地球流体动力学-地流课件第二章

第二章无粘浅水理论

InviscidShallow-WaterTheory§2.1引言

Introduction这一章主要研究浅水、均质不可压缩和无粘的旋转流体的一些性质。主要有两方面原因：（1）足够简单，不需要考虑复杂的热力学问题；（2）实践证明浅水模式能反映大气和海洋运动的一些重要特性§2.2浅水模型

TheShallow-WaterModel浅水模式符合正压、无摩擦条件，再找一个就可凑出守恒的位涡。§2.3浅水方程组

TheShallow-WaterEquations直角坐标系下的动量方程：连续方程量纲分析：若u,v初始与z无关，则总是与z无关。方程(2.1a)、(2.1b)及(2.2)成为积分方程(2.4)流体柱体积守恒积分方程(2.4)：再结合式(2.6)：水柱比高在运动中不变由浅水模式的假设条件，浅水运动中位涡应该守恒。§2.4位涡守恒:浅水理论

Potential-VorticityConservation:Shallow-WaterTheory由方程(2.3)可以推得涡度方程再结合式(2.6)：与上节的位涡表达式((2.8)式)比较，(2.10)式中的因变量只差一个常量所以(2.10)式就是位涡守恒的表达式。§2.5积分约束IntegralConstrain

积分得：在无穷远速度为零的边界上积分也可以得到以上结果。§2.6小振幅运动Small-Amplitudemotions

(线性化

linearization)小振幅的假设限制了所描述运动的范围，但是极大化简了由于非线性导致的运动的复杂性，并且能够反映复杂运动中的一些基本特性。首先考虑定常运动，由(2.11)和(2.12)这是位涡守恒的结果，因为定常、线性化的位涡守恒式为：所以，对于定常、线性运动，等H0不能与固体边界相交。§2.7等深层中的平面波PlaneWavesinaLayerofConstantDepth等深无限平面，边界远大于振荡的波长。常系数方程，且水平方向无边界，所以可以设平面波解：在给定时刻,当相速不符合矢量加法将平面波解代入方程(2.17):称Rossby变形半径为高频波由(2.18)解得：或双向波经典浅水波称惯性重力波增大则波速加快惯性振荡由(2.16)求得：速度矢尖端在一个振荡周期内顺时针绕椭圆一周。解释:所以运动主要是从高压向低压运动，而平行于等压线的运动是次要的,运动是非地转的。t增加涡管拉伸，产生正的相对涡度。涡管拉伸，水平辐合。水平辐合大于相对涡度。线性化的位涡：则变化部分仅是运动本身的，没有“环境”的变化部分。§2.8Poincare波和Kelvin波PoincareandKelvinWaves设渠道形式是因为实际上

平面只能在一定南北范围内成立将波解代入(2.19)得:将通解(2.21)代如边界条件(2.23)中后，得关于A和B的系数行列式。若有非零解则有:称为Poincare波沿x轴正负传播与惯性重力波的频散关系相比，不同的是这里y方向的波数是离散的。显然不能满足边界条件。PoincareWave称为Kelvin波沿x轴正负传播波速与浅水重力波相同，但是旋转流体中的一种具有独特结构的波。解有两类：若c>0(c<0)则第二(一)项将使振幅随y增大(减小)指数增大，不符合小振幅假设，所以不是物理解。速度满足地转关系必需有边界，在边界处，波振幅最大。V处处为0。e折度距离为Rossby变形半径：不失一般性，设c>0Kelvin波实际上是单向的！KelvinWave也可以直接用描述Kelvin波的动力方程组求解：其中F和G是任意函数当c>0时，G不是物理解。赤道Kelvin波赤道附近因此赤道β平面上Kelvin波只能东传可以证明此解已包含在Kelvin波解之中此时算子所以回到原始方程(2.11a)、(2.11b)和(2.12)将波解代入到方程中，并利用利用前页积分公式得解：可见此解与对应波长的Kelvin波解无区别概括讲，等深渠道中的完整谱包括Poincare波、Kelvin波和σ=0的地转流。§2.9Rossby波RossbyWaves依然是在渠道里，但是还考虑有地形变化：代入(2.15)得：其通解为:其中:将通解代入边条件：得本征值关系:所以精确到s的最低阶，小的底面坡度并不改变Kelvin波。关于σ的三次方程有两类解：所以精确到s的最低阶，Poinare波不受影响。称为地形Rossby波（1）只有当旋转与地形坡度效应同时存在,才会产生Rossby波。亦即旋转效应和地形坡度是Rossby波产生的必要条件。（2）地形Rossby波是单向传播的，其相速为:

