北师版八年级（下册）数学 第一章三角形的证明1.1等腰三角形（4课时）教学课件

1.1.1等腰三角形第一章三角形的证明知识回顾证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；

(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程。三角形全等判定公理：1.三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）。2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。知识回顾你能用上面的公理证明下面的命题吗？

两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)情境引入证明:∵∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′（已知）,

AB=A′B′（已知）,∠B=∠B′（已证）,∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.′ABCA′B′C′●●●●●●已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠C=∠C′,AB=A′B′.求证:△ABC≌△A′B′C′.自主预习如图:已知在△ABC和△DEF中AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则△ABC和△DEF会全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.ABCDEF其它条件不变若∠B=∠E=70°议一议：定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′∠C=∠C′

AB=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.′ABCA′B′C′证明后的结论,以后可以直接运用.你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.新知探究性质1(等边对等角)等腰三角形的两个底角相等。ABCD已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C想一想：

如何证明两个角相等？议一议：如何构造两个全等的三角形？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中12已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法三：作底边的高线在Rt△BAD和Rt△CAD中定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？

ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）综上可得：如图,在△ABC中,

（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其余两个角为____和____．（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为____．50°80°50°（3）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余两个角为________________________．80°和20°（4）如果等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角为_________．40°和40°或50°和50°随堂练习

根据等腰三角形的性质,在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD1．（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是()A．8B．7C．4D．3．2．(宁波)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）个个个个AB3.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形(2)求∠ABD的度数ABCD4.将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知:如图,AB=CD,AD=CB.求证:∠A=∠C.证明:连接BD,在△BAD和△DCB中,∵AB=CD()

AD=CB()

BD=DB()∴△BAD≌△DCB()∴:∠A=∠C()ABCD5.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠DABCDEF等腰三角形的性质：性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）．即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边．知识梳理等腰三角形第一章三角形的证明3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=______2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为______度C55°30

知识回顾

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?情境引入

作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．

我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．自主预习已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．例1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD=CE．新知探究ABCED12新知探究证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．证法二ABCED34证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB

∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE．EDCBA

分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．我能行已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中线．2.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE．EDCBA

分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．

上面，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?

把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?议一议1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?议一议1．在等腰三角形ABC中，(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?知识梳理1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.

简述为：

1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.

2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.知识梳理′已知：在△ABC中,AB=AC=BC,求证:∠A=∠B=∠C=60°证明：想一想ABC∵AB=AC∴∠B=∠C(等边对等角）又∵AC=BC∴∠A=∠B(等边对等角）∴∠A=∠B=∠C在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°。定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°′等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？已知：在△ABC中,AB=AC=BC,求证:∠A=∠B=∠C=60°证明：想一想结论:等腰三角形两底角的平分线相等.结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°知识梳理1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。随堂练习2.证明:等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.随堂练习3.如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。ABDEC1.1.3等腰三角形第一章三角形的证明等腰三角形有哪些性质？1.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”）ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）知识回顾2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）ABCD∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，

AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三线合一）

前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．

分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.比如作BC的中线，或作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．情境引入ABC定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边.)等腰三角形的判定定理：自主预习例2已知：如图，AB=DC,BD=CA,求证：△AED是等腰三角形。ABCDE证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）∴AE=DE(等角对等边）∴△AED是等腰三角形。想一想

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?新知探究在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.ABC

我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。你能理解他的推理过程吗?ABC

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.

假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．这个推理过程怎样写呢？例3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90

°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。这与三角形内角和定理矛盾，因此，“∠A和∠B是直角”的假设不成立。所以，一个三角形中不能有两个角是直角。知识梳理1.这节课学习的主要内容？

2.等腰三角形的判定及其在实际生活中的应用你有哪些收获？

1.假设:先假设命题的结论不成立；2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。用反证法证题的一般步骤：1.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?108°随堂练习36°90°2.如图,△ABC中分别是上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.BAEDCO①③;①④;②③;②④3.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°证明:假设∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,

且都大于60°,

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°;这与三角形的内角和是180定理矛盾∴假设不成立∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.1.1.4等腰三角形第一章三角形的证明1.什么是等腰三角形？

等腰三角形有什么性质？知识回顾2.怎样判断一个三角形是等腰三角形？

情境引入1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？2.一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？3.用两个含30°角的全等的三角尺，能拼出一个怎样的三角形？自主预习

通过回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。总结：定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么他所对的直角边等于斜边的一半。定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC,∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等边对等角)∴∠A=600(三角形内角和定理)∴∠A=∠B（等式性质）.∴AC=CB（等角对等边）.∴AB=BC=AC（等式性质）.∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600.求证:△ABC是等边三角形.ACB600新知探究定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形

(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一。ACB600定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B(已知),∴BC=AC,(等角对等边).

又∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC,(等角对等边).∴AB=BC=AC(等式性质).∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义)已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.ACB定理:三个角都相等的三角形是等边三角形在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).ACB

做一做:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？300300结论:在直角三角形中,300角所对的边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中,300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300求证:BC=AB.300ABCD分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题延长BC至D,使CD=BC,连接AD300ABCD∵∠ACB=900,∠BAC=300,

∴∠ACD=90°，∠B=60°，

∵AC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AD=AB（全等三角形的对应边相等）∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)

∴BC=BD=AB(等式性质).证明:延长BC至D,使CD