动能定理的典型例题

“动能定理”的典型例题【例1】质量为m=2kg的物体，在水平面上以V]=6m/s的速度匀速向西运动，若有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s内物体的动能增加了[]A.28JB.64JC.32JD.36JE.100J【分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后将做类似于平抛的曲线运动（见图）.物体在向北方向上的加速度s2=4m/s2.2s后在向北方向上的速度分量v,=at=4x2m/s=8m/sA故2s后物体的合速度v=J片十破=十64m/s=1Om/s所以物体在2s内增加的动能为ZXEv=—mv2-—mv?=

k221也可以根据力对物体做动能定理来计算.由于在这个过程中，可以看作物体只受外力F作用，在这个力方向上的位移21s=—at=—x4=8m,2外力F对物体做的功W=Fs=8X8J=64J,故物体动能的增加AEt=W=64J.【答】B.【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷.有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了ZXEk2=-0=ix2x641=64J.U-l即整个物体的动能增加了64J，故选B.必须注意，这种看法是错误的.动能是一个标量（不同于动量），不能分解.外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式（不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式）.上述计算结果的巧合是由于v2与v1互成90°角的缘故.【例2】一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s（见图），不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同，求摩擦因数U.【分析】以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即Ek疔Ek1=0.可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系.【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功（支持力不做功），设斜面倾角为a,斜坡长L,则重力和摩擦力的功分别为WG=mgsinaL,Wf1=-UmgcosaL.在平面上滑行时仅有摩擦力做功（重力和支持力不做功），设平面上滑行距离为s2,则Wf2=-Umgs2.整个运动过程中所有外力的功为W=WG+Wfi+Wf2，=mgsinaL-UumgcosaL-Umgs2.根据动能定理，W=Ek2-Eki或mgsin1-RmgcosCl一以mg卷=0,得h-七-f=Q,式中s1为斜面底端与物体初位置间水平距离，故【说明】本题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解.物体沿斜面下滑时的加速度mgsinD-cosai=，m=ganCl-四gcos6.滑到底端的速度o=7W物体在平面上滑行时的加速度_Pmga2=m=-f由0-v2p=瓦矣，即一类（sinh一四m泪）1三一2诉事,得h一叫垣=N为，比较这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化（如从斜面到平面的运动情况的变化），显得更为简捷.本题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法.［例3】一节车厢以速度v*瑚侍送带前通过，待送带以考=2t/s的速度将矿砂竖直散落到车厢内，为了保持车厢勾速运动，设车厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加［］A.1X103NB.2X103NC.4X103ND.条件不足，无法判断As=y*At=—*At【分析】矿砂落入车2厢后，受到车厢板摩擦力f的作用，使它做加速运动，经时间At后矿砂的速度达到车厢的速度v=2m/s,这段时间内矿砂的位移As=v*At=-*At2因此选At内落下的矿砂Am为研究对象，以将接角车箱板和达到速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量AE、=|An•『，外力的功就等于摩擦力的的珈曰fAs=f，＞At由功与动能变化的关系得f•-V•A=-An•V222.'.f=—*v=2x2N=4xlO3NAt在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f',其大小也为4X103N，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为AF=fy="1而【答】C.【说明】常有人误认为矿砂落入车厢内，矿砂的位移就是车厢的位移乙s=4,于是得车厢应增加的牵引力大小为AmAtV=-x2x103x2N=2X103N.2这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力.也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一部分消耗在克服摩擦做功而转化为热能.!iedtxx('stylebkzd','1107P02.htm')【例4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，如图a所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H.车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.Ei-*—H-「-|Q【分析】汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得.【解】以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0.随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量(图b)，即于是重物的动能增为「1212Eg=Q=4mv5在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg.物体上升的高度和重力的功分别为h=V2H-H=G/2-l)Hr用G=-幡h=--1)H.于是由动能定理得用T+%=AEk=AEk2-Ekb

