2022年山东省济南市槐荫区九年级一模数学试题（解析版）

2022年学业水平阶段性调研测试数学试题第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列各数是无理数的是（）A.0 B. C. D.3.14【答案】C【解析】【分析】根据无理数就是无限不循环小数对各选项进行判断即可．【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、-1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、π是无理数，故本选项符合题意；D、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等这样类型的数．2.如图所示，该几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，底层是一个小正方形，上层也是一个小正方形．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．3.2021年槐荫教育大会发布了“教育提升三年行动计划”，计划中明确提出：3年内提供中小学学位20160个、公办幼儿园学位9180个．其中20160用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n的值比原数整数位少1．【详解】解：20160用科学记数法表示为2.016×104．故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a，n的值是解决问题的关键．4.下列各图中，已知∠1=∠2，不能证明AB∥CD的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定定理即可判断求解．【详解】：A、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；B、由∠1=∠2，不能判断AB∥CD，该选项符合题意；C、∵∠1=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥CD，该选项不符合题意；

D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．【详解】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项错误；D、，此选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键．6.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将分母因式分解，再将分式通分，最后根据同分母的分式加法法则进行计算．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查分式的加法法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式的加法法则．7.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A.10° B.15° C.20° D.25°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选A【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.8.若，则一次函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，判断出k-1和1-k的正负，然后根据一次函数的图像与性质解答即可.【详解】∵，∴k-1>0，1-k<0，∴y的值随x的增大而增大，且与y轴的负半轴相交.故选A.【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.当b＞0，图像与y轴的正半轴相交，当b<0，图像与y轴的负半轴相交.9.如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为，则点P的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．【详解】解：如图，作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，则sinα=，∴PA=OPsinα，∵cosα=，∴OA=OPcosα．∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα．∴P点的坐标为(cosα,sinα)，故选D.【点睛】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系．10.如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（）

