含参量反常积分一致收敛的判别法

题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名学号系别数学系年级2010级专业数学与应用数学指导教师职称完成日期含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法，以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法AbstractImproperintegralwithvariableisthestudyandexpressiontoolfunction.Tobetterfunctionofparameterimproperintegralexpressionofthekeyproblemliesinthejudgment,theuniformconvergenceofhis.Throughthestudyofjudgingfunctiondiscriminantmethodofparameterimproperintegralconvergesuniformlytohelpthestudyofparameterimproperintegralexpression.Keywords:Improperintegralwithvariable;uniformconvergence;discriminantanalysisTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1引言(1)\o"CurrentDocument"2基本概念⑴\o"CurrentDocument"2.1含参量反常积分(1)\o"CurrentDocument"2.2含参量反常积分一致收敛(2)\o"CurrentDocument"3含参量反常积分一致收敛的判别方法⑵3.1定义法(2)\o"CurrentDocument"3.2柯西准则法(3)\o"CurrentDocument"3.3变上限积分的有界性法(3)\o"CurrentDocument"3.4确界法(4)\o"CurrentDocument"3.5微分法(5)\o"CurrentDocument"3.6级数判别法(6)\o"CurrentDocument"3.7维尔斯特拉斯判别法(简称M判别法)(6)\o"CurrentDocument"3.8狄里克莱判别法(8)\o"CurrentDocument"3.9阿贝尔判别法(8)\o"CurrentDocument"4结束语(1)\o"CurrentDocument"参考文献(10)致谢(11)含参量反常积分一致收敛的判别法柯美蓉（闽江学院数学系；福建福州350108）引言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分，是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.现行的数学分析教材［1-3、5］给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别.为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法，并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.基本概念2.1含参量反常积分设函数f3,y)定义在无界区域R={3,y)\a<工<+3,yeI}上，其中I为区间C,d】,反常积分f+wf3y)dx都收敛，则它的值是y在C,d】上取值的函数，当记这个函数为Q(y)时，则有中(y)=』心f(x,y)dx,yeI，(2-1)a称j+8f(x,y)dx式为定义在I上的含参量y的无穷限反常积分，或简称含参量反常a积分［1］.2.2含参量反常积分一致收敛若含参量反常积分J*”f(x,y)dx与函数中(x)对任给的正数，存在某一实数aN>a，使得当M>N时,对一切yeC,d］都有\Mf(x,y)dx一中(y)<£，(2-2)a即J*”f(x,y)dx<£，(2-3)M则称含参量反常积分J*”f(x,y)dx在I上一致收敛于①(y)，或者简单的说含参量a积分J*”f(x,y)dx在I上一致收敛.a含参量反常积分一致收敛的判别方法3.1定义法定义判别法：根据以上2.2关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别.例3-1证明：含参量反常积分J*”xe-xydy在(0,+”)内不一致收敛，但是在辰,+”)上0一致收敛(其中a>0)⑵.分析由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分J*”fG,yd在0(0,*”)上不一致收敛指：存在£0>0对任何实数A0>0,总存在A>A0和xe(0,*”)，stJ*”A>£.(3-1)证明1）当x>0时，f+Mxe-xydy令stJ*”A>£.(3-1)TOC\o"1-5"\h\zAAx=—e-t+8Ax=e—Ax取£=—，VA>0，取A>A,x=-e（0,+8）,01000A有j+3xe-xydyA=e-ax=e-AA=e-i>-=£，100含参量反常积分j+3xe—^xydy在（0,+3）内不一致收敛.02）由1）可知j+3xe-xydy=e-Ax，AV£>0，e-Ax<£可知A>-In-，故可取A0=：ln1，则当A>A0时，对所有的xeta,+3）有j+3xe-xydy=e-Ax<£，A从而含参量反常积分j+3xe-xydy在R,+3）上一致收敛.j+3xe-xydyA0用含参量反常积一致收敛的定义证明含参量反常积分的一致收敛性，通常使用的方法是适量放大.3.2柯西准则法定理3-1（一致收敛柯西准则）含参量反常积分j+3f（x,y）dx在I区间上一致收a敛OV£>0,BN>a,stA,A>N，A>A时，对VyeI，有1221jA2f（x,y）dx<£.（3-2）Ai注：使用柯西准则讨论一致收敛性具有很大的优越性，难度大大减少，这是因为使用这方法只要考虑充分后的有限区间Ia,A〃],而不要考虑充分后的无穷区间[A,+3）[31

