离散时间信号与系统 课件

第1章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示序列的产生常用序列序列的基本运算系统分类线性系统移不变系统因果系统稳定系统常系数线性差分方程连续时间信号的抽样1第1章离散时间信号与系统离散时间信号1x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}离散信号(序列)的表示2x[k]={1,1,2,-1,1;k=对连续信号抽样x[k]=x(kT)信号本身是离散的计算机产生注意：离散信号:时间上都量化的信号数字信号:时间和幅度上都量化的信号离散序列的产生3对连续信号抽样x[k]=x(kT)离散序列的产生31．单位脉冲序列2.单位阶跃序列3．矩形序列常用序列41．单位脉冲序列2.单位阶跃序列3．矩形序列常用序列44．指数序列有界序列：kZ|x[k]|Mx

。Mx是与k无关的常数aku[k]：右指数序列,|a|1序列有界aku[-k]：

左指数序列,|a|1序列有界5．虚指数序列(单频序列)角频率为w的模拟信号数字信号角频率W=Tw54．指数序列有界序列：kZ|x[k]|Mx虚指数序列x[k]=exp(jWk)是否为周期的?如是周期序列其周期为多少？即W/2p为有理数时，信号才是周期的。如果W/2p=m

/L,L,m是不可约的整数，则信号的周期为L。6虚指数序列x[k]=exp(jWk)是否为周期的?6．正弦型序列例

试确定余弦序列x[k]=cosW0k当(a)W0=0(b)W0=0.1p(c)W0=0.2p

(d)W0=0.8p

(e)W0=0.9p

(f)W0=p时的基本周期。解：(a)

W0/2p=0/1，

N=1。(b)

W0/2p=0.1/2=1/20，N=20。(c)

W0/2p=0.2/2=1/10，N=10。(d)

W0/2p=0.8/2=2/5，N=5。(e)

W0/2p=0.9/2=9/20,N=20。(f)

W0/2p=1/2,N=2。76．正弦型序列例试确定余弦序列x[k]=cosW0kx[k]=cosW0k,W0=0.2p

x[k]=cosW0k,W0=0.8p

x[k]=cosW0k,W0=p

x[k]=cosW0k,W0=08x[k]=cosW0k,W0=0.2px[k]当W0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，所表示的是同一个序列。cos[(2p-W0)k]=cos(W0k)W0

在p

附近的余弦序列是高频信号。W00或2p附近的余弦序列是低频信号。9当W0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。即两1010序列的基本运算翻转(timereversal)x[k]x[-k]位移(延迟)x[k]x[k-N]抽取(decimation) x[k]x[Mk]

内插(interpolation) 卷积11序列的基本运算翻转(timereversal)例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。

结论：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范围为N1

k

N2，

h[k]的非零范围为N3

k

N4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范围。结论：N1+N3

k

N4+N212例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[实序列的偶部和奇部序列的单位脉冲序列表示13实序列的偶部和奇部13系统分类线性(Linearity)注意：齐次性叠加性14系统分类线性(Linearity)14例:设一系统的输入输出关系为

y[k]=x2[k]试判断系统是否为线性？解：输入信号x

[k]产生的输出信号T{x

[k]}为

T{x

[k]}=x2[k]输入信号ax

[k]产生的输出信号T{ax

[k]}为

T{ax

[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情况，T{ax

[k]}aT{x

[k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。15例:设一系统的输入输出关系为15例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)16例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不时不变(Time-Invatiance)定义：如T{x[k]}=y[k]，则T{x[k-n]}=y[k-n]线性时不变系统简称为：LTI在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。例

证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。17例

证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为

y[k]=T{x[k]}=x[Mk]输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为

T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故系统是时变的。例:已知抽取器的输入和输出关系为

y[k]=x[Mk]试判断系统是否为时不变的？18解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为例:已知抽抽取器时变特性的图示说明19抽取器时变特性的图示说明19定义：例：累加器:单位脉冲响应（Impulseresponse）20定义：例：累加器:单位脉冲响应（ImpulseresponLTI系统对任意输入的响应21LTI系统对任意输入的响应21当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：22当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律23离散卷积满足以下运算规律：23(2)结合律24(2)结合律24(3)分配律25(3)分配律25离散卷积的计算26离散卷积的计算26计算卷积的步骤如下：

(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。

(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。

(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。

(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。上图为：与的线性卷积。27计算卷积的步骤如下：上图为：与的线性卷积。27计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。例