f>0(<0)，高地形位于波传播方向的右(左)方。（3）地形Rossby波是低频波，因为频率小于f，当（4）与Poincare波以及Kelvin波相反，地形Rossby波频率随波数增加而减小。Rossby波的动力场:但是这种地转关系不是严格的，因为严格的地转运动要求运动沿等地形线（等压线），即v=0，这时可以推得无波动。实际上正是小的非地转运动造成了波动。RossbyWave则利用地转关系(2.41)即准地转近似下位涡守恒依然成立小振幅运动小结(1)定常运动：地转、(2)等深、水平无界运动：惯性重力波高频、双向(3)等深无限长水渠运动：Poincare波：速矢椭圆Kelvin波：(4)斜底无限长水渠运动：多了一种低频地形Rossby波实际上单向单向无限长渠道中的Poincare波，Kelvin波和地形Rossby波的频散关系示意图

§2.10浅水理论的准地转尺度分析QuasigeostrophicscalinginShallow-WaterTheory这一节里运用尺度分析方法，建立一个更具普遍性的准地转动力系统。量纲分析：将上面变量代入左边方程组后略去撇号，经简单运算得：若则上面方程就近似为线性方程。以下假设：代入方程(2.46)、(2.47)中后，可以得到关于ε同次幂平衡的关系式。正是严格地转运动必须沿等地形线进行的这一强约束关系则(2.47)并不能提供另外的信息，而这种情形是下面关注的。在高阶情况下，才有运动的变化(包括辐散引起的流体厚度变化)，称准地转近似。由(2.48a)、(2.48b)得涡度方程：将(2.49)代入得：1、准地转运动完全由表面起伏或压强给出2、确定后，可由地转关系给出3、4、是无量纲位涡有量纲位涡所以除了一个常数就是无量纲位涡。位涡由三项组成即：相对涡度、自由面起伏和环境位涡无量纲环境位涡可以视为有量纲环境位涡与相对涡度之比的量度。自由面起伏对位涡的贡献取决于这里Rossby变形半径可以解释为一个特征距离。在此距离上，相对涡度和表面起伏对位涡有同等贡献。回忆以前的Poincare波和Kelvin波，其中也有Rossby变形半径，还有这样的解释：（1）在时间传播的距离（2）重力波与惯性波同等重要的距离ambientpotentialvorticity环境位涡与运动本身无关§2.11准地转Rossby波QuasigeostrophicRossbyWaves

因为Rossby波在大尺度地球流体动力学中的重要性，再在刚建立的准地转理论框架上讨论其特性这时可以设波解：代入(2.52b)可见平面Rossby波是非线性方程的精确解，因此至少对于平面波解，小振幅的限制可以取消。Rossby波动力场：随波峰前进的观测者总是看到较大的环境位涡(较浅的流体层)位于其右侧。因此由于环境位涡的存在使得空间对于Rossby波来说不再是动力学上各向同性了不失一般性，若将y轴放在环境位涡增加的方向上§2.12β-平面

TheBeta-Plane为纬度，则北(南)半球

向极变大(负)在一定的南北向范围内可以近似看作随纬度线性变化参考纬度值地球半径这时将称作Coriolisparameter以上对的线性近似称作平面；相对应称作平面。位涡这说明地形与β效应具有动力学等价性。就是环境位涡的变化部分。故与其中是等价的，无量纲为无量纲的准地转框架为：Rossby波：§2.13Rossby波机制

