应用奇偶性和对称性化简积分

1/

∀x∈R,f(−x)=−f∀x∈R,f(−x)=f

2/f(xx−x√f(x)=ln(x a2+

3/f(x)=f(x)+f(−x)+f(x)−f(−x

4/关于x∀yRf(x,−yz−f(x,yzf(x,yzy∀zRf(x,y−zf(x,yzf(x,yzz

5/外两个变量。这个函数相对于x是奇函数，相对于y和z是常函

6/fx)=f(x)ˆ ˆf(x)dx= f 如果fx)=f(x)ˆf(x)dx=证明概要:´af(x)dx=´0f(x)dx+´af(x)dx´ −af(x)dx使用变量代换t=x

7/或者某坐标平面对称。而是说关于x=0或者y=0或者z=0对 是，x=0在平面上看就是y坐标轴，而在空间看，就是yoz坐标

8/12

9/

10/二重积分的结论-前提：(1)积分区域D关于x=0对称，积分区域被x=0成两部分，把落在x≥0的那部分子区域记作(2)函数关于x是偶函数，f−xy)=f(xy) f(x,y)dσ= f(x,y)

11/二重积分的结论-前提：(1)D关于y=0对称，积分区域被y=0≥的那部分子区域记作(2)函数关于y是偶函数，f(x−y)=f(xy) f(x,y)dσ= f(x,y)

12/二重积分的结论-前提：(1积分区域D关于x0对称(2)函数关于x是奇函数，f(−xyf(xy) f(x,y)dσ=D

13/二重积分的结论-前提：(1积分区D关于y0对称¨f(x,y)dσ=D

14/D=D1D2

15/12函数是33x=0,y=0,z=0

16/三重积分结论-前提：(1积分区D关于x=0对称，积分区域被x=0成两部分，把落在x≥0的那部分子区域记作D1；(2)于x是偶函数，fxyzf(x,yz) f(x,y,z)dv= f(x,y,z)

17/三重积分结论-前提：(1积分区域D关于x0对称(2)函数关于x是奇函数，f(−xyzf(xyz) f(x,y,z)dv=D

18/

19/ˆπ1+arctan1+ ˆ12x2+xcos −11 1−

20/D:|x|+|y|≤1¨(x+y)dσ=f(xyxy关于任何一个变量都既不是奇函数也不是偶函数，但是分拆之后，g(x,yx关于x是奇函数，关于y是偶函数，h(x,y)刚好相反，都只用奇函数的一面化简。 ˆ ˆ(|x|+|y|)dσ= (x+ +

21/- - -- 22/D:−1≤x≤1,−1≤y≤¨|x+D

23/1- - 1--

24/D是xoy平面上以A(11),B(−11),C(−11)¨I D

25/10-1 -0 0 1-0-1 26/=[−11]- - --

27/Ω:x2+y2+z2≤1,z≥√x2+ I (3x−4x2siny+Ω可以分成˚Ωx=0yoz平面对称，同时关于y=0就是xoz平面对称，但是不关于z=0对称

28/图)( 29/)(Ω:|x|+|y|+|z|≤Ω1:|x|+|y|+|z|≤1,x≥0,y≥0,z≥˚(|x|+|y|+Ω˚= (x+y+

30/a0，曲线L:ρ=a(1+cos x2+y2)ds=L

31/图100 1 1 2-0-1)( 32/)(L:x2+y2+z2=1,y

这条曲线关于x=0对称，同时关于z=0ˆI (x+y+L =0 √3

ds+1 22π

33/在曲面Σ:z=2−x2−y21≤z≤1¨I (x+y+Σ¨ Σ

34/图)( 35/)(曲面Σ为柱面x2+y2=x夹在球面x2+y2+z2=1的部分。曲面Σ关于y=0和z=0对称，Σ在z≥0的部分记为Σ1从而