2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)

2021年全国高中数学联赛试卷及答案最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分）。删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047C．2048D．2049答（）设a,bWR,abH0,那么直线ax—y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是ABCD答（）过抛物线y2=8（x+2）的焦点F作倾斜角为600的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于TOC\o"1-5"\h\zA．B．C．D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C．D．答（）已知x,y都在区间（一2,2）内，且xy=—1,则函数的最小值是A．B．C．D．答（）在四面体ABCD中，设AB=1,CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A．B．CD．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。TOC\o"1-5"\h\z7．不等式x3－2x2－4x＋3<0的解集是．设Fl,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF2=2:1，则三角形PF1F2的面积等于.已知A=｛x丨x2—4x+3V0，xWR｝，B=｛x丨21—x+aW0，x2—2（a+7）+5W0,xER｝，若AB，则实数a的取值范围是已知a，b，c，d均为正整数，且，若a—c=9,则b—d=.11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于设Mn=｛（十进制）n位纯小数丨ai只取0或1（i=1，2，…，n—1,an=l}.Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和,则=.得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）设WxW5，证明不等式.设A,B，C分别是复数Z0=ai,Z1=+bi,Z2=1+ci（其中a,b,c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos21sin2t+Z2sin41（tWR）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点．一张纸上画有半径为R的圆0和圆内一定点A,且OA=a.拆叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B所作割线交圆于C,D两点，C在P,D之间，在弦CD上取一点Q,使ZDAQ=ZPBC.求证：ZDBQ=ZPAC.得分评卷人（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l,m,n,且l〉m〉n,已知，其中{x}=x—[x],而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小值．得分评卷人（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+l,t$,q$2,qWN,已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）.2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。不要再增加其它中间档次．一．选择题：注意到452=2025,462=2116,・・・2026=a2026—45=al981,2115=a2115—45=a2070.而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数.又1981＋22=2021,・a2021=a1981+22=2026+22=2048.故选(C).题设方程可变形为y=ax+b和，贝U由观察可知应选(B).易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为，因此,A,B两点的横坐标满足方程3x2-8x-16=0,由此求得AB中点的横坐标，纵坐标，进而求得其中垂线方程为，令y=0,得P点的横坐标乂=，即PF=，故选(A).因为xw,・・・，因此与在上同为增函数，故当时，y取最大值.故选(0由已知得，故，而，故当时有最小值，故选(D).如图，过C作CE〃AB且CE=AB，以△CDE为底面，BC为侧棱作棱柱ABF—ECD,则所求四面体的体积VI等于上述棱柱体积V2的.而△CDE的面积S=CEXCDXsinZECD,AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF-ECD)的高，故，因此，故选(B).二．填空题：由原不等式分解可得(x—3)(x2+x—1)V0,由此得所求不等式的解集为．设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a=3，b=2，c=，故，PFl+PF2=2a=6，又已知［PF1：PF2=2：1，故可得PFl=4，PF2=2.在厶PF1F2中，三边之长分别为2，4，2，而22+42=(2)2，可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故厶PF1F2的面积=4.易得：A=(1，3)，设，要使，只需f(x)、g(x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f(1)W0，f(3)W0，g(1)W0，g(3)W0，由此推出一4WaW—1.由已知可得：，从而，因此alb，cId.又由于a—c=9，故，即，故得:，解得.故b—d=93.如图，由已知，上下层四个球的球心A/，B/，C/，D/和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆©0/和00为上下底面构成圆柱，同时，A/在下底面的射影必是弧AB的中点皿.在厶A/AB中，A/A=A/B=AB=2.设AB的中点为N，则A/N=.又0M=0A=，0N=1，・：MN=A/M=，故所求原来圆柱的高为.