例3・2设f(x,y)在无界区域R={(x,y)\a<x<b,c<y<+^)上连续，对所有xg\a,b\,含参量反常积分收敛，但尤=。时积分发散，证明:Cf+oo/G,Qy在点上非一致收敛.证明1)5+8/4,〉*发散,>0,VA>0,>0,VA>0,3Aff>Ar>A,stj*了G,y)dy>2s,，o2)•「f(x,y)在无界区域/?={(x,y)\a<x<b,c<y<+oo}Jl连续,在有界闭区域R={3,y)\a<x<b,Ar<y<A")上一直连续,.,.对£>0,卖>0,当x,xg\a,b\,yye耻A"],0121,2>一><&,有12|/匕七)一人2，履〈上，・•・当时，有/.fA"(f(x,y)-f(b,yl)dyI#3)根据1)、2)可得\A"f(x,y)dyAfAff(b,y)dy-P(/G,y)-/G,yl)dyIIAr4>Af3s>0,VA>c,BAff>Af>A,a：gL,Z?Looo>E.0所以j+8fCl,在点上非一致收敛.3.3变上限积分的有界性法定理3-2若函数f(x,y)在无界区域7?={(x,y)\a<x<+oo,ye/),(«>0)连续，且BM>0,vG,R,有|fG,\xf^t,y)dt<M,(3-3)a

即sG,j^）=ixf（t,Qt在r有界，则当s>0,含参量反常积分j+8^X^dy在区间I上一致收敛［4］.（分析：由给定的条件可以推理出满足狄利克雷判别法的条件的）证明1）3M>0,V（x,y）gR，有|F（x,y）=ifxf（t,y）dt<M，Ia即F（x,y）=fxf（t,ydt在R有界；a2）对所有的ye\c,d］，当xT+3时，对于参变量y，一致收敛于0,且/s关于x是单调递减的；则由狄利克雷判别法可得到含参量反常积分f+-f（X^y）dy在区间I上一致收敛.aXS例3-3判断含参量反常积分卜e九也dx在区间k+8）的一致收敛性.0x5解依题意可得：F（x,人）=F（x,人）+F（x,人），,X)=f1e-籽sintdt，0其中12Fixe-舄sintdt，iF2(x,人)=fe-Xtsintdt<』"+*)e-X—0(X—+8)1+X2・•・V(x,X)eR(<X<+8,0<X<+8)，F2（x,x）=『而F（x,X）=f1e-籽sintdt是定积分，所以必然有界，0即3M，V（x,X）g,X)=f1e-籽sintdt，0xe-舄sintdt，ie-Xtsintdt<』"+*)e-X—0(X—+8)1+X2<M；含参量反常积分f+8e-Xx也dx在区间h+8）是一致收敛的.0x53.4确界法定理3-3含参量积分f+8f(x,y)ix在I上一致收敛o[limsupf+8f(x,y)dx=0.ayelA例3-4分析讨论含参量积分f+8Xe-xXdx(Xe(0,+8))的一致收敛性[5].0

