机械电子系统的建模与控制

为什么要建立系统的数学模型？什么是数学模型？如何建立数学模型（建模方法）？2.1控制系统数学模型的概念研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型－Why？对系统的定性认识上升到定量的精确分析与设计的需要。2.1控制系统数学模型的概念什么是数学模型－What？

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型：微分方程传递函数时间响应函数频率特性状态空间模型……。2.1控制系统数学模型的概念数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应Bode图Nyquist图2.1控制系统数学模型的概念分析法：根据系统和元件所遵循的定律推导数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，通过数据整理拟合出比较接近实际系统的数学表达式。物理模型VS.数学模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希霍夫定律；虎克定律；流体力学。2.1控制系统数学模型的概念2.2系统的微分方程一、系统的微分方程概念微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。2.2.1系统微分方程的建立步骤通常基于经典物理学定律而建立，同一个微分方程可以表述具有相同输入-输出关系的机械、电气、液压、热力等不同系统。a)建立物理模型（包括力学模型、电学模型、液压模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b)按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。2.2.1系统微分方程的建立步骤对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：2.2.1系统微分方程的建立步骤式中，xo(t)为系统输出量，xi(t)为系统输入量；机械系统的数学模型通常都可以用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、

弹簧和阻尼三个要素来描述。惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；

惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。质量—弹簧—阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2机械系统的微分方程10补充充：：阻尼尼基基本本概概念念永动动机机是是不不可可能能的的：：如果果没没有有从从外外界界不不断断补补充充能能量量，，任任何何振振动动系系统统都都将将逐逐渐渐衰衰减减，，并并最最终终趋趋于于静静止止。。这种种现现象象说说明明，，在在运运动动过过程程中中，，体体系系的的总总机机械械能能不不断断在在散散失失，，不不断断在在被被别别的的某某种种系系统统所所吸吸收收。。这种种吸吸收收振振动动体体系系机机械械能能并并使使之之耗耗散散的的系系统统称称为为阻阻尼尼系系统统。阻尼尼阻尼尼（（英英语语：：damping）是指指任任何何振动动系系统统在振振动动中中，，由由于于外外界界作作用用或或系系统统本本身身固固有有的的原原因因引引起起的的振振动动幅幅度度逐逐渐渐下下降降的的特特性性，，以以及及此此一一特特性性的的量量化化表表征征。。在电电学学中中，，是是响应应时时间间的意意思思。。11在机机械械物物理理学学中中，，系系统统的的能能量量的的减减小小———阻尼尼振振动动不不都都是是因因““阻力力””引起起的的，，就就机机械械振振动动而而言言，，一一种种是是因因摩摩擦擦阻阻力力生生热热，，使使系系统统的的机机械械能能减减小小，，转转化化为为内内能能，，这这种种阻阻尼尼叫叫摩擦擦阻阻尼尼；另另一一种种是是系系统统引引起起周周围围质质点点的的震震动动，，使使系系统统的的能能量量逐逐渐渐向向四四周周辐辐射射出出去去，，变变为为波波的的能能量量，，这这种种阻阻尼尼叫叫辐射射阻阻尼尼。在机机械械系系统统中中，，阻阻尼尼是指指阻阻碍碍物物体体的的相相对对运运动动、、并并把把运运动动能能量量转转化化为为热热能能或或其其他他可可以以耗耗散散能能量量的的一一种种作作用用。。补充充：：阻尼尼基基本本概概念念12补充充：：阻尼尼基基本本概概念念物体体在在运运动动中中所所受受到到的的阻阻力力F的产产生生原原因因非非常常复复杂杂，，通通常常可可分分为为四四类类：：阻力力的的分分类类和和各各自自的的性性质质13补充充：：阻尼尼基基本本概概念念摩擦擦力力产产生生的的原原因因很很复复杂杂，，可可以以认认为为当当接接触触面面很很粗粗糙糙时时，，摩摩擦擦力力主主要要由由凸凸凹凹不不平平的的接接触触面面在在相相互互阻阻碍碍运运动动而而产产生生的的；；当当接接触触面面光光滑滑时时，，主主要要是是物物体体间间的的分分子子力力产产生生的的摩摩擦擦力力。。因因后后者者能能解解释释与与材材料料的的关关系系，，所所以以更更有有说说服服力力。。14补充：阻尼基本本概念15补充：阻尼基本本概念阻力的数数学表达达式16补充：阻尼基本本概念f(v)的不同形形式17补充：阻尼基本本概念在机械系系统中，，线性粘性性阻尼是是最常用用的一种种阻尼模模型。