三重积分概念与计算

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一、三重积分的概念二、三重积分的计算9.3三重积分的概念与计算

第九章三重积分在直角坐标系（三种情况）、√柱面坐标系、球面坐标系下的计算一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:

设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作三重积分的性质1.线性性质、区域可加性2.单调性和积分估值公式4.中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,5.对称性.后补二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.

截面法(“先二后一”)先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算的密度函数,方法:三次积分法方法3.

三次积分法方法1.

投影法

(“先一后二”)方法1.

投影法

(“先一后二”)记作利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:投影法:先一后二注意其中为三个坐标例+计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面所围成的闭区域..计算,其中由锥面及平面围成的闭区域.解：例2.方法2.截面法

(“先二后一”)其中为三个坐标例3.

计算三重积分所围成的闭区域.面及平面解:如图，所以

注：此题可用投影法（例2）求解．计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式练习.小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据被积函数及三种方法各有特点,积分域的特点灵活选择.

作业

P1061(1,2),3,4,5,6,7补:二重积分的对称奇偶性

设区域关于y轴对称，它被y轴分为左右两个部分①若被积函数关于是奇函数即则②若被积函数关于是偶函数即则同理适用于x轴对称区域的情况三重积分的对称奇偶性（1）积分区域关于xoy平面对称，分为上下两个部分①若被积函数关于是奇函数，即则②若被积函数关于是偶函数，即则该平面将1.

将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数3.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标4.计算其中解:利用对称性5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中与球面6.求曲面所围立体体积.解:

由

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