高数-上d2-1导数概念

1第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系第一节导数的概念第二章3物体在时刻时的瞬时速度.取极限得：解:1.物体作变速直线运动的速度问题设有一物体作变速直线运动,其运动方程为S=S(t),求出瞬时速度为：tt一、引例---导数的实际模型41)定义:切线---割线的极限位置.2.切线的斜率NM,沿曲线C2)切线MT的斜率割线MN

的斜率5切线MT的斜率为：瞬时速度为：两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题6二、导数的定义1.点导数：也记作或有定义知：7运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度是注意：(1)导数的物理意义与几何意义.(2)导数的形式特点是：“分子一定一动,分母有左有右”分子是函数值之差,分母是相应的自变量之差,分母趋于零的极限.8它反映因变量随自变量变化而变化的快慢程度.则它是一个确定的常数.9例1.

设存在,求极限解:

原式解:

因为例2.

设求10解:例3.判断函数在x=1处是否可导，若可导,请求导数.解:例4.11例5.解:122.左右导数的定义3.导数与单侧导数的关系主要用来讨论分段函数在分界点的可导问题.左导数与右导数都存在而且相等.定理：作用：13解:例6.注：分段函数分界点处的导数必须用导数的定义求.14如果函数在开区间内的每一点处都可导,就称函数在开区间内可导.如果函数在开区间内可导，都存在，就称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.4.导函数的概念都对应着的一个确定的导数值.这就构成了一个关于的新的函数，这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数.若函数在区间I上每一点处都可导，定义：记作:15注意:联系:(2)用定义求导数的步骤如下：注意:？区别:165.已记熟的公式：17例7.

求函数的导数.解:即类似可证得18例8.解：如即19例9.解：即解：有前述知例10.20本节应记熟的公式：21三、导数的几何意义1.导数的几何意义：处切线的斜率.即可导一定有切线且切线不垂直于x轴.2.可导的几何意义：y=f(x)在x0处可导曲线y=f(x)在(x0,f(x0))有不垂直于x轴的切线.问题：如果y=f(x)不可导,是否没有切线呢？22答：不一定.如：3.应用切线方程:法线方程:但有切线:也无切线.问题：如果y=f(x)不可导,是否没有切线呢？23例11.

问曲线哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令则在点(1,1),(–1,–1)处切线与平行，其切线方程分别为：即24四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:

设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续.即25注意:即：不连续一定不可导.1)该定理的逆定理不成立.2)逆否命题成立.即：连续不一定可导.如：处连续而不可导.3)可导与连续的关系是：在处可导在处连续，在处的极限一定存在，即存在.定理1.26例12.

设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:

显然该函数在x=0连续.故此时27内容小结1.可导导数的实质：函数的瞬时变化率.3.导数的几何意义:2.5.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.286.求导数