阻尼力力F的大小与与运动质质点的速速度的大大小成正正比，方方向相反反，记作作F=-cv，c为粘性阻尼尼系数，其数值值由振动试验验确定。由于线性性系统数数学求解解简单，，在工程程上常将将其他形形式的阻阻尼按照照它们在在一个周周期内能量损耗耗相等的的原则，折算成成等效粘性性阻尼。物体的的运动随随着系统统阻尼系系数的大大小而改改变。在某些情情况下，，粘性阻阻尼并不不能充分分反映机机械系统统中能量量耗散的的实际情情况。因因此，在在研究机机械振动动时，还还建立有有迟滞阻尼尼、比例阻尼尼和非线性阻阻尼等模型。。18补充：刚度的基基本概念念刚度是指指材料在受受力时抵抵抗弹性性变形的的能力。是材料料弹性变变形难易易程度的的一个象象征。材材料的刚刚度通常常用弹性性模量E来衡量。。在弹弹性范围围内，刚刚度是零零件荷载载与位移移成正比比的比例例系数，，即引起起单位位位移所需需的力。。它的倒倒数称为为柔度，，即单位位力引起起的位移移。刚度度可分为为静刚度和动刚度。构件变形形常影响响构件的的工作，，例如齿齿轮轴的的过度变变形会影影响齿轮轮啮合状状况，机机床变形形过大会会降低加加工精度度等。影影响刚度度的因素素是材料料的弹性性模量和和结构形形式，改改变结构构形式对对刚度有有显著影影响。刚度计算算是振动动理论和和结构稳稳定性分分析的基基础。在质量量不变的的情况下下，刚度度大则固固有频率率高。静静不定结结构的应应力分布布与各部部分的刚刚度比例例有关。。在断裂裂力学分分析中，，含裂纹纹构件的的应力强强度因子子可根据据柔度求求得。19补充：刚度的基基本概念念一个机构构的刚度度（k）是指弹弹性体抵抵抗变形形（弯曲曲、拉伸伸、压缩缩等）的的能力。。计算公公式：刚度的计计算轴向刚度度:k=F/δ其中，F为施加的的力，L为δ是由于力力而产生生的形变变。转动刚度度:k=M/θ其中，M为施加的的力矩，，θ为旋转角角度。考虑如图图所示的的质量弹弹簧系统统，滑道道表面与与质量块块之间的的摩擦力力设为粘粘性阻尼尼模型，，试分析析在外力力f(t)作用下，，质量块块位移y的变化规规律。这是一个个系统吗吗？输入是什什么？输出是什什么？如何建立立描述输输入输出出之间关关系的数数学模型型？质量—弹簧—阻尼系统统2.2.2机械系统统的微分分方程DkDykyyy.mmf(t)f(t)质量—弹簧—阻尼系统统各部分分基本物物理规律律：质量（块块）由牛顿运运动定律律：2.2.2机械系统统的微分分方程弹簧由胡克定定律：2.2.2机械系统统的微分分方程弹簧压缩缩量粘性阻尼尼（液压压、气压压活塞推推杆）阻尼器两两部分相相对运动动速度2.2.2机械系统统的微分分方程以弹簧平平衡时系系统的位位置为初初始平衡衡点，由由牛顿第二二定律建立力平平衡方程程：2.2.2机械系统统的微分分方程f(t)包含重力mg图为组合合机床动动力滑台台铣平面面时的情情况，当当切削力力f(t)变化时，，滑台可可能产生生振动，，从而降降低被加加工工件件的表面面质量和和精度。。试建立立切削力f(t)与滑台质量量块位移移y(t)之间的动动力学模模型。一、机械械平动系系统2.2.2机械系统统的微分分方程k—刚度系数数；D—粘滞阻尼尼系数；；铣刀解：首先先将动力力滑台连连同铣刀刀抽象成成质量－弹弹簧－阻阻尼系统的力力学模型型。根据据牛顿第第二定律律将输出变变量项写写在等号号的左边边，将输输入变量量项写在在等号的的右边，，并将各各阶导数数项按降降幂排列列，得2.2.2机械系统统的微分分方程二、机械械转动系系统如图(a)示定轴转转动系统统，旋转转体的转转动惯量量等效为为J，转动轴轴所受的的摩擦设设为粘性性摩擦，，阻尼系系数为D，转动轴轴连接刚刚度为k，等效模模型如图图(b)所示。若驱动力力矩为T，则根据据转矩平衡衡方程，有：2.2.2机械系统统的微分分方程2.2.2机机械系统统的微分分方程三、“平平动-转动系统统”间基基本物理理量的折折算图(a)为丝杠螺螺母传动动机构，，(b)为齿轮齿齿条传动动机构，，(c)为同步齿齿形带传传动机构构，求三三种传动动方式下下，负载载m折算到驱驱动电机机轴上的的等效转转动惯量量J。实例:电机驱动动进给装装置电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原原理，工工作台等等直线运运动部件件质量m的等效转转动惯量量为：L—丝杠螺距距，即丝丝杠每转转一周工工作台移移动的直直线距离离。2.2.2机械系统统的微分分方程工作台m丝杠L电动机（a）丝杠螺母母传动2.2.2机械系统统的微分分方程2.2.2机机械系统统的微分分方程解：对图图2-4(b)和(c)所示的情情况，设设齿轮或或皮带轮轮的分度度圆半径径为r，负载m可以看作作一个质质点绕齿齿轮或带带轮转动动，则负载载折算到到电机轴轴上的等等效转动动惯量为为四、齿轮轮传动系系统中基基本物理理量的折折算z1，r1T11T22z2,r2假设齿轮轮传动中中无功率率损耗，，且忽略略齿轮转转动惯量量、啮合合间隙与与变形，，则：T1、T2：转矩1、2：角位移1、2：角速度z1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径2.2.2机械系统统的微分分方程2.2.2机械系统统的微分分方程试求该系统输入力矩M(t)与轴2转角之间的微分方程。在忽略传传动摩擦擦的情况况下，分分别针对对两个转转动轴列列写力矩矩平衡方方程，有有：2.2.2机机械系统统对于多级级齿轮传传动，同同理可推推得折算算到输入入轴上的的等效转转动惯量量与粘性性阻尼为为：机械系统统中，齿齿轮传动动多用于于减速和和增大力力矩，故故一般传传动比小小于1，于是多多级齿轮轮传动中中，后级齿轮轮及负载载的转动动惯量和和粘性摩摩擦往往往可以忽忽略不计计。