解1）当X>0时，令t-玖，可得+se-tdt

xaf+TOXe-x人dx—JA=——e一t+8XaF（A）=supJ+8Xe-xXdx—1，Xe（0,+8）A即limF（A）=1丰0，+se-tdt

xaA^+8「.含参量反常积分J+8xe-xydy在（0,+8）内不一致收敛.o2）若任取a>0，就能发现F（A）=supJ+8Xe-xXdx-e-aA，

lela,+8）A:.limF（A）=0At+8从而含参量反常积分J+8xe-xydy在辰,+8）上一致收敛.03.5微分法定理3-4设1）函数fG,y）关于yeC,d］可微；ay3）存在一点y'e2）J+8f（x,y）dx关于yeC,d］一致收敛；C,d］，使得含参量积分J+8f（x,y'）dx收敛;ay3）存在一点y'ea则含参量反常积分J+8f（x,y）dx在C,d］上一致收敛［6］a证明对VyeC,yl，在［y,y，］uC,d］，对Vxela,+8）有fG,y，）-fG,y）=』y'fG,y^yyyJ+8fG,y）dx关于yeC,d］一致收敛，ay•:Vyel.:J+8fG,y）dx关于yeC,y，］也是一致收敛的，,y，］，3A（£）,st对VA,A">A#）有JAfG,y认<A'y£2（y，-c）（2）

含参量积分j+8f(x,y')dx收敛，aVs>0,3A2(,y),st对va,a">A2(,y)有(3)jAf(x,y')dxA令A-maxjay•:VyelJAfG,y认<A'y£2（y，-c）（2）Vs>0,3A2(3)令A-maxjA"f(x,y'^dx+jA"j，'f(x,y)dydxA':jyj*f(x,y认当ygC,y，］时，jAf(x,y)dx=jA"ffG,y)—jy'f(x,y)dydxAA'Vyy)yydyyydyA's一+A'2yss2+2^即含参量积分j*”f(x,y)dx关于ygC,yl一致收敛，a同理可得含参量积分j+8f(x,y)dx关于yg［yr,d］也一致收敛，a总结可得含参量积分j+8f(x,y)dx关于ygC,d］一致收敛.A'a例3-5判断含参量积分j+”e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)上的一致收敛性.o解•/对固定的x£(-8,+8)，有「c「y2c八limy2e-4y2cos2xy=limcos2xy=0，y—8y—8e4y2「.对固定的xg(-8,+8)，含参量积分j+8e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)上收敛，o设f(x,y)=e-4y2cos2xy，则j+8f(x,y^dy--2j+8ye-4y2sin2xydy，.-y3supy2-ye-4y2sin2xy=——xg(-8,+8)e4y：「.limsupy2-ye-4y2sin2xy=0，y—+8xG(-8,+8)由一致收敛柯西判别法可知j+8fx(x,yd在xg(-8,+8)内一致收敛，含参量积分j+8e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)范围上的一致收敛.03.6级数判别法。函数项级数定理3-5含参量反常积分j+8f3,jy)dx在C,d］上一致收敛aEj%f(x,y^x=Eu(y)在C,d］上一致收敛，其中A是数列｛a｝的项，数列(4｝Annnn。函数项级数n=1nn=1满足以下条件：A]=a;数列｛a｝为递增数列；数列(4｝趋于+8.[7]n»(…)-例3-6证明含参量反常积分j+8ln1+u2"du关于V在h1]是一致收敛的.1u3证明令f(u,V)=也竺9，u3,/uG[1,+8)，VGt),1]，r()ln(+u2V2)「.fVW,V)=>0，u3同时可知：二元函数f(u,V)关于u在［1,+8)上单调递减，令函数项级数为Eln'+n2V2)GGlo,1D，n=1ln(+n2v2)ln(+n2)TOC\o"1-5"\h\z<，n3ln(+n2)又,:limn20，ln(+n2v2)n*n3函数项级数为工ln‘+n2V2)收敛，n3n=1根据函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法(M判别法)可得到:函数项级数Uln'+n2V'关于V在h1］是一致收敛的，n3n=1