A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【详解】解：∵是的直径∴∠∵∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故选：B．【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．11.如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】连接DE，通过旋转，可以证明△ABP≌△ADE，即可求出∠ADE的角是定角，OE的最小值即为过O点到DE的垂线长，也就是OD长的一半；【详解】如图所示，连接DE∵四边形ABCD是菱形，且，，∴AF=4，DF=4，∴AD=8，∴∠ADB=∠ABD=30°，根据旋转的性质，AP=AE，∠BAD=∠PAE，∴∠BAP=∠DAE，在△ABP和△ADE中，∴△ABP≌△ADE，∴∠ABP=∠ADE=30°，∴DE是满足∠ADE=30°的线段，∴OE的最小值为过点O作DE的垂线，∵O是AD的中点，所以OD=4，此时的OE值为OD==2；故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE=30°是解决本题的关键．12.二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：对于二次函数y=ax2+2ax+3，其函数图象的对称轴为x=-=-1，当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少，当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值，∴a×22+2a×2+3<4，解得：a<，∴a的取值范围为；当a<0时，a-1<-1，开口向下，当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值，∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，解得：a>-1，∴a的取值范围为；综上，a的取值范围为或，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13.分解因式：_________．【答案】【解析】【分析】首先提取公因式2，再根据完全平行方公式即可分解因式．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了利用提公因式法和完全平方公式分解因式，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．14.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．【答案】【解析】【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴小球停在黑色区域的概率是；故答案为：【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．15.为落实“双减”政策，学校随机调查了30名学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生睡眠时间的中位数是______小时．时间/小时78910人数61194【答案】8【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【详解】解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两名学生一周平均每天的睡眠时间分别是8，8，故中位数是(8+8)÷2=8，故答案为8．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．16.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______________．【答案】（35-2x）（20-x）=660【解析】【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．故答案为：（35-2x）（20-x）=660．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____．【答案】【解析】【分析】延长GH交AD点p,先证三角形APH与三角形FGH全等，得AP=GF=1，GH=PH=PG,再由勾股定理求得PG,从而得出答案.【详解】如图，延长GH交AD于p,∵矩形ABCD与CEFG，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH∵H是AF的中点，∴AH=FH,在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH,∠AHP=∠FHG∴△APH≌△FGH∴AP=GF=1，GH=PH=PG∴PD=AD-AP=1∴CG=2，CD=1∴DG=1∴GH=PG=.【点睛】本题考查的是矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.18.如图，线段，在线段AB上有一点C，当时，以BC为直角边在AB上方作等腰，，P为平面内一点，连接PB，PC，将和分别沿DB，PC翻折得到和，若A、、P恰好共线，则线段PD的最小值是______．【答案】2-2【解析】【分析】由题意可知当P、B、D在同一直线上时，PD最小，此时PD=BP-BD，据此可以画出图形，然后由已知算出BP和BD，即可得到解答．【详解】当P、B、D构成三角形时，PD>BP-BD，当P、B、D在同一直线上时，PD=BP-BD，∴PD≥BP-BD，故当P、B、D在同一直线上时，PD最小，如图所示，∵△DBC为等腰直角三角形，∴.DB=BC=2，由折叠可知：BC=B'C=2，∠PBC=∠PB'C=90°，∴AB=6，∴.AC=4，∵sin∠CAP=，∴.∠CAP=30°，∴.tan∠CAP=，∴BP=2，∴PD=BP-BD=2-2，即PD最小值为2-2，故答案为：2-2．【点睛】本题考查轴对称、解直角三角形和最短距离问题，抓住“P、B、D在同一直线上时，PD最小”是解题的关键.三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19.【答案】0【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和零指数幂，后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：=3-4×-2+1=3-2-2+1=0【点睛】此题主要考查了实数的运算，负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和零指数幂．熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.解不等式组.【答案】【解析】【分析】首先分别求出两个不等式得解集，然后利用不等式取解集的方法求不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的方法是解答此题的关键．21.如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．【答案】见解析【解析】【分析】先由菱形的性质得到，，再由证得，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是菱形，，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．22.2021年12月16日槐荫区2021“勾股数学”杯计算大赛在全区七年级学生中拉开序幕，为准备此次大赛，某校组织了模拟比赛，并随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，绘制了如下统计图，请结合统计图，回答下列问题：等级成绩xABCDE（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，条形统计图中______；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中B等级所占的圆心角为______度；（4）该学校七年级共500名学生，估计成绩在110分以上的有多少人？【答案】（1）50；3（2）见解析（3）108（4）200人【解析】【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求得随机抽取的总人数；根据随机抽取的总人数乘以D等级所占百分比即可求得m的值；（2）根据随机抽取的总人数乘以C等级所占百分比即可求得C等级的人数，然后即可补全条形统计图；（3）用360°乘以B等级所占的百分比即可得到答案；（4）用500乘以成绩在110分以上的人数所占的百分比即可得到答案.【小问1详解】解：∵（名），∴次调查一共随机抽取了50名学生的成绩；∵（名），∴m=3.【小问2详解】解：∵（名），∴C等级的人数为25名，如图，【小问3详解】解：∵，∴B等级所占的圆心角为108度.【小问4详解】解：∵（人）∴估计成绩在110分以上的有200人.【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，并能从不同的统计图中获取有用信息.23.如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠A=∠ODB，得到，再由DE是圆O的切线，即可得到∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；（2）如图所示，连接OD，CD，由BC是圆O的直径，推出∠AED=∠ADC，即可证明△ADE∽△ACD，得到由此求解即可，【小问1详解】解：如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠ODB，∴，∵DE是圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠DEA=∠ODE=90°，即DE⊥AC；【小问2详解】解：如图所示，连接OD，CD，∵BC是圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°∴∠AED=∠ADC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC＝BC，BC＝4cm，∴AC＝4cm，即，∴．【点睛】本题主要考查圆切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．24.2021年11月，某网店当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为102元/个和60元/个．由于冬奥会的举行，这两款毛绒玩具持续热销，于是该店再次购进这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该店当月销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；（2）当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．【解析】【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；（2）根据题意，列一元一次不等式组，求出m的解集，表示出月销售利润w=-2m+12000，根据函数增减性即可求出最大利润．【小问1详解】解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x元，y元，根据题意得，

