一次函数y1＝﹣x﹣2，y2＝x+b，①当x≥﹣1时，Max（y1，y2）＝y2，求b的取值范围；②当x＝1﹣b时，Max（y1，y2）＝p，当x＝1+b时，Max（y1，y2）＝q，若p≤q，直接写出b的取值范围．

2020-2021学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【考点】最简二次根式．【解答】解：A．＝2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．2．（3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．1，2，3 C．3，3，3 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【解答】解：A．∵52+122＝132，∴可以构成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+22≠32，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵32+32＝32，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵42+52≠62，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2+b2＝c2，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．3．（3分）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2【考点】菱形的性质．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，∴它的面积是：×6×8＝24（cm2）．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用是解此题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．×＝ D．÷＝2【考点】二次根式的混合运算．【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．5．（3分）对八年级500名学生某次数学检测的成绩（百分制）进行了两次统计，第一次统计时，系统把一位缺考同学的成绩自动填充为该次检测唯一的零分，第二次统计时，老师删去了这个零分，则以下统计量在这两次统计中一定保持不变的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【解答】解：∵平均数、中位数及方差都受参加检测学生人数的变化而变化，众数与参加检测学生人数无关，只与数据出现的最多的次数有关，∴在这两次统计中一定保持不变的是众数，故选：B．【点评】本题主要考查众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数及方差都受参加检测学生人数的变化而变化，众数与参加检测学生人数无关．6．（3分）若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填（）A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．【解答】解：A、若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD不一定是矩形，说法错误，不符合题意；B、若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD不一定是菱形，说法错误，不符合题意；C、若四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD不一定是正方形，说法错误，不符合题意；D、若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，说法正确，符合题意；故选：D．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形是平行四边形解答．7．（3分）如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】矩形的判定．【解答】解：如图所示：以AB为对角线的格点矩形有3个，以AB为边的格点矩形有1个，∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个，故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，画出以A，B为顶点的格点矩形是解题的关键．8．（3分）如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时，从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【解答】解：因为“受水壶”的形状是圆柱，所以“受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象是正比例函数的图象．故选：A．【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．二、填空题(本题共24分，每小题3分)9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10．（3分）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式y＝﹣2x等．【考点】正比例函数的性质．【解答】解：∵正比例函数的一般形式为y＝kx，并且y随x的增大而减小，∴答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x等．【点评】此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．11．（3分）为了庆祝中国共产党成立100周年，加深同学们对中国共产党历史的认识、激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如表，这组数据的中位数是95．成绩（百分制）80859095100人数125216【考点】中位数．【解答】解：这组数据共有1+2+5+21+6＝35（个），按从小到大的顺序排列，处于这组数据中间位置是第18个数95，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是95．故答案为：95．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．12．（3分）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中面试（填“面试”或“笔试”）的权重较大．【考点】加权平均数．【解答】解：设面试成绩所占百分比为x，则笔试成绩所占百分比为（1﹣x），根据题意，得：86x+90（1﹣x）＝87.6，解得x＝0.6，则1﹣x＝0.4，∴此次招聘中面试的权重较大，故答案为：面试．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方程．13．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC＝6．【考点】三角形中位线定理．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝3，∴BC＝2DE＝6．故答案是：6．【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为x＞1．【考点】一次函数与一元一次不等式．【解答】解：∵次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴y随x的增大而增大，∵点A（1，2）在直线y＝kx+b上，∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴当x＞1时，kx+b＞2，即不等式kx+b＞2的解集为x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确识图是解此题的关键．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．