2017年全国高中数学联赛试题及答案

2017年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)一、填空题；本大题共8小题，每小题8分，共64分+L设定义在R上的函数，对任意实数盂有f(工+3)/{龙—4)=一！.义S0<x<7时，/(x)=log2(9-x),则/{100)的值为__._,,TOC\o"1-5"\h\z2.若实数尽y满足兀‘+2cosy—I丫则x—cosy的取值范闌痿左在平面直角坐标^xOy中.欄圆Q的方程为芋+石二1,F为亡的上焦点，月为C?的右顶点’尸是匸上位于第一象限内的动点，则四边形Q4PF的血积的最大值为•4-若一亍三位数中任惫两个相邻数码的差均不超过1,则称苴为“平稳数3平稳数的个数是5,正三械锥P-ABC中*AB=l}AP=2.i^AB的乎面n瘍其坤积平芬，则棱户Q与平面a所成角的余弦值为•6*在平面直角坐标系用。中，点集K*{(工」)!斗y=—1,0,1}.在K中随机取出三个点,则这三点中存在两点之问距离为石的概率为_一….在中，M是边尿：的中点，押是线段的中点.若厶=彳’^ABC的面积为石*则丽丽的最小值为*设两个严幣递增的正整数数列泌}・他}满足：^=^<2017,对任意正整数“有暫卞=碍利+碍，比忖则的+松的所有可能值为二'認答题：本大题共3小题’满分兀分-解答应写出文字说明i还明过程或演算涉骤*〔本题满分16分》设也眈为实数,不等式|宀后胡刃对所有兀€［爲列成立.证明：b-a<2^2.(本题满分20分}设备甩応是非负实数丫满足斗+电+屯=;」，求(X|+3七+禺)(吗+^4-y)的摄小值和最大值，1L(本题满分20分)设复数殆吃满足^(^>0,Re(z2)>0r且Kc(^)=Re(^)^2(其中Re(z)表示复数左的实部).求那如)的最小值；求|斗+2|+区+2卜|云—諾的最小值.

