西安交通大学复变函数习题

复变函数测验题复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.当z=ti时，z100+z75+z50的值等于( )-i(A)i (B)-i (C)1 (D)-15二2.设受数z满足arc(z+2)=—，arc(z—2)=——,那么z=( )3 61 3 3 1(A)—1+V3i (B)—T3+i (C)--+—i (D)--+—i2 2 2 23.复数z=tane—i(工<9<n)的三角表示式是( )23二 3二(A)secB[cos(—十8)+isin(—+8)] (B)se6[cos(——十B)+isin(——十8)]2 2 2 2一 3二 3二(C)-sec6[cos(——+6)+iSin(——十日)](D)-sec0[cos(—+日)+isin(—十日)]2 2 2 2.若z为非零复数，则z2-z2与2五的关系是( )(A)z2-z2|>2zz (B)z2z2=2zz2一2(C)z2z2<2zz (D)不能比较大小.设x,y为实数，z1=x+，11+yi,z2=x-d1+yi且有z1+z2|=12,则动点(x,y)的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线冗.一个向量顺时针旋转 一，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为3-J3i,则原向量对应的复数是( )(A)2 (B)1+V3i (C)v3-i (D)省十i

2.使得z=|z成立的复数Z是( )(D)实数(A)不存在的 (B)唯一的 (C)(D)实数.设Z为复数，则方程2十之=2十1的解是()3--i3--i43—i43(C)--i43.(D) i49.9.满足不等式|z21|<2的所有点z构成的集合是( )(A)有界区域 (B)无界区域 (C)有界闭区域10.方程z+2—3i=J2所代表的曲线是( )(D)无界闭区域(A)中心为(A)中心为2—3i,半径为J2的圆周(B)中心为—2+3i,半径为2的圆周(C)中心为(C)中心为—2+3i,半径为J2的圆周(D)中心为2—3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( )(A)(B)z+3-z-3=4(A)-^a=1(a<1)1-az-^a=1(a<1)1-azzzazazaa-c=0(c0).设f(z)=1—z,4=2+3i,z2=5—i,,则f(乙—z2)=()(A)-4-4i(B)4十4i (C)4—4i (D)—4十4iTOC\o"1-5"\h\zIm(z)-Im(z0)， 、.lim—(—) (—02( )xfo z。z0(A)等于i (B)等于-i (C)等于0 (D)不存在.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点zO=x°+iy0处连续的充要条件是( )u(x,y)在u(x,y)在(x0,y0)处连续v(x,y)在(x0,y0)处连续(Ou(x,y)和v(x,y)在(x。,y°)处连续(D)u(x,y)+v(x,y)在(x0,y0)处连续15.设ZWC且z=1,则函数f(z)z215.设ZWC且z=1,则函数f(z)z2-z1的最小值为(-3-11二、填空题1.设(1i)(2-i)(3-i)z二 1.设(3i)(2i)2.设z=(2-3i)(-2+i),则2.设3.设二3.设二5,arg(z-i);，则z二, —.・ ・一C、2…鬻谓n*~.以方程z6=7-V15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为.不等式z-2+z+2<5所表示的区域是曲线的内部「2z-1-i….方程 =1所表示曲线的直角坐标方程为 2-(1-i)z.方程|z+1-2i|=z-2+i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线.对于映射缶=■!■，圆周x2+(y—1)2=1的像曲线为zlim”+z2+2z4)= 三、若复数z满足五十(1—2i)z+(1+2i)z+3=0,试求z+2的取值范围.四、设a至0,在复数集C中解方程z2+2z=a.