解得，答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和80元；【小问2详解】解：设“冰墩墩”购进m个时该旗舰店当月销售利润最大，此时“雪容融”购进了（600-m）个，根据题意，得600-m≤2m，解不等式得m≥200，设该旗舰店当月销售利润w=（120-102）m+（80-60）（600-m）=-2m+12000，∵-2＜0，∴w随着m的增大而减小，∴当m=200时，w最大=-400+12000=11600，答：当“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式的综合，根据题意列二元一次方程组以及表示出w关于m的函数关系式是解决本题的关键．25.如图1，一次函数y=kx-3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当tan∠ADC=2时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为y=x-3，反比例函数解析式为y=；（2）点C坐标为（2，-2）；（3）O'（4，2），D'（6，6）．【解析】【分析】（1）把A坐标代入一次函数解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，再将A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）设点C（a，a-3）（0＜a＜8），则有D（a，），过A作AE⊥CD于点E，用a表示出DE、AE的长，再由正切函数得到方程，解方程求解即可；（3）连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，根据两直线平行时k的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O'的坐标，根据平移的性质，由O平移到O'的路径确定出D平移到D'的路径，进而确定出D'的坐标即可．【小问1详解】解：∵点A（8，1）在直线y=kx-3上，∴1=8k-3，解得：k=，∴一次函数解析式为y=x-3，∵A（8，1）在y=（x＞0）的图象上，∴1=，解得：m=8，则反比例函数解析式为y=；【小问2详解】解：设C（a，a-3）（0＜a＜8），则有D（a，），过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-a，DE=-1，∵tan∠ADC=2，即AE=2DE，∴8-a=2(-1)，整理得：a2-10a+16=0，解得：a=8(舍去)或a=2，∴点C的坐标为（2，-2）；【小问3详解】解：连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，∴直线OO'解析式为y=x，联立得：，解得：或（不合题意，舍去），∴O'（4，2），即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），又由（2）中知D坐标为（2，4），∴点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．【点睛】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．26.如图1，正方形ABCD与正方形AEGF有公共顶点A，点B，D分别在边AE和AF上，连接BF，DE，M是DE的中点，连接AM交BF于点N．（1）【观察猜想】线段BF与AM之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【问题呈现】将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转至图2的位置，AM所在直线交DE于点N，其他条件不变，请尝试探究线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？【探究思路】延长AM至点H，使，连接BH，可证明，从而将线段DE转化为线段AH，进而探究所需结论．【问题解决】①请在图2中按要求作出辅助线，并写出的证明过程；②线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若，将图1中的正方形AEGF绕点A旋转一周，BN是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在请说明理由．【答案】（1）（2）见详解．（3）存在最小值，【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，AF=AE，∠DAE=∠BAF=90°，证明△DAE≌△BAF(SAS)，由全等三角形的性质得出DE=BF，∠ADE=∠ABF，由直角三角形的性质可得出结论．（2）延长AM至点H，使得AM=MH，连接FH，证明由全等三角形的性质得出证明由全等三角形的性质得出则可得出答案．（3）根据旋转图像即可得出结果．【小问1详解】解：∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，

在中，M是BF的中点，又即故答案为：【小问2详解】解：①如图所示：延长AM至点H，使，连接BH，∵M是FB的中点，

在和中，

②结论仍然成立，

即【小问3详解】解：当正方形AEGF旋转到如图所示的位置式，此时点N与点A重合，BN最短，.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段AB上一点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，求出点E到直线BC距离d的最大值；（3）连接CD，作点B关于CD的对称点，连接，．在点D的运动过程中，能否等于45°？若能，请直接写出此时点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）A（-2，0），B（3，0），C（0，3）；（2）点E到直线BC的距离d的最大值为；（3）在点D的运动过程中，∠ADB'能等于45°，此时点B′的坐标为（0，-3）或（-3，3）．【解析】【分析】（1）分别令x=0，或y=0，求出对应的