2017年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、本题满甥知分如圏，在△也匕中，£R=血、/为2017年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、本题满甥知分如圏，在△也匕中，£R=血、/为△型5*0的內心划』为圆心，&为半径作圆宥，为圆心怡为半径作圆均,过夙/的圆巧与血分别交于点AQ不同于点旳设，与BQ交于点R.证明打宓丄空.求满足^<r<护'的正整数/的个数.三、本题满分50】分'将33X33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的邪方格癖数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为獻分隔边”.试求分隔边条数的最小值”y…几互素.四、本题满分刊:癸证明：L对任意实数X.均存在一傘z（i</<疥,使得||^>-"何，这里侧表示实数y到与它最近的斟的足蜩二、本题满分40•啜设数列｛冬｝定丈为线=1设恣捋均是大于1的整數，贬科、乐冷…「碍是拒个不超过惣的互不相同的正整数，且4.4.2017年全国高中数学联赛A卷—试答案i.答案：+M：由袅件知・/Xx+14)=-*—=ry所以/(-100}=/(-!00+14x7)=A-2S=-^=--j-^=-l.答案=[-1，忑+H-解：由于X-1-2cos'rI-k故.Yi-[-Va.V；3]..L_|y"I由CO1?\—一—可知v—cosy—t—-<V「I广—丨.因此当x—]时v二」有最小值|(这时y可以取当X=点时tX-cosr有最大僅点|(这时尸可以取7T).由于㊁(工+厅一[的值域是[一】，从而X—COSV的取值范围是heVT+ib3.艰易知和土侏&64设尸的坐标是卩3讯顶血旳,可厲斗-v<msin^|-[-\-os^—(VlOcos^|审蛊in#+p)”2z祇伽加”当"-吸皿折时”四边形0府尸面积的量大價为逝102答案：75._M：考走平铠独赢-若A=刚口=有2个平稳数.若b=l.则口€仏2}，匚€也1,邸「有2x3=6个平稳数.若2冬弘0氣则為忙丘抽一1,九方+口，有7x3x3=63平稳数.若h=4则耳匚曰&倂，有2x2=4t平稳数.媒上可知，平穩数的个数是2+6+63+4=75.5.弗以KM=JdW2K\IMC5.弗以KM=JdW2K\IMC故樓PC芍平而"晞叔角的余強價为痙\答秦;洛解：AB,PC的中点分别为&叙.则易证平百3订址是平而亠宙中线长公式挺I签案：*ff：易知K中有9个点，故在疋中随机取出三个点的方式数为C=R4神・将K中的点按右图标记为孙电，…,其中有8对点之间的嶷黑为JF.由麓弥性，考虑戢凡‘总两点的情况、则剰下的一个点有T种取法.这样有7x8=56个三点经i不汁每组中三点的次字）.对每个郴=%^8）,K中恰有仏斗两点与之距厘为JF（这里下标按镇8理解〉*丙而恰育{4锐7也/卩=12…⑶这倉个三点蛆披计了两次*从而满足条件的三点组个数为56-S=48・进而所求尽率为詈=£.答案：t/?+I-由条件知，山八一；於tk\故乔历-+(亦+"］•扌乔+扌忌_护五+陋+4莎屁］由于J^"—5乂鈕=—hJ.4fi|^,-iC|'SiTiA=-^-h”冲彳」匸|*所以”4耳*4(?—41进步可得加•!「—叫心2-占从而IA/,l\-JAR4」乩K；、z出,J(ABAtJ：I4；2当屈=寻,区］=："笛时’J.LfJA的最小逍为JwI8.答案|13,20,»：由条件可知：耳"，妬均为正整数.且迅”由于2OJ7A,-2"-b-5i2/?故帚詔反复运用血｝的逼推关系知a„—*八a+j.一gI2i；—Sir•卜〕心—K(/E\—13c!StK~2\itI.\j.—?4ti.-21ci,t禺此2\a.=a.„=Zj|L,=512/?.=2/>.(mod14),而1弘.釘=弭Y+仁故有ai：・】M13x2/j—26A(iikx!34)-另一方面.注意到q<込，有55d,<34j.-512b,披当h—】时.①.②分别化为叫肚伽間初),打詈，无解.当九一2时，①，②分别化为气=贮仲0心你叫V詈.得到唯一的正整独叫一I乩此时也h—20<当f\-3时，①，②分别化为叫刖林皿门4L码-•：匕竺・得到唯一的正整数叫一此时爲十舟=13.综上听述.口十瓦的所有可能值为13,20.4*4*x电陆切’则/(r)e:-Llb于是a~—ka—m<\,③16分亍厶吋22f{b\^2fa^rba+b2J③16分亍厶吋22f{b\^2fa^rba+b2JI20肘不等式等亏说立，丈我求丈1叢-卜匱为L解：小对斤=1门・设耳=耳+珊区，斥ER）.由条件知兀-Re（^）>0,x；-j；=l<e（z^）=2.禺此R亡込二」=R班乘+外）（耳+=x,.r2一凡匚=J（y：+2）（克+2）-*彷>（|^|+2）_>2”又兰三严严忑时，M2l2;）=2.这表明.R帆毕訂的最小值为2+5分⑵竝上=1,2・将耳应到平而直曲坐标系工。冲的点彳斗记冲是此关于工轻的对称点.则耳尺均笹于双曲线C：x2-/=2的右支上.设分别是C的左、右焦点，易知£（一2,皿巴口0）.槪据双曲线的定义’劄秋|=|片兀|十2后,£歼|=|吸|+2』L迸而得怙+勿+|分+2卜卜l时三|现+2|斗|-：+2卜||=|飼+|跋卜|明=M+|闵十啓卜明鼻4Q"15分等号或立当且仅当兀位于銭段£尺上（:怫如，当坷二艺当2+JL时，F：恰甦PP；前中点h综上可知，怙+2田云*2卜|£72的最小值为』.20分2017年全国高中数学联赛A卷

二试答案述明：港接加*/C-tQ.PR、PC.曲于点Q在岡几匕*故IB=IQ.賦玖48Q=4QE・f・P・QW戌其岡・=・^^ZIBQ=ZIPB,故SJBPAiRBt从^Z1RB=ZJBP・且10分10分7r~7b注^lt\H=AC，a/A4BCfl内心.故・屎収1CIP