五、设复数z。±i，试证—2^是实数的充要条件为 z=1或IM(z)=0.1z1 1 K、对于映射0=a(z+—),求出圆周z=4的像.七、试证1.亘之0(z2¥0)的充要条件为z1+z2=z1+z2;z22.亘之0(zj#0,k#j,k,j=1,2，…,n))的充要条件为z210<|z—z0|<S时有f(z)>-|A.z1+z2 +…+zn = z1 10<|z—z0|<S时有f(z)>-|A.若limf(z)=A=0,则存在6>0,使得当x—x0x+y九、设z=x+iy,试证——E忆Ex+y22十、设z=x+iy,试讨论下列函数的连续性:2xyf(z)=x2y20,3 3xyf(z)=」x2+y2.0,第二章解析函数一、选择题：一，， 2.函数f(z)=3z在点z=0处是()(A)解析的 (B)可导的(C)不可导的 (D)既不解析也不可导.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件也非必要条件.下列命题中，正确的是()(A)设x,y为实数，则cos(x+iy)<1(B)若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导(C)若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)=u+iv在D内解析(D)若f(z)在区域D内解析，则"iflz)在D内也解析TOC\o"1-5"\h\z.下列函数中，为解析函数的是 ()2 2 2 .(A)x-y-2xyi (B)x+xyi2 2 3 3(C)2(x-1)y+i(y-x+2x) (D)x+iyz0.函数f(z)=z2Im(z)在 处的导数()(A)等于0 (B)等于1 (C)等于-1 (D)不存在.若函数f(z)=x2+2xy-y2+i(y2+axy-x2)在复平面内处处解析，那么实常数a=()(A)0 (B)1 (C)2 (D)-2.如果f(z)在单位圆z<1内处处为零，且f(0)=—1,那么在z<1内f(z)三()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)任意常数.设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

(A)若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数(B)若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数(C)若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数(D)若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数2 29-设f(z)=x+iy,则f(1+i)=()(A)2 (B)2i (C)1+i (D)2+2iii的主值为()(A)0 (B)1 (C)e2 (D)e-2(B)有可导点，但不解析(D)处处解析e(B)有可导点，但不解析(D)处处解析(A)无可导点(C)有可导点，且在可导点集上解析设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是 ()(A)f(z)(A)f(z)在复平面上处处解析iz -iz(C)f(z)=e—e2.设口为任意实数，则1口()(A)无定义(C)是复数，其实部等于 1.下列数中，为实数的是()3 .(A)(1-i) (B)COSi15.设口是复数，则()z□在复平面上处处解析z一般是多值函数f(z)以2n为周期f(z)是无界的(B)等于1(D)是复数，其模等于13二i(C)lni (D)e2(B)z。的模为(D)z”的辐角为z的辐角的倍、填空题.设f(0)=1,f(0)=1+i,则lim——=.设f(z)=u+iv在区域D内是解析的，如果u+v是实常数，那么f(z)在D内是TOC\o"1-5"\h\z一一；u :v.导函数f(z)=——十i——在区域D内解析的充要条件为ex ex, 3 3 22 ,, 3 3.设f(z)=x+y+ixy,则f(__+_[)=22.若解析函数f(z)=u+iv的实部u=x2-y2,那么f(z)=.函数f(z)=zIm(z)-Re(z)仅在点z=处可导.设f(z)=1z5—(1+i)z,则方程f'(z)=0的所有根为5.复数ii的模为 .Im{ln(3-4i)}= .方程1—e-=0的全部解为、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为z=x+iy的解析函数，若记_zzz-zzzz-z ；ww(z'z)=u(h,^7)2(h,其)’则至"四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数f(z)=cosxcoshy-isinxsinhy;x x.f(z)=e(xcosy-ysiny)+ie(ycosy+ixsiny);dwd2w五、设w3-2zw+ez=0,求一，二.dzdz六、设f(z)=〈[2xy(xiy)y40,z'0试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知u-v=x22-y，试确7E解析函数 f(z)=u+iv.-T£八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转二即得n.如果f(z)=u+iv为解析函数,2则有.s,ncnv--(上与二分别表示沿s,n的方向导数).s；s；n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数 f(z)在下半平面内解析.十、解方程sinzicosz=4i.第三章复变函数的积分、选择题:1.设c为从原点沿的弧段，则2[(x+iy)dz=(1 5(A 5i66(B i661(C)--61(D62.设c为不经过点1与—1的正向简单闭曲线，则C](z-1)(z1)2dz为()(A)(B)(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能3.设c1：(A)z=1为负向，C2：z=3正向，则可sinzdz-(-2i(B)0(C)(D)4二i4.设c为正向圆周(A)-sin1(B)sin1(C)-2isin1(D)2isin13 1/zcos 、一、，一，一一1 . 7—95.设c为正向圆周z=—,则q zTAdz=()2C(1-z)(A)2ni(3cos1-sinl) (B)0 (C)6nicos1 (D)—2nisin1e.设f(z)= -——dt，其中z#4,则f(ni)=()-T(A)-2ni (B)-1 (Q2ni (D)1.设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零， c为B内任何一条简单闭曲线，则积分f(z)2f(z)f(z)()zf(z)(A)于2二i(B)等于-2i(C)等于(D)不能确定8.设c是从0至IJ1的直线段，则积分czedz=(9.e1-2(B)f(z)2f(z)f(z)()zf(z)(A)于2二i(B)等于-2i(C)等于(D)不能确定8.设c是从0至IJ1的直线段，则积分czedz=(9.e1-2(B)(C)e——i2(D)设c为正向圆周x2ji