2.2.2机机械系统统实例：机机床进给给传动链链2.2.2机械系统统的微分分方程θi输入为轴轴I转角θi，输出为为滑块位位移xo，试求该该系统的的微分方方程。z4z2z3z12.2.2机械系统统的微分分方程轴I、II、III转动惯量量及工作作台质量量的归算算轴II的转动惯惯量J2归算到轴轴I为J’2有：轴III的转动惯惯量J3归算到轴轴I为J’3有：工作台质质量m归算到轴轴III的转动惯惯量为Jm有：Jm归算到轴轴I的转动惯惯量为J’m有：轴I的总转动动惯量：：2.2.2机械系统统的微分分方程（2）传动刚刚度的归归算（扭转刚度度和轴向向刚度）轴II的扭转转刚度度K2归算到到轴I为K’2有：工作台台的轴轴向刚刚度K归算到到轴III为Km有：轴III的扭转转刚度度K3归算到到轴I为K’3有：工作台台的轴轴向刚刚度K归算到到轴I为K’m有：2.2.2机械系系统的的微分分方程程（2）传动动刚度度的归归算轴I的总刚刚度为为（串串联））：2.2.2机械系系统的的微分分方程程（3）黏性性阻尼尼系数数的归归算工作台台导轨轨阻尼尼系数数c的归算算到轴轴III为c’有：c’归算到到轴I为c*有：电机轴转角位移输入，工作台导轨位移归算轴I的角位移：（4）工作作台位位移的的归算算2.2.2机械系系统的的微分分方程程(5)数学模模型的的建立立驱动电机机械转转动系系统的的微分分方程程：整理得得：Q1、Q2和H分别为为液槽槽在平平衡状状态时时液体体的流流入量量、流流出量量和液液位的的高度度值。。q1(t)、q2(t)和h为相应应变量量的增增量。。设液液槽的的面积积为A，根据据物料料自平平衡的的原理理，液液体流流入量量与流流出量量之差差应等等于液液槽中中液体体存贮贮量的的变化化率，，即有有：2.2.3流流体系系统的的微分分方程程考虑在在平衡衡状态态H=定值，，Q1=Q2，则上上式可可改写写为基于液液位h(t)与流量量q2(t)之间的的关系系如图图2-5所示，，它的的数学学表达达式为为：图液位系系统（2-4）V1V2式中α为比例例常数数（与与V2阀开度度的大大小有有关））。经经在平平衡点点作线线性化化处理理后q2(t)与h(t)的关系系为或写作作：式中，，把式（（2-6）代入入式（（2-4）得其中，，T=RA或图q2(t)与h(t)的关系系曲线线2.2.3流流体系系统的的微分分方程程（2-6）任何电电气系系统的的数学学模型型都可可用克希霍霍夫电电流和和电压压定律建立。。电气系系统三三个基基本元元件：：电阻、、电容容和电感。电路分分析主主要对对象：：电抗抗、电电压、、电流流电气系系统建建模：：列写写各元元件的的电抗抗、电电压与与电流流关系系2.2.4电气系系统的的微分分方程程电感L：电容C：电压=电流的的积分分，电电容值值的倒倒数是是常系系数电压=电流的的微分分，电电感值值是常常系数数电阻R：2.2.4电气系系统的的微分分方程程克希霍霍夫电电流定定律：：流进节节点的的电流流之和和，等等于流流出同同一节点点的电电流之之和。。克希霍霍夫电电压定定律：：在任意意瞬间间，在在电路路中任任意环环路的的电压的的代数数和等等于零零，或或者可可以描描述为：：沿某某一环环路的的电压压降之之和，，等于沿沿该环环路的的电压压升高高之和和。Eu1u2u3u4i1i2i32.2.4电气系系统的的微分分方程程把②代代入①①，并并进行行整理理得：：解：(1)确定输输入、、输出出量输入输出iuouLRCi这是一一个线线性定定常二二阶微微分方方程。。(2)列写微微分方方程(3)消去中中间变变量实例：：建建立图图所示示的LRC电路的的数学学模型型。2.2.4电气系系统的的微分分方程程①②实例：：电枢控控制直直流电电动机机的微微分方方程试列写写下图图所示示电枢枢控制制直流流电动动机的的微分分方程程，要要求取取电枢枢电压压为为输入入量，，电动动机转转速为为输出出量。。、—电枢电电路的的电阻阻和电电感；；Ce—电枢的激激磁磁通通；Cm—电动机转转矩系数数；Mc、Jm、fm—折合到电电动机轴轴上的总总负载转转矩、总总转动惯惯量、粘粘性摩擦擦系数。。2.2.5机电系统统的微分分方程电枢控制制直流电电动机原原理图2.2.5机电系统统的微分分方程(1)电枢回路路电压平平衡方程程：(2)电磁转矩矩方程：：(3)电动机轴轴上的转转矩平衡衡方程：：整理得：2.2.5机电系统统的微分分方程在工程应应用中，，由于电电枢电路路电感La较小，通通常忽略略不计，，因而上上式可简简化为：：式中是电动机机电时间常数(s)，是电动机传递系数。如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm很小而忽略不计时，式(2-25)还可进一步简化为：此时，电动机可作为测速发电机使用。(2-25)传递函数数的特征征方程、、零点、、极点和和放大系系数特征方程程令：则：N(s)=0称为系统统的特征方程程，其根称称为系统统的特征根。特征方程程决定着着系统的的动态特特性。2.3传递函数数模型零点和极极点根据多项项式定理理，将G(s)写成下面面的形式式：N(s)=0的根s=pj(j=1,2,……,n)：传递函函数的极点；（决定系系统瞬态态响应曲曲线的收收敛性，，即稳定定性）M(s)=0的根s=zi(i=1,2,……,m)：传递函函数的零点；（影响瞬瞬态响应应曲线的的形状，，不影响响系统稳稳定性））传递函数数的零极极点形式式