WT=-0.所以绳子拉力对物体做的功WTWT=+mg(72-1)H.【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定.车子向左运动时，绳端（P）除了有沿绳子方向的运动趋势外（每一瞬间绳处于张紧的状态），还参予了绕0点的转动运动（绳与竖直方向间夹角不断变化），因此还应该有一个绕O点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向.所以车子运动到B点时的速度分解图应如图6所示，由此得拉绳的速度Vb1（即提升重物的速度vQ）与车速vB的关系为vEL=vQ=vEcos45.【例5】在平直公路上，汽车由静止开始作匀速运动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图所示•设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则[]A.F：f=1：3B.F：f=4：1C.W1：W疔1：1D.W1：W2=1：3【分析】在t=0〜1s内，汽车在牵引力F和摩擦力f共同作用下作匀加速运动，设加速度为a】.由牛顿第二定律F-f=ma1.在t=l〜4s内，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2,则-f=ma2.由于两过程中加速度大小之比为F4■,■f「在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知，t=O~lsA：WF-Wfl=t=1〜如内-W技=.・.WF=Wf1+W广Wf。即全过程中牵引力做功（W1=WF）和汽车克服摩擦力做功（W2=Wf）相等.【答】B.C.【说明】为了比较两个功的关系，还可以从全过程考虑：因为汽车在始、末两状态都处于静止，则AEk=0,所以整个过程中各个力做功之和EW=0,于是立即可得W1=Wf（即W1=W2）.这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在aEk=0的情况，往往更为简捷，请加以体会.【例6】质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为[]A.—mgRD.tngR.A.—mgRmgmg【分析】设小球通过最低点A的速度为v1，绳子张力T1=7mg.在最低点时，由绳子张力和小球重力的合力提供向心力，【解】根据Tj-mg=设小球恰通过最高点的速度为v2,心力，即此时绳子张力T2=0,正好由小球重力提供向小球由最低点运动到最高点B设小球恰通过最高点的速度为v2,心力，即此时绳子张力T2=0,正好由小球重力提供向得矿！mgR.所以,小球克服空气阻力做【答】C.【例7】在光滑水平面上有一静止的物体.现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体.当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J.则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少？【分析】物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零.根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即可得解.或者根据两个力作用时间相同、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，即可得解.【解】方法1物体从静止起受水平恒力F甲作用，做匀加速运动，经一段时间t后的速度为F甲气="=(―)t.以后，受反方向水平恒力做匀减速运动（叱=里），经同样时m间t后回到原处.整个时间内物体的位移为零.1212+V!t--a2t2=0,1F田.F田一1F/.永土『十(土EmmEm珏=3F甲■设在F甲作用下物体的位移为s，对全过程由动能定理得s+F^s=AEk,即F时+3F甲所以，恒力甲和乙做的功分别为W甲=「甲5=^,=lx32J=SJn3=F，s=-AElf=;乂物=24J.JlilAlil方法2设恒力F甲作用时间t,使物体通过位移s后的速度为v1,恒力F乙物体回到原点的速度为v2,作用时间也是t.前、后两段相同时间t内的位移大小相等，由得v2=2v1，1212Ek2=严1=4X-mv2二唱i-已知Ek2=32J，故Ek1=8J.根据动能定理可知，恒力F甲和F乙做的功分别为W甲=£灯=8」，W乙=Ek1=32J—8J=24J.【说明】本题可以利用v-t图，更直观地得到启发，设F甲作用时间t后物体的速度为七，这就是匀加速运动的末速度.接着在F乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向运动，设经时间t0后速度减小为零，然后反向运动.因此，物体运动过程的v-t图如图所示.物体回到原点，意味着图线上下方与t轴间的面积相等.设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为a1>a2则vi=ait，v2=a2（t2-t0），TOC\o"1-5"\h\z■■-G+t0）=|a2Ct2-t0）3.CO又=a3t0.（2）联立（1）、（2）两式得\o"CurrentDocument"上=£即色=土t口ai所以两力做功之比W己盼八的WBF„sF„a,.'.WB=幻，W.=24T.1"a【例8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等.在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变.CD■lp-M-

FF当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H.【分析】下落至加速度为零时，AO、BO两绳的合力应等于重力mg，此时ZAOB=120°，于是即可算出下落距离和C、D两端上升距离，克服C端恒力的功即可求出.在物块的下落过程中，AO、BO两绳中拉力不断变化.开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至v=0时，达下落的最大距离H.由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离.【解】(1)物块下落时受到三个力的作用：重力mg、绳AO、BO的拉力F.当绳拉力的向上合力R等于重力mg时，物块下落的加速度为零.由于F恒为mg、所以a=0时，三力互成120°夹角.如图所示，于是，由图可知，下落距离h=Ltg^=Ltg30°=-^-L(2)物块下落h时，C、D两端上升距离LJ所以物块克服C端恒力F做功em(点-3、伐必-3】TW=Fh;=mg,——-——L=——-——mgL(3)由上面的分析可知，物块下落h时的速度就是最大速度.根据动能定理得最大速度4W2ghm据A{2^-3\2g,—LmgLV33JJ(4-点当物块下落最大距离H时，C、D两端上升的距离为"=7h3+La-L.同理，由mgH-2Fh〃=0,即mgH-2mg(7H2+L2-L)=0,得【例9】质量为m的物体A以速度v0在平台上运动，滑到与平台等高、质量为M的静止小车B上.小车B在光滑水平地面上，物体A与B之间动摩擦因数为U.不计A的体积，为使A在小车B上不致滑出，试问小车B的长度L至少为多少（见图）？【分析】A滑上B后，A受到B的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；B受到A的摩擦力而作匀加速运动，速度逐渐增大.如A滑到B的最右端时，两者刚好速度相同，处于相对静止，A就不致从B上滑出.把物体A、B作为一个系统，它们之间的相互作用力就是内力，系统在水平方向不受外力，动量守恒.根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后，便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑.【解】设物体A、B相对静止时的共同速度为v，由于A、B在相互作用的过程水平方向不受外力，动量守恒.则有V,设在这段过程中小车的位移为s，则物体A的位移为s+L（见图），可以由多种方法求解：