【考点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；垂线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．16．（3分）若直线y＝kx+2与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为±1．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【解答】解：把x＝0代入y＝kx+2得k＝2；把y＝0代入y＝kx+2得kx+2＝0，解得x＝﹣，所以直线y＝kx+2与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y轴的交点坐标为（0，2），所以×2×|﹣|＝2，解得k＝±1．故答案为±1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．三、解答题(本题共52分，第17-22题，每小题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)17．（5分）计算：﹣3+|2﹣|．【考点】二次根式的加减法；实数的性质．【解答】解：原式＝2﹣3×+2﹣＝2﹣+2﹣＝2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．18．（5分）已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线；作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；③画射线OP．射线OP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC，PD．由作法可知OC＝OD＝PC＝PD．∴四边形OCPD是菱形，∴OP平分∠AOB（菱形的对角线平分一组对角）（填推理的依据）．【考点】作图—复杂作图．【解答】解：（1）如图，射线OP即为所求．（2）连接PC，PD．由作法可知OC＝OD＝PC＝PD．∴四边形OCPD是菱形，∴OP平分∠AOB（菱形的对角线平分一组对角）．故答案为：菱形，菱形的对角线平分一组对角．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质解决问题．19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【解答】证明：连接AC，交BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．又∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．（5分）一次函数的图象经过点（﹣1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y＝nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（0，2），∴，解得：，这个一次函数的表达式为y＝2x+2．（2）∵直线y＝2x+2经过一、二、三象限，直线y＝nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，∴直线y＝nx在一三象限，∴n＞0，∵交点在第三象限，∴0＜n＜2．【点评】本题考查了两条直线相交问题，熟练掌握待定系数法以及一次函数的性质是解题的关键．21．（5分）如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．【考点】勾股定理．【解答】解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，∴∠CAH＝∠HBD＝90°，∵A，B，H是直线上的三个点，∴AH+BH＝AB＝5，∴BH＝5﹣AH，在Rt△ACH中，AC2+AH2＝CH2，即4+AH2＝CH2，在Rt△BHD中，BH2+BD2＝DH2，即（5﹣AH）2+9＝DH2，∵HC＝HD，∴4+AH2＝（5﹣AH）2+9，∴AH＝3，故AH的长为3．【点评】本题考查了勾股定理，线段的和差，正确的运用勾股定理是解题的关键．22．（5分）在2020年开展的第七次全国人口普查，是在中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查，全面查清中国人口数量、结构、分布、城乡住房等方面的情况，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军提供科学准确的统计信息支持下面给出了本次调查公布的部分数据：a．图1为2010年（第六次）、2020年（第七次）统计的各省、自治区、直辖市的常住人口占全国人口比重的统计图．（注：图1中射线为两轴夹角的角平分线）b．图2为七次人口普查中全国人口和年平均增长率的统计图，其中后两次统计中全国人口分为65岁以下人口和65岁及以上人口．（说明：数据来自国家统计局官方网站，所有数据为大陆所有省、自治区、直辖市和现役军人的人口）根据以上信息，回答下列问题：（1）从2010年到2020年，常住人口占全国人口的比重增长最多的是广东省，请在图1中用“〇”圈出表示广东省的点；（2）2010年各地区人口比重的方差为s12，2020年各地区人口比重的方差为s22，由图1可知s12＜s22（填“＞”，“＜”，“＝”）．（3）由图2可知，下列推断合理的是①③．（填写序号）①在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加；②在这七次调查中，从1982年往后，全国人口的年均增长率逐渐下降，说明全国人口每年增加的数量都在减小；③当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化，从最近两次人口普查数据可以看出中国老龄化问题日趋严重．【考点】折线统计图；方差；扇形统计图；条形统计图．【解答】解：（1）找出位于射线上方，且离射线最远的点即为所求，如图1所示：（2）由图1可以看出，2010年各地区人口比重比2020年各地区人口比重分布的更加集中，波动更小，∴s12＜s22，故答案为：＜；（3）在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加，则推断①合理，根据年均增长率折线可知，从1982年以后，全国人口的年均增长率逐渐下降但是每年人口总数都在增加，人口每年增加的数量等于前一年的人口数量与对应的年增长率的乘积，故无法确定全国人口每年增加的数量都在减少，则推断②不合理，；2010年：全国65岁及以上老年人口数量占总人口比例约为，2020年：全国65岁及以上老年人口数量占总人口比例约为×100%＝16.7%＞12.5%＞7%，从最近两次人口普查数据可以看出，中国老龄化问题日趋严重，则推断③合理，故答案为：①③．【点评】本题考查了统计图、方差等知识，掌握方差的意义，能够从统计图中获取有用的信息是解决问题的关键．23．（7分）如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．（1）求证：AE＝DF；（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵CF⊥DE于点G，∴∠ADE+∠DFC＝90°，∴∠AED＝∠DFC，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴AE＝DF；（2）解：存在，当点E为AB的中点时，△BCG为等腰三角形，理由：如图，延长CB交DE的延长线于点P，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△AED和△BEP中，，∴△AED≌△BEP（ASA），∴AD＝BP＝BC，∵∠PGC＝90°，∴BG＝CP＝BC，即△BCG为等腰三角形．【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和直角三角形斜边上的中线的性质，关键是根据正方形的性质证明三角形全等．24．（7分）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，M＝称为a，b这两个数的算术平均数，N＝称为a，b这两个数的几何平均数，P＝称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝；N＝；P＝；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方