——根轨迹增益；零、极点点分布图图将传递函函数的零零、极点点表示在在复平面面上的图图形称为为传递函函数的零零、极点点分布图图。图中中，零点点用“O”表示，极极点用““×”表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2j

模型零、极点决定系统的动态性能；其中极点决定系统的稳定性；零点与极点的距离决定该极点所产生的模态所占比重，距离越远所占比重越大。令s=0，则：说明：G(0)为系统放大系数数，决定着着系统的的稳态输出出（从微分方方程的角角度看，，s=0相当于所所有的导导数项都都为零。。因此G(0)反映了系系统处于于静态时时，输出出与输入入的比值值。G(0)由传递函函数的常常数项决决定；传递函数的零、极点及放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。放大系数数（增益益）2.4PID控制•按偏差的的比例、、积分和和微分进进行控制制的调节节器简称称为PID（Proportional-Integral-Differential）调节器器•PID调节是目目前技术术最成熟熟、应用用最广泛泛的一种种调节方方式，，其调节节的实质质是根据据输入的的偏差值值，按比比例、积积分、、微分的的函数关关系进行行运算，，其运算算结果用用于输出出控制制。•在实际应应用中，，根据具具体情况况，可以以灵活地地改变PID的结构，，取其一一部分进进行控制制PID控制实现现的控制制方式◆模拟拟方式：：用电子子电路调调节器，，在调节节器中，，将被测测