・.・Mn中小数的小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法，故．又因在这2n—1个数中，小数点后第n位上的数字全是1,而其余各位上数字是0或1,各有一半.故・・・.三.解答题：解：•.•(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)W4(a2+b2+c2+d2)・(当且仅当a=b=c=d时取等号)5分取则15分・不能同时相等•••20分14.解：设z=x+yi(x、yWR),贝•••••y=(a+c—2b)x2+2(b—a)x+a,0WxW1①又TA、B、C三点不共线，故a+c—2b#0,可见所给曲线是抛物线段(如图)5分AB、BC的中点分别是D()，E()，・直线DE的方程是②10分由①②联立得■■15分・・・a+c—2bH0,・・・由于，・•・抛物线与厶ABC中平行于AC的中位线有且仅有一个公共点,此点的坐标为,对应的复数为20分15.解：如图，以0为原点，0A所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0).设折叠时，G>0上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN,则MN为线段AA/的中垂线.设P(x,y)为MN上任一点，则丨PA/I=|PA|5分=|PA|5分10分可得：・・・W1（此不等式也可直接由柯西不等式得到）15分平方后可化为21,即所求点的集合为椭圆圆=1外（含边界）的部分．20分2021年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．2．如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要再增加其它中间档次．证明：联结AB,在AADQ与AABC中，ZADQ=ZABC,ZDAQ=ZPBC=ZCAB故厶ADQ^^ABC,而有，即BC・AD=AB・DQ10分又由切割线关系知△PCAs^PAD得；同理由△PCBs^pbd得20分又因PA=PB,故，得AC・BD=BC・AD=AB・DQ30分又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知AC・BD+BC・AD=AB・CD于是得：AB・CD=2AB・DQ,故DQ=CD，即CQ=DQ40分在厶CBQ与AABD中，，ZBCQ=ZBAD，于是△CBQs^ABD,故ZCBQ=ZABD,即得ZDBQ=ZABCZPAC.50分解：由题设可知于是31三3m三3n（mod104）Û10分由于(3,2)=(3,5)=1,・：由①可知31—n三3m—n三1(mod24).设u是满足3u三1(mod24)的最小正整数，则对任意满足3v三1(mod24)的正整数v,我们有u丨v.事实上若u不整除v,则由带余除法可知，存在非负整数a、b,使得v=au+b,其中0VbWu—1,从而可推出3b三3b+au三3v三1(mod24)，而这显然与u的定义矛盾.注意到3三3(mod24),32三9(mod24),33三27三11(mod24),34三1(mod24)，从而可设m—n=4k，其中k为正整数20分同理由②可推出3m—n三1(mod25),故34k三1(mod25)现在我们求34k三1(mod25)满足的整数k.734=1+5X24,・・・34k—1=(1+5X24)k—1三0(mod55)30分或即有k=51,并代入该式得t+5t[3+(51—1)X27]三0(mod52)即k=51=53s,其中s为整数，故m—n=500s,s为正整数同理可得l—n=500r,r为正整数40分由于1〉m〉n,・・・r〉s这样三角形的三边为500r+n、500s+n和n,由于两边之差小于第三边，故n〉500(r—s)，因此当s=1,r=2,n=501时三角形的周长最小,其值为3003.50分证：设这n个点的集合V={A0,A1,A2,……,An—1}为全集，记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为Bi,Bi中点的个数记为丨Bi|=bi，显然且biW(n—1)(i=0,1,2,,n—1).若存在bi=n—1时，只须取，则图中必存在四边形，因此下面只讨论biVn—l(i=0,l,2,,n—1)的情TOC\o"1-5"\h\z况.10分不妨设q+2Wb0Vn—1用反证法若图中不存在四边形，则当iHj时，Bi与Bj无公共点对，即|BiQBjlW1(0WiVjWn—1)因此(i=0,1,2,,n—1)故中点对的个数=中点对的个数20分=(当bi=1或2时，令=0)=30分=上=故(n—1)(n—b0)(n—b0—1)$(nq—q+2—b0)(nq—q—n+3—b0)q(q+1