1R1CT昆SKTsSIHC*取瓷用CZKT..又点P(\囿匚的弧BCIh故ZBPC1卿-寸"•"1此Zi?/fC-A1RB+Z/RC=ZiBP亠zICP=36(r-£BIC—ZBPC=3砒—何+制—（吨*Mt歯敕列的庭义可暂曲假址对基个>HKd2冇叫NF・找怕证明对F・E十计7.ffr+iJw|=2r+/-1>r+2/-k-r-r<r+2r*\)对［归納证明.'1t«l时iill］：at^r^r»itl*ar+r®r+r»2r>r+l・tirti-«ft|-(r+1}=2f宀”十I》=『jthf十2*站论成；L、ttfl«flsr<F-l.①威业，义门”小，I二M小十汁+X)=尸1tr+2/^2r4f>r+2/>b^r*2tti™+2f+1)»2r+f**(r*2/*1}"F・f・1<r+2l+2tuplift对f+1也血立.曲數学Hirt浓划・①时所右…汁"成」L特别当f=r_］时+{jaXf7=I,从而码…二尙―+⑶l2}=3f-I•若将所帝淌足科"的正幣数r从不到大记为心心“則由上面的錯论可知年】込卡2・如=站一1・灰・2*3…*20分由此咖由此咖.q“_L…冲十从血由于忌兰扌护“<兰尹二切“・在1.2,-S3™1中満足的数r共宵201U令*为旺吗，….心］盯…*—“…—30分由①可誓h对將个k=L2「20r?「；+X-*・E—2中恰有一半満足^<r.rllTr^\^~V+1垃护*”均为奇敎*而在血卡L….丁曲中.奇數均鴻琏毎>e偶数均滴足毎<尸・其中的判数比奇数少I卜園此満是气<咋护2的正軸數尸的牛数为TOC\o"1-5"\h\z丄(护1-2018-1)^护蔦亦40分V«:记分隔边的臬龜为首先.将方格垠握如脚分械三个区井别戦戚-种龍色・和线1：均为分隔边•此时56棊分隔边•關£=56・10»11.IJ11.IJ由此咖由此咖.q“_L…冲十从血由此咖由此咖.q“_L…冲十从血下面还圈£是灾・椰方格锹的行从上至下依欢记为入4严列从左至右像Ifc记为”川•』；「行州中方格出現的顔色数记为列&中方格出現的頤色个数记为藏初・三种鑽色分豹记为硏心务-对于一种顔色勺•義y是含有9色方格的再視与列数之和.记L若人廿含有匚色方fib0.否帕宾似弛定2$lR.c>于足送(W”n(flp)J-工工1执九r/+凤站q"二工壬曲人工J*ii{B,.ct))=工刊叩・

jmim|^i由于袅勺色的方格个.设含有巧色方様的f亍在"亍.列有帀个.则「包的辭齐一定在血用和处啲交戏方肿讥1片此砧巨炯.从帀wie>-a+/*>2石示>2^363>38”战i39,J=123.①20分由于在If抖中W11(A)种飆色的力格•因此至力有崗理在列见中.笔少有忒坷卜1荃分隔边.十是n11匸迄w-I』+口讪1_|)M=^i#(cz)*66*®30分卜面分椚神情形讨论・情杉】：苕荷戒列全部方恪同色•车効诛右片金列©色.包町庁格尿的站列中沟含有G色的方常・由Tc.fi方幡有站3个.皑至夕有IJ昏申含有G色方/i(^)^!l+33=44.由①.③及④即得Li»(<!)+nU\)I/r(r.\66甕44*39+3966=56,10分情花2:没仃-行也没有列的全黑万寿同色.则站任总茂疋3九均有肌人｝芒氛肌$)22.从而由②搦阳£匕工5眩八巾找门66>33X4fi666>56.n*l跖：也两连*分隔边糸数的北小诜丐于5氐证明：持先证明□卜两个信论站it11ff在幣数气*%…心・瀝<4bdj+勺吗十…*©a*=I*并MI；|sm*l£t£rt・由F(%旳异・・・“」=E・由養圖J®理*柱住样散5工「…、j満足『I叫+c3ttj+…+匚巴—i*r..i.)卜向址割，通过関整.T"创5仁・…心儲足艮绝規优肉小超过旳.记

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