习题解答(第1章)

习题解答(第1章)习题解答(第1章)习题解答(第1章)习题解答(第1章)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:第1章习题答案三、解答题1．设P(AB)=0，则下列说法哪些是正确的(1)A和B不相容；(2)A和B相容；(3)AB是不可能事件；(4)AB不一定是不可能事件；(5)P(A)=0或P(B)=0(6)P(A–B)=P(A)解：(4)(6)正确.2．设A，B是两事件，且P(A)=，P(B)=，问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少解：因为，又因为即所以(1)当时P(AB)取到最大值，最大值是=. (2)时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=+=.3．已知事件A，B满足，记P(A)=p，试求P(B)．解：因为，即，所以 4．已知P(A)=，P(A–B)=，试求．解：因为P(A–B)=，所以P(A)–P(AB)=,P(AB)=P(A)–,又因为P(A)=，所以P(AB)=–=，.5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数,恰有2双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：-其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率．解：(1)法一：，法二：(2)法二：，法二：7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 ,,8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解：设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则,,9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.所以10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间={(x，y)：0x，y1}事件A=“两数之和小于6/5”={(x，y)：x+y6/5}因此．图 11．随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率．解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x，y)：}事件A=“原点和该点的连线与轴的夹角小于”={(x，y)：}因此．12．已知，求．解：13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；，，14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为17．设事件A与B相互独立，已知P(A)=，P(A∪B)=，求.解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)将P(A)=，P(A∪B)=代入上式解得P(B)=，由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少解：设A=“甲命中目标”，B=“乙命中目标”，M=“目标被命中”，已知P(A)=,P(B)=.由于甲乙两人是独立射击目标.所以19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，，；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，，试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是时，情况又如何解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为，而P(B1)=P(B2)=,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。（B）1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC=，且已知，求P(A)．解：因为ABC=，所以P(ABC)=0,因为A，B，C两两相互独立，所以由加法公式得即考虑到得2．设事件A，B，C的概率都是，且，证明：．证明：因为，所以将代入上式得到整理得3．设0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+，试证A与B独立．证明：因为P(A|B)+，所以将代入上式得两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到所以A与B独立.4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件．证明：充分性，由于，所以即两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即且所以一方面另一方面所以5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1)他取得该资格的概率为(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为和．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.又知所以所求概率为由于三次检验是独立进行的，所以8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于和.我们规定只要命中就被击毁．试问(1)火炮与坦克被击毁的概率各等于多少(2)都不被击毁的概率等于多少解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知所以(1)火炮被击毁的概率为坦克被击毁的概率为(2)都不被击毁的概