已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解

参看图2.15，分段考虑如下：(1)对于n<0：(2)对于0≤n≤4：(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6时：(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10时：(5)对于(n-6)>4，即n>10时：28计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。2929综合以上结果，y(n)可归纳如下：30综合以上结果，y(n)可归纳如下：30卷积结果y(n)如图2.16所示31卷积结果y(n)如图2.16所示31因果性定义定理证明（充分性、必要性）举例32因果性定义32稳定性定义定理证明（充分性、必要性）举例33稳定性定义33线性常系数差分方程用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样响应差分方程的优点：在一定条件下，可得到系统的输出可直接得到系统的结构举例34线性常系数差分方程用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样响应3信号的抽样连续信号频谱X(jw)与抽样信号频谱X(ejW)的关系时域抽样定理抗混叠滤波信号的重建连续信号的离散处理35信号的抽样连续信号频谱X(jw)与抽样信号频谱X(ejW点抽样抽样间隔(周期)T(s)抽样角频率wsam=2p/T(rad/s)抽样频率fsam=1/T(Hz)抽样过程的两种数学模型离散时间信号与系统36点抽样抽样间隔(周期)T理想抽样37理想抽样37连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系38连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系3点抽样信号频谱X(ejW)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系39点抽样信号频谱X(ejW)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关连续信号频谱X(jw)与点抽样信号频谱X(ejW)的关系40连续信号频谱X(jw)与点抽样信号频谱X(ejW)的关系X(jw)=0|w|>wm称为wm为信号的最高(角)频率。ωm带限(bandlimit)信号41X(jw)=0|w|>wm带限(bandlimit)例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分别抽样角频率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm抽样时，抽样后离散序列x[k]的频谱。解：42例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分43434444设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：Tp/wm=1/(2fm)

时域抽样定理fsam2fm

（或wsam

2wm）抽样频率fs满足：或抽样间隔T满足fsam

=2fm频谱不混叠最小抽样频率(Nyquistrate)T=1/(2fm)频谱不混叠最大抽样间隔45设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(例：已知x(t)=Sa(pf0t),试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列x[k]。解：所以wsam=2pf0，即T=1/f0。若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为d[k]，则称该信号Nyquist-T信号。在所有的Nyquist-T信号中，只有x(t)=Sa(pf0t)是带限的。46例：已知x(t)=Sa(pf0t),试确定频谱不混叠最大抽例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示,试分别画出wsam1=0.5wm及wsam2=0.8wm时，抽样后离散序列的频谱。解：wsam1=0.5wm,

T1=2p/wsam1=4p/wmwsam2=0.8wm,T2=2p/wsam2=2.5p/wm47例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示,试分别画出w抗混叠滤波许多实际工程信号不满足带限条件抗混叠低通滤波器48抗混叠滤波许多实际工程信号不满足带限条件抗混叠48信号的重建理想D/A模型框图理想D/A输入和输出49信号的重建理想D/A模型框图理想D/A输入和输出49A/T)(wjeXwmTw-mTwpp-p2p2-A/T)(wjXswmw-mw2samw2samw-samwsamw-50A/T)(wjeXwmTw-mTwpp-p2p2-A/T)(5151零阶保持D/A零阶保持D/A模型框图52零阶保持D/A零阶保持D/A模型框图52零阶保持D/A输出信号的频谱为Xz(jw)=Hz(jw)Xs(jw)53零阶保持D/A输出信号的频谱为53离散域进行补偿的FIR和IIR滤波器54离散域进行补偿的FIR和IIR滤波器54第1章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示序列的产生常用序列序列的基本运算系统分类线性系统移不变系统因果系统稳定系统常系数线性差分方程连续时间信号的抽样55第1章离散时间信号与系统离散时间信号1x[k]={1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3}离散信号(序列)的表示56x[k]={1,1,2,-1,1;k=对连续信号抽样x[k]=x(kT)信号本身是离散的计算机产生注意：离散信号:时间上都量化的信号数字信号:时间和幅度上都量化的信号离散序列的产生57对连续信号抽样x[k]=x(kT)离散序列的产生31．单位脉冲序列2.单位阶跃序列3．矩形序列常用序列581．单位脉冲序列2.单位阶跃序列3．矩形序列常用序列44．指数序列有界序列：kZ|x[k]|Mx

。Mx是与k无关的常数aku[k]：右指数序列,|a|1序列有界aku[-k]：

左指数序列,|a|1序列有界5．虚指数序列(单频序列)角频率为w的模拟信号数字信号角频率W=Tw594．指数序列有界序列：kZ|x[k]|Mx虚指数序列x[k]=exp(jWk)是否为周期的?如是周期序列其周期为多少？即W/2p为有理数时，信号才是周期的。如果W/2p=m

/L,L,m是不可约的整数，则信号的周期为L。60虚指数序列x[k]=exp(jWk)是否为周期的?6．正弦型序列例

试确定余弦序列x[k]=cosW0k当(a)W0=0(b)W0=0.1p(c)W0=0.2p

(d)W0=0.8p

(e)W0=0.9p

(f)W0=p时的基本周期。解：(a)

