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文档简介

*收敛数列的性质*数列极限的定义第一节数列的极限1、刘徽割圆术：一、概念的引入

设有半径为

r

的圆,求其面积。方法：逼近圆面积S.用其内接正

n

边形的面积正六边形正八边形正十边形正十二边形如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

。(刘徽割圆术)数学语言描述:表示任意小二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列可以看作自变量为正整数n的函数，即当n>

N

时,总有此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.三、数列极限的定义记作或

对于任意给定的无论多么小的正数，总能找到一个正整数N，当n>

N

时,总有则称该数列的极限为a,正整数，数列极限中要注意的几点：※关于※关于※关于当n>

N

时,总有即几何解释:

这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。例如,趋势不定注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.收敛发散发散例1.

已知证明数列的极限为1.

证:,即证只要因此,取则当时,就有故要证例2证

利用定义验证数列极限，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易找到项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例3.

证明证:则当时,就有取要证只要即四、收敛数列的性质1.

（唯一性）收敛数列的极限唯一.2.

（子数列收敛性）收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.

在数列

{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：在中，项是第k项，而在中是第项，显然.例如，

发散!

说明:由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.3.

（有界性）收敛数列一定有界.也就是这个性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论

无界数列必定发散.内容小结1.数列极限的“–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;任一子数列收敛于同一极限；有界性。思考与练习1.如何判断极限不存在?2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处3.

设

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