sin([z)z2-1dz(A)旦i22i0(D)10.设c为正向圆周2二ie11.设f(z)在区域zcosz2(a-i)dz=(0icosiD内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D.如果f(z)在c上的值为2,那么对c内任一点Zo,f(Zo)()(A)等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能确定12.下列命题中，不正确的是()1(A)积分1^^dz的值与半径r(r〉0)的大小无关zJ=rz-a(B)q(x2+iy2)dz<2，其中c为连接—i到i的线段c(C)若在区域D内有f(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析(D)若f(z)在0<|z<1内解析，且沿任何圆周 c:z=r(0<r<1)的积分等于零，则f(z)在z=0处解析2 2.设c为任意实常数，那么由倜和函数 u=X-y确定的解析函数 f(z)=u+iv是()(A)iz2+c (B) iz2+ic (C)z2+c (D)z2十ic.下列命题中，正确的是()(A)设V1,V2在区域D内均为u的共轲调和函数，则必有Vi=V2(B)解析函数的实部是虚部的共轲调和函数(C)若f(z)=u+iv在区域D内解析，则型为D内的调和函数(D)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轲调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是()(A)v(x,y)+iu(x,y) (B)v(x,y)-iu(x,y)u:v(C)u(x,y)-iv(x,y) (D)——-i—XX

二、填空题.设c为沿原点z=0到点z=1+i的直线段，则f2Zdz=，c,■ z2-3z+2,.设c为正向圆周z—4=1,则f -dz=c(z-4)2sin(一).设f(z)=匚〕—t-2-dj其中|z#2,则f'(3)=|।=2 -z… —_e=…，z+Z..设c为正向圆周z=3,则dz二 cIz,ez.设c为负向圆周z=4,则q 5dz=c(z-m)5.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的.设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有ff(z)dz=0，那c么f(z)在B内 .调和函数中(x,y)=xy的共轲调和函数为…一… . . 3 2 一.，….右函数u(x,y)=x+axy为某一解析函数的虚部，则常数a=.设u(x,y)的共轲调和函数为v(x,y),那么v(x,y)的共轲调和函数为三、计算积分1.dz淇中R>0,R#11.dz淇中R>0,R#1且R#2;2.z2dz

z42z22四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1—f(z)c1(xwB).试证.在B内处处有f(z)#0；

.对于B内任意一条闭曲线c,都有cff-(^)dz=0cf(z)五、设f(z)在圆域z-a<R内解析，若maxf(z)=M(r)(0<r<R),则f(n)(a)<n!Mn(r)(n=1,2,…).rTOC\o"1-5"\h\zz _六、求积分q—dz,从而证明［；Tecos^cos(sin0)d6=n.|z|3z 0七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b,试求极限 dz并由此推证f(a)=f(b)(刘维尔Liouville定理)-b)八、设f(z)在zmR(Ra1)内解析，且f(0)=1,f(0)=2,试计算积分((z+i)2_(2z)dzz1 z、，，i, 2：：. 2"：. i-- ，并由此得出(cos—f(e)d^之值.九、设f(z)=u+iv是z的解析函数，证明d2ln(1+|f(z)『)十d2ln(1+|f(z)「) 4|f'(z)|22 2 22.ox W (1+|f(z))2十、若u=u(x2+y2),试求解析函数f(z)=u+iv.、选择题:设an(A)2.3.4.(-1)n ni第四章(n=1,2，…),则liman()n>(B)等于1(D)不存在卜列级数中，条件收敛的级数为/A、:13in(A)、( )nn/ 2二二in(C)、—n工n卜列级数中，绝对收敛的级数为二1(A)“1(1

