知识讲解-导数几何意义

编稿 y

f(xyf(x2f(x1)y

f(x)

x2f(x的平均变化率yf(x2f(x1)AB x2

yAyBf(x2f(x1)y x x QyfQyfPMOP(x0,y0及其附近一点Q(x0x,y0y经过点P、Q作曲线的割线PQ 则有

y0yy0y

x) 导数的几何意义——曲线的切 1Pn(xn,f(xn))(n1234f(xP(x0,f(x0PPn的变化趋势是我们发现,PnP即Δx→0时,PPnPTP处的切线QyQyfPTM定义：如图，当点Q(x0x,y0yP(x0,y0，即x0PQPTP也就是：当x0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率 klimy

f(x0xf(x)f(xx0 （1）xx0yf(xP(x0,f(x0xf'(x0)0xf(xf'(x00xf(xf'(x0)0xCCC1-1-2-1的曲线C是我y=sinx的一部分，直线l2CM，但我们不能说直线l2C相切；而直线l1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线l1CN处的切线。①求出切点(x0,f(x0y

f(xx0f在点(x0,f(x0处的切线与过点（x0，y0）在点(x0,f(x0处的切线是说明点(x0,f(x0为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0，此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判（x0，y0）f(x上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点(x1,f(x1yy1f'(x1)(xx1，再将点（x0，y0）代入，求得切点(x1,f(x1的坐标，进而f(x)x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0一个函数,f(x)的导函数.f(xy，

是一个确定的数，那么,x变化时,x即:f(xy

f(xx)ff(xx0f(x0f(xf(x0，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常f(xxf(xf(xx

导函数求法y

f(x

f

（2）.x

f(xx)f。（3）.y＝limyx0y'

f(xxf(x（y

f(x)f(xx)；y'

f(xx)f

y'

f'(x)

f(xf(x0 x

x要点诠释：只要是x0时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍类型一、求曲线的切线方【课堂：导数的几何意义385147例11yx21P（1，2） 利用导数的几何意义，曲线在点P（1，2）处的切线的斜率等于函数yx21在x1处的导由yx21得y(x21)2x，所以曲线在点P处的切线斜率为ky 2Py22(x1y2x y=f(xxx0y=f(xP(x0，f(x0②由点斜式写出直线方程：yy0f(x0)(xx0y=f(xP(x0，f(x0y（此时导数不存在）xx0.【变式】已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程 0∵f(x)＝x2＋3，x0y＝4＋Δxlimy＝4. x0又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为【课堂：导数的几何意义385147例2】2求曲线yx3P(1,1的切线方程.【解析 P(1,1yx3y3x2，则k3y13(x1y3x20P(1,1不是切点，设切点为(xx3：则切线率ky3x2，所以3x0

1x

1x1，所以k3y13(x1y3x1

1f(x)x33x，经过点(22f(x)x33xf(xlimy3x2x0由于点(22f(x当点(22f(x图象在点(22处的导数即为切线的斜率，kf(2)32239，09xy16000当点(22不是切点时，设点0

,x3

x33xf(x在此处的导数（即切线的斜率）k

f

)3x23 （x2）000即x33x240(x1)(x2)20

1

x0 即此时点(1,2y22y1x求满足斜率为1的曲线的切线方程3（1）A（1，0）的切线的切点坐标为a1

f(ax)f(a)

a

切线的斜率为1y11(xa。 A（1，0）代入①式，得a1。所以所求的切线方程为y=―4x+42 1

3（2）设切点坐标为Px0,x，由（1）知，切线的斜率为kx2，则x23，x0 3 0 3 3么切点为 或P'3, 3 3 y1x23y1x23 【课堂：导数的几何意义385147例3【变式3】设f(xx32ax2bxag(xx23x2xRabyf(xyg(x点（2,0）处有相同的切线lab的值，并写出切线l

f'(2)

(2x)32a(2x)2b(2x)a(238a2b lim128ab6x(x)2128a g'(2)

(2x)23(2x)2(2232

lim(1x)由已知f(2)0f'(2g'(2)a2b5，因为kg'(2所以lyx类型二、利用定义求导函3．y

x=2导数定义法 (x)2∵y 1 (x (x (x∴y

x。 (x∴limy

x

1x0

x0(x（∵y

4(x

4x(2xx)x2(xy4(2xx) x2(x∴y'limy

4(2x

8x0

x0x2(x f'(2y|x211f(x

xf'(xxxxxxxxxx2 xxx2 x(xx2)(xx(xx2 xxx2 x 当Δx→0时，f'(x) ，当x=2时，f'(2) 2x 22 x2yx

1在(0xx

1 xx xxx x x x xx (x xx)(x xx xx x(x xxx xxx xx x(x xx x(x xxy

1 x xx x(x xx x2x类型三、导数的几种形例4.若f'(x)2，则limf(x0k)f(x0) k 【解析】根据导数定义：f'(x)limf[x0kf(x0（这时Δ=－k k 所以limf(x0kf(x0k lim1f[x0(k)]f(x0) k0

1limf[x0kf(x0)1212k f'(xlimf(x0kf(x0)（这时Δx=k k 所以limf(x0kf(x0)1limf(x0kf(x0)121k 2k

fx02xfx0

fx02xfx0

＝2

fx02xfx0

【变式2】设f(x)为可导函数，且满足

f(1)f(12x)

－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的线斜率为

f(1)f(12x)

f(12x)f

－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选 若f'