TheMechanismfortheRossbyWaves高压中心辐合辐散设初始扰动为自由面隆起（高压）并且压强梯度均匀北由于随纬度变大欲满足地转平衡需要高纬度的速度较小低纬度速度较大高压中心向辐合区运动Rossby波西传§2.14纬向流中的Rossby波

RossbyWavesinaZonalCurrent若设：即环境位涡只在y方向有梯度，并且是个常矢量。取简单的纬向流为为无量纲数，在纬向流上叠加扰动后，流函数为代入方程(2.52b)设平面波解：x方向上的相速为（即对于西风基本流）时波长较短的波向东传播；波长较长的波向西传播；驻波。（东风基本流）时，对于任何波动都是向西传播，不可能出现驻波。有量纲的Rossby驻波波长为与西风带中大型波动的特征尺度相当基本流的存在对

Rossby波的作用表现为：（1）多普勒漂移效应；（2）改变了环境位涡梯度。在没有波动但有基本流动时，有量纲厚度H0为

自由面的倾斜使流体层在y方向的厚度梯度增大，因而随波动所看到的环境位涡梯度增大。这种增大将通过β的有效值增加的方式而使波振荡频率增加。β效应减弱，如果，那么β效应甚至会消失。基本流动使自由表面倾斜。波长远小于Rossby变形半径，则基本流所引起的自由面倾斜在波动尺度上是难以察觉的。波长远大于Rossby变形半径，无多普勒效应§2.15群速度GroupVelocity

波动的一个最重要的特性是它能将扰动的能量通过介质传到相对流体波动中的位移来说很远的距离去。质点在一个波周期的位移为即小振幅线性平面波的假定，同等于平面波对于探讨小振幅波的机制和基本性质来说是一个有用的工具，但是这种均匀的平面波在时空都是严格周期的，它以振幅不变的形式充满了整个时域和空间。实际上常见的大多数是在时间和空间上都只占据有限范围、由各种不同振幅（波长、波速等）的单色波叠加而成的波，即所谓波群（或群波）。最简单的群波是由两个振幅相同，但是波数和频率均有微小差异的平面波叠加而成的合成波：即，假如波数（频率）有差异的波合成后其振幅将随时间变化。如果将一个相连的峰谷称为一个波的话，则合成波由一系列波峰和波谷组成，这些个别的峰谷以相速传播。合成波可看作是包迹（waveenvelope）A(x,t)所包围的一大群波，因而称为波包或群波（wavepacket）。当A(x,t)满足：时，称之为缓变波包。A(x,t)的移动速度为称为群速度所以当即c与k有关时线性化：准地转位涡方程：线性化的条件：代入（2.60）得：(2.61)对于Rossby波来说因为A在一个波内可近似看作不变，而精确到最低阶有：正是Rossby平面波的频散关系精确到最低阶有：只有当c与k和l无关时(即与波数无关)，群速与相速相等。波动为非频散波波动为频散波Rossby波是频散波cgx达到最大正值

cgx达到最大负值

长波的群速一般比短波的群速大§2.16多时间尺度法TheMethodofMultipleTimeScales此方法是将整个波动场分成两种尺度。在快变尺度上，对于观察者来说波振幅可以近似看作不变。而在慢变尺度上，观察者看到波振幅以波包的形式缓慢变化。代入线形方程（2.60）代入（2.63）0级近似：得平面Rossby波频散关系：

级近似：等式左边的自由振荡解与的解一样，而右边的强迫项会使在尺度上共振增大，这样就违背了的假设，为了确保展开的合理性，就要求等式右边等于零。§2.17Rossby波的能量和能量通量EnergyandEnergyFluxinRossbyWaves线性Rossby波动方程：（以水平自由表面为参考面）(2.64)为能量守恒方程E

为总能量密度（单位面积）为总能量通量矢对Rossby波包：精确到最低阶的能量：能量正比于波振幅的平方。在一个周期中的平均值：能量在其平均态周