用牛顿第二定律结合运动学公式解:对物体A—umg=maA,对小车Bumg=Ma对小车Bumg=MaB,aB=umg/M.两者相对静止时又v2』r.v两者相对静止时又v2』r.v-v0Vo=2aA]s+L)..s+L=v=2aES因此，L=2四应2色卫m+Mj用动能定理解:对物体A-四曜对物体A-四曜(s+L)=!呻-扣.对小车E^-mgs=-^-Mv2—0.两式相加并代入解得的v,得_l^n^L=-(m+M)撰-如二（3）用动量定理解：设从A滑上小车B,到两者相对静止的时间为t,则对物体A-Ringt两式相加并代入解得的v,得_l^n^L=-(m+M)撰-如二对小车EV哗t=Mv-。得t=——.由mg_vMvMw■■-S=VEt=-•=，」pcmg2/tmg_v0+vMvMv0v+Mv2，+l=e.*=g.因此，MvovMv0mv0MM

L==*=.2pcn^g2由mgm+M2井（m+M）g（4）运用v-t图线解：作出物体A与小车B的v-t图（见图）小车长L，数值上等于图中划有斜线的三角形面积.1MvMvniiivn—U-t=—u*020mmg2闵m+M2体(m+M)g'【说明】本题的关键是通过对运动过程的分析，找出A不致从B上滑出的条件.题中综合了力和运动关系的三条线索以及运动图像，因此，本题知识容量较大，应很好体会.【例10】在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为m2=25kg的拖车相连接.一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上.物体与平板间的滑动摩擦因数为u=0.20.开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以v0=3m/s的速度向前运动.求：吨口|11当m1、m2、m3以同一速度前进时，速度的大小.物体在拖车平板上移动的距离.(g取10m/s2)【分析】1.把小车、拖车和物体作为一个系统，由水平方向动量守恒可得共同前进的速度.2.物体获得共同前进的速度，可认为经历了两个过程：先是小车与拖车相互作用；然后是(小车+拖车)与物体的作用.解(1)由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒，m1v0=(m1+m2+m3)u，得三者一起运动的速度大小为u=wn=—一———xs,臣1+屿+皿20+15+15=Im/s.(2)小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直.因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用.对小车与拖车由水平方向动量守恒m1v0=(m1+m2)v12，得绳刚拉紧时两者的共同速度20,4.viav0-———X3mZs=-mzs.12mi020+153此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f(f=um3g)，使物体向前(与v12同向)作加速运动，物体对拖车的摩擦力f'(f'=f)使拖车(包括小车)作减速运动，直至物体和拖车(包括小车)以共同速度u运动.在这个过程中，设拖车(包括小车)对地面的位移为s2、物体对地面的位移为s3对拖车位移为d，如图所示.根据动能定理对拖车和小车-fsl-fsl2=2十mq)u3--Cmt+m2)建,即逐勺二:(m1+m2)(u%-u1对物体f电=51^11',即=-|mEu2.一1?）印+”）后一!由此解得拖车和物体的位移分别为TOC\o"1-5"\h\z?以m§g2x0.20^15一1?）印+”）后一!『11—m=—in2疼2x0.20x104'所以，物体在拖车平板上移动的距离.711d=sQ—s,=—m——m=—m0.33m.2312-43【说明】根据物体间发生相对运动时，因摩擦损失的机械能是相互间的一对摩擦力做功的结果，数值上等于摩擦力与相对位移的乘积.由能的转化和实恒1212云物+叫；加广削烟1+地+曜J我=日叫#立即可求出物体在平板上的滑移距离二Sb+m接吁%（皿］+m；；十山？）疽（20十25）x^-（20-h25+15）xl

=r2x0.20＞：15xl0'=-m=0.33m.3!iedtxx('stylebkzd','1107P03.htm')【例11】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A,mVM.现以地面为参考系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板.以地面为参考系，若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向.若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离.【分析】(1)把A、B两物体作为一个系统，它们之间相互作用的摩擦力为内力，系统在水平方向不受外力，相互作用的任一时刻都遵守动量守恒定律.A恰好有滑离B板，表示A到达B板左端时，两者具有共同的速度.(2)小木块A的对地速度从最初向左的v0变到最后向右的共同速度，必是先向左减速至零，后向右从零加速.在这个过程中，水平方向仅受摩擦力作用，根据动能定理(或牛顿运