W0/2p=0/1，

N=1。(b)

W0/2p=0.1/2=1/20，N=20。(c)

W0/2p=0.2/2=1/10，N=10。(d)

W0/2p=0.8/2=2/5，N=5。(e)

W0/2p=0.9/2=9/20,N=20。(f)

W0/2p=1/2,N=2。616．正弦型序列例试确定余弦序列x[k]=cosW0kx[k]=cosW0k,W0=0.2p

x[k]=cosW0k,W0=0.8p

x[k]=cosW0k,W0=p

x[k]=cosW0k,W0=062x[k]=cosW0k,W0=0.2px[k]当W0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，所表示的是同一个序列。cos[(2p-W0)k]=cos(W0k)W0

在p

附近的余弦序列是高频信号。W00或2p附近的余弦序列是低频信号。63当W0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。即两6410序列的基本运算翻转(timereversal)x[k]x[-k]位移(延迟)x[k]x[k-N]抽取(decimation) x[k]x[Mk]

内插(interpolation) 卷积65序列的基本运算翻转(timereversal)例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。

结论：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范围为N1

k

N2，

h[k]的非零范围为N3

k

N4求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范围。结论：N1+N3

k

N4+N266例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，试求y1[实序列的偶部和奇部序列的单位脉冲序列表示67实序列的偶部和奇部13系统分类线性(Linearity)注意：齐次性叠加性68系统分类线性(Linearity)14例:设一系统的输入输出关系为

y[k]=x2[k]试判断系统是否为线性？解：输入信号x

[k]产生的输出信号T{x

[k]}为

T{x

[k]}=x2[k]输入信号ax

[k]产生的输出信号T{ax

[k]}为

T{ax

[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情况，T{ax

[k]}aT{x

[k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。69例:设一系统的输入输出关系为15例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)70例

y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不时不变(Time-Invatiance)定义：如T{x[k]}=y[k]，则T{x[k-n]}=y[k-n]线性时不变系统简称为：LTI在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。例

证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。71例

证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为

y[k]=T{x[k]}=x[Mk]输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为

T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故系统是时变的。例:已知抽取器的输入和输出关系为

y[k]=x[Mk]试判断系统是否为时不变的？72解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为例:已知抽抽取器时变特性的图示说明73抽取器时变特性的图示说明19定义：例：累加器:单位脉冲响应（Impulseresponse）74定义：例：累加器:单位脉冲响应（ImpulseresponLTI系统对任意输入的响应75LTI系统对任意输入的响应21当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：76当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律77离散卷积满足以下运算规律：23(2)结合律78(2)结合律24(3)分配律79(3)分配律25离散卷积的计算80离散卷积的计算26计算卷积的步骤如下：

(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。

(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。

(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。

(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。上图为：与的线性卷积。81计算卷积的步骤如下：上图为：与的线性卷积。27计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。例

已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解

参看图2.15，分段考虑如下：(1)对于n<0：(2)对于0≤n≤4：(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6时：(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10时：(5)对于(n-6)>4，即n>10时：82计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。8329综合以上结果，y(n)可归纳如下：84综合以上结果，y(n)可归纳如下：30卷积结果y(n)如图2.16所示85卷积结果y(n)如图2.16所示31因果性定义定理证明（充分性、必要性）举例86因果性定义32稳定性定义定理证明（充分性、必要性）举例87稳定性定义33线性常系数差分方程用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样响应差分方程的优点：在一定条件下，可得到系统的输出可直接得到系统的结构举例88线性常系数差分方程用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样响应3信号的抽样连续信号频谱X(jw)与抽样信号频谱X(ejW)的关系时域抽样定理抗混叠滤波信号的重建连续信号的离散处理89信号的抽样连续信号频谱X(jw)与抽样信号频谱X(ejW点抽样抽样间隔(周期)T(s)抽样角频率wsam=2p/T(rad/s)抽样频率fsam=1/T(Hz)抽样过程的两种数学模型离散时间信号与系统90点抽样抽样间隔(周期)T理想抽样91理想抽样37连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系92连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系3点抽样信号频谱X(ejW)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系93点抽样信号频谱X(ejW)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关连续信号频谱X(jw)与点抽样信号频谱X(ejW)的关系94连续信号频谱X(jw)与点抽样信号频谱X(ejW)的关系X(jw)=0|w|>wm称为wm为信号的最高(角)频率。ωm带限(bandlimit)信号95X(jw)=0|w|>wm带限(bandlimit)例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分别抽样角频率wsam=2.5wm,2wm,1.6wm