n-1n二in(C)”——n-nn级数"CnZn

n=0(A)绝对收敛(C)发散(B)(D)oOZn=1oOZ

n1(34i)nn!(-1)ni(B)(D)n・n(T)i2nn1 2在z=1+2i处收敛，那么该级数在z=2处的敛散性为()(B)条件收敛(D)不能确定设备级数Zcnzn,ZnCnZn=0n=000和'、.一n=0ncn n1 z1的收敛半径分别为R1,R2,R3,则R1,R2,R3之间的关系是(A) R1 R2R3(B)Ri(C) R1=R2(D)RiQ06.设0<q<1,则哥级数的收敛半径R=()n=0(A)q(C)0(D) .：：n二二sin——7.哥级数2——2_(三)n的收敛半径R=(7.n1n212(Q・2(D)12(Q・2(D)+308.s：8.s：(-1)n

骞级数((一)-zn=0n1在z<1内的和函数为ln(1z)ln(1-z)ln(1z)ln(1-z)/、 1(D)/、 1(D)In—1z(D)In-

19.z设函数-e—cosz的泰勒展开式为'9.z设函数-e—cosz的泰勒展开式为'cnznn-0,那么骞级数oO

z

n=0Cnz的收敛半径(B)1冗

(C)(B)12+z+z2+…的收敛域是z10.；：［z：1z10.；：［z：1(C)(D)不存在的一，，1, 一一一11.函数下在z=-1处的泰勒展开式为(zod(A)X(-1)nn(z+1)n,(z+1<1)n1(B)”(-1)n」n(z1严n1(z+1<1)(C) n(z1广n1(|z+1|<1)oO(D)£n(z+1)n”(z+1<1)n112.函数sinz,在=三处的泰勒展开式为()2(A)QOznO(-i)n(2n1)!ji(z <y)2(B)JIz--2・•—)(C)nT _乩(z『(zJi <+=C)(D)JS(z.f2nn2(2n)! 2(F二)13.设f(z)在圆环域H:Ri<zzo<R2内的洛朗展开式为oOZcn(z-zo)n，绕Zo的任一条正向简单闭曲线，那么(A)2二ic」(B)2二ic1(C)2ic2(D)2二if(Zo)14.若cn=1(C43n(T)n,4n,15.设函数f(z)=m=()(A)1二、填空题n=0,1,2.n 0,1,2, ,则双边哥级数n=_1,_2,.COz(B)3:二z4..1(D)一：二z:二,二3z(z1)(z4)(B)2cnzn的收敛域为(在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有(C)3(D)4个，那么od.若哥级数cnCn(z十i)n在z=i处发散，那么该级数在z=2处的收敛性n少为,QO Q0.设备级数cnCnZn与Z[Re(Cn)]zn的收敛半径分别为 Ri和R2，那么Ri与R2之间的关n=0 n=0玄旦不TH.8.哥级数Z(2i)nz2n*的收敛半径R=n=0.设f(z)在区域D内解析，Zo为内的一点，d为Zo到D的边界上各点的最短距离，那么O0当Z—Zo|<d时，f(z)=£Cn(z-Zo)n成立，其中Cn=.n=0.函数arCtanz在z=0处的泰勒展开式为.TOC\o"1-5"\h\zQO Q0.设备级数工Cnzn的收敛半径为R,那么哥级数X(2n-1)Cnzn的收敛半径n-0 n-0为.oO . ℃zC7