数值分析-第3章函数逼近

数值计算方法第三章函数逼近与曲线拟合

当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题。插值法就是函数逼近问题的一种仍然是已知x1…xm

;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)

f(x)。但是①

m

很大；②

yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)这时没必要取P(xi)=yi,

而要使P(xi)yi总体上尽可能小。使误差在某种度量意义下最小实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点(1)最小二乘法的基本概念一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差在回归分析中称为残差平方和从而确定(1)中的待定系数注意(1)式是一条直线因此将问题一般化仍然定义平方误差我们选取的度量标准是---------(2)---------(3)法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数由多元函数取极值的必要条件得即---------(4)即引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解即是的最小值所以因此作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得法方程组为解得平方误差为拟合曲线与散点的关系如右图:例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的平方误差为图象如图例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy+=)(求a

和b

使得最小。=-+=miiiiybaxxba12)(),(j线性化

/*linearization*/：令，则bXaY+就是个线性问题将化为后易解a

和b。),(iiYX),(iiyxTakeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…方案二：设xbeaxPy/)(-=(a>0,b>0)线性化：由可做变换xbay-lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+就是个线性问题将化为后易解A

和B),(iiYX),(iiyx定义权函数：①

离散型/*discretetype*/根据一系列离散点拟合时，在每一误差前乘一正数wi

，即误差函数

，这个wi

就称作权/*weight*/，反映该点的重要程度。=-=niiiiyxPw12])([②

连续型

/*continuoustype*/在[a,b]上用广义多项式P(x)拟合连续函数f(x)时，定义权函数(x)C[a,b]，即误差函数

=。权函数(x)必须满足：非负、可积，且在[a,b]的任何子区间上(x)0。加权最小二乘法各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数

定义加权平方误差为-----(9)例：用来拟合，w1解：0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x2Itissoooosimple!Whatcanpossiblygowrong?7623)(463||||484,||||1==-=BcondBB改进：若能取函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，使得任意一对i(x)和j(x)两两（带权）正交，则B就化为对角阵！这时直接可算出ak=用正交多项式作最小二乘拟合*即正交多项式如何选取呢使得由可知因此而因此可知最后可得正交多项式选取的方法:由使得由正交多项式的性质,法方程组可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解平方误差为例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作这组数据的拟合函数设拟合函数取例：用来拟合，w1解：通过正交多项式0(x),1(x),2(x)求解设)()()(221100xaxaxayjjj++=1)(0=xj229),(),(0000==jjjya25),(),(00001==jjjjax25)()()(011-=-=xxxxjaj537),(),(1111==jjjya25