由级数判别方法定理可知含参量反常积分j+8ln」"2")du关于v在hi］是一致1u3收敛的.3.7维尔斯特拉斯判别法(简称m判别法)定理3-6(维尔斯特拉斯判别法)：设存在函数g1)，满足以下条件：使得|fG,M<g1)，xe",+8)，yg\c,d］，j+8g(x^x收敛，a则含参量反常积分卜f(x,y)dx在C,d］上一致收敛.［8］a要点：使用M判别法关键在于将被积函数绝对值|f(x,y)放大，从而找出符合条件的gG).值得注意的是:维尔斯特拉斯的M判别法虽然比较简单，但是有一定的局限性，能用M判别法证明是一致收敛的含参量反常积分一定是绝对一致收敛的，但是绝对一致收敛的含参量反常积分并不能全用M判别法证明它的一致收敛性，同时条件一致收敛的含参量反常积分也不能用M判别法来判别一致收敛性.例3-7判断j1(+a+a2++an)lnL]2dx(n=1,2,...)是否一致收敛.oIa)解a=0为奇点，+a+a2++an4In—■121

<——1—a(1\

ln—Ix)(1\

ln—ka1+a+a2++an4In—■121

<——1—a(1\

ln—Ix)(1\

ln—ka12=limaT01—a―.，…1故积分j101—a(1A1ln12dx收敛ka)0ka)例3-8证明积分了心e-U2)sintdu，a>0在tg〔0,+8)中一致收敛.证明•••当t-0时，e-atsint:.35>0，st当0vtVe-atsint:.35>0，st当0vtV8时，有e-atsint2ev.一，•5于是I+3e-(x+u2)sintdu=e-atsintj+3e-uduAA竺业I"e-x2dxJt'"A•当tG[0,5)时，VA>0有I+3A当5<tV+3时，I+"e-&2du收敛，0e直+u2)sintduvs，e直+u2)sintduvs，e-〈+u2)sint<e-5+U2)<e-5u2,由维尔斯特拉斯判别法可知:积分Ie-U2)e-C+u2)sintdu在tg1由维尔斯特拉斯判别法可知:积分Ie-U2)当tG%,+3)时，3A>0,st对VA>A，有0「0J+3e-(+u2)sintduvs，A•综合上述得：Vs>0，3A>0,st当A>A时，|j+3e-<+u2)sintduvs对每个00IAtg(0,+3)成立.积分I+3e-匕+u2)sintdu，a>0在tgl(),+3)中一致收敛.03.8狄利克莱判别法定理3-7(狄利克莱判别法)：设f(x,y)=g(x,y》(x,y)，若满足以下条件：

存在N>0，对所有满足A>a的实数A以及yg\c,d］,都有jAh(x,y)dx<N,a即对所有对所有满足A>a的实数A，含参量正常积分jAh(x,y}ix对参量y在aC,d］上一致有界；对于所有ygC,d］，函数g(x,y)关于x是单调递减的，而且当xT+3时，对参量y，g(x,y)一致收敛于0；则含参量反常积分j+8f(x,y)dx在C,d］上一致收敛.a例3-9证明含参量积分j+8sinxydx在［y，,+8)上一致收敛，其中y，>0.0x+y111证明Vy>y，函数二关于x单调下降，且二<1，x+yx+yx当xT+8时，函数工关于y在顷+8)上一致收敛于0，x+y又、VA>0，Vy>y'>0，有jAsinxydx=01-jAsinxydx=01-cosAy|<2y—>，'•••根据狄利克莱判别法可得到：含参量积分j+8sinxydx在［y',+8)上一致收敛.0x+y3.9阿贝尔判别法定理3-8(阿贝尔判别法)：设f(x,y)=g(x,y)(x,y)，若满足以下条件：对所有ygC,d］，函数g(x,y)是关于x的单调函数，且对参量y，g(x,y)在C,d］上一致有界；j+8h(x,y)dx在C,d］上一致收敛；a则含参量反常积分j*"f(x,y)dx在C,d］上一致收敛.［