信号号与给定定值比较较，然后后把比较较出的差差值经PID电路运算算后送送到执行行机构，，改变给给进量，，达到调调节之目目的。◆◆数数字方式式：用计计算机进进行PID运算，将将计算结结果转换换成模模拟量，，输出去去控制执执行机构构标准PID控制算法法模拟PID调节节器典型环节节—比例环节节定义：：输出量与与输入量量成正比比，输出出既不失失真也不不延迟地地反映输输入的环环节。传递函数：Xi（s）KXo（s）比例环节特点点：输出与输输入成正正比，无无失真和和时间延延迟。案例例：电子放大大器齿轮电阻液压缸……2.4.1比例调节节器2.4.1比例调节节器其中：u—控制器的的输出KP—比例系数数e—调节器输输入偏差差u0—控制量的的基准比例作用用：迅速速反应误误差，但但不能消消除稳态态误差，，

过大大容易引引起不稳稳定定义：：输出正比比于输入入微分的的环节为为微分环环节。动力学方方程：传递函数数：特点点：输出反映映输入的的微分。。典型环节节—微分环节节2.4.2比例微分分调节器器可见，为理想微分环节。图中，为为转角角，为为角速速度。测速发电电机（忽略磁磁滞、涡涡流和电电枢反应应的影响响）微分环节节的控制制作用：：1)使输出提提前微分环节的输出提前预测了输入，实现对系统提前施加校正作用，提高系统的灵敏度。微分环节常用来改善控制系统的动态性能。Kp=12)增加了系系统阻尼尼增加微分分环节分母中s的系数与阻尼有关分母中s的系数与阻尼有关比例微分分调节器器典型环节节—积分环节节定义：：输出正比比于输入入对时间间的积分分的环节节。动力学方方程：传递函数数：特点点：输出量为为输入量量对时间间的积累累；输入消失失，输出出具有记记忆功能能。Xo(s)Xi(s)积分环节节2.4.3比例积分分调节器器当输入信信号为单单位阶跃跃信号时时系统输出出为：经Laplace反变换后，系统统的输出：Xi(t)tXo(t)Xo(t)Xi(t)0T其特点是是输出量量为输入入量对时时间的累累积，输输出幅值值呈线性性增长，，对于阶阶跃输入入，输出出要在t=T时，才等等于输入入，故有有滞后作用用。经过一一段时间间的积累累后，当当输入为为0时，输出出不再增增加，保保持该值值不变，，具有记忆功能能。在系统中凡有储存或积累特点的元件，都具有积分环节的特性。积分环节常用来改善系统的稳态性能。

比例积分分调节器器比例积分分微分调调节器1、比例环环节：即即成比例例地反应应控制系系统的偏偏差信号号e，偏偏差差一一旦旦产产生生，，调调节节器器立立即即产产生生控控制制作作用用以以减减小小偏偏差差。。•2、积积分分环环节节：：主主要要用用于于消消除除静静差差，，提提高高系系统统的的无无差差度度。。积积分分作作用用的的强强弱弱取取决决于于积积分分时时间间常常数数TI，TI越大大，，积积分分作作用用越越弱弱，，反反之之则则越越强强。。•3、微微分分环环节节：：能能反反应应偏偏差差信信号号的的变变化化趋趋势势(变化化速速率率)，并并能能在在偏偏差差信信号号值值变变得得太太大大之之前前，，在在系系统统中中引引入入一一个个有有效效的的早早期期修修正正信信号号，，从从而而加加快快系系统统的的动动作作速速度度，，减减小小调调节节时时间间。。小结结积积分分控控制制的的特特点点；；它它能能消消除除静静态态误误差差，，但但是是控控制制缓缓慢慢。。所所以以，，实实用用中中一一般般不不单单独独使使用用积积分分控控制制，，而而是是和和比比例例控控制制作作用用结结合合起起来来，，构构成成比比例例积积分分（（PI）控控制制。。这这样样取取二二者者之之长长，，互互相相弥弥补补，，既既有有比比例例控控制制作作用用的的迅迅速速及及时时，，又又有有积积分分控控制制作作用用消消除除静静态态误误差差的的能能力力。。比比例例积积分分控控制制器器是是目目前前应应用用最最为为广广泛泛的的一一种种控控制制器器。。微分分控控制制的的作作用用：：微微分分控控制制作作用用的的特特点点是是：：动动作作迅迅速速，，具具有有超超前前调调节节功功能能，，但但对对于于恒恒定定偏偏差差输输入入时时，，微微分分控控制制根根本本就就