圆锥曲线综合测试

第二章本章检测建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）TOC\o"1-5"\h\z=1（a>b>0）的离心率是2^，则双曲线—一—=1的离心率是（）b22a2b2a.43C.2•灰3右B.C.一D.-224a.43C.22.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（板7,0），直线y=X-1与其交于M、N两点，MN中点的横坐标为-2则此双曲线的方程是（点的横坐标为-2则此双曲线的方程是（）X2y21A3-云=1X2♦♦B.422=13X2y2一C.52X2D.T-yi=15X2y23.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆y+万A.—2B.2C.-4D.4=1的右焦点重合，则p的值为（）X24.设双曲线一-a2y2<曲线的离心率为（江=1（a>X24.设双曲线一-a2曲线的离心率为（5a.4B.5C玉C.2D.崩)以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（）A.¥B.mC.2-V3D.\3-1已知△ABC的顶点A（-5,0）、B（5,0），AABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A.X2y2-=1916B.X2y2-=1169(x>3)X2y2D.16-亏=1(x>4)已知A,BA.X2y2-=1916B.X2y2-=1169(x>3)X2y2D.16-亏=1(x>4)TOC\o"1-5"\h\z■,2,3A.土成B.土§32,3,4c.±4D.±3若点P到A（1,0）的距离与到直线x=—1的距离相等，且点P到直线l：x-y=0的距离等于｝扬，则满足条件的点P的个数是（）A.1B.2C.3D.4>2已知双曲线C：X2—彳=1，过点（1,1）作直线1，使直线l与双曲线C只有一个交点，满足这个条件的直线1共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条双曲线-y=1的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0，其中,ab拱,a丰b,c>0它们所表示的曲线可能是下列图象中的（）已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）已知椭圆栏+^2=1与双曲线丑一22有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，mnpq则.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为一，•.C2)，—,平面上有三个点A(—2，y)，B0,3，C(x，y)，若B£，则动点C的轨迹万程是.V2y2已知双曲线方程是X2一万=1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是.三、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(10分)已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x—3)2+y2=9，动圆M同时与圆R及圆弓相外切，求动圆圆MM的轨迹方程X2y218(12分)设A，B分别为双曲线a-瓦T(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4-，焦点到渐近线的距离为'3.求双曲线的方程；一，…项已知直线y=^x—2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使3OM+ON=tOD，求t的值及点D的坐标.(12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A(x1,y1),B(%,七)均在抛物线上•VOUA\x写出该抛物线的方程及其准线方程；当写出该抛物线的方程及其准线方程；当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，B求y1+y2的值及直线AB的斜率.X2+(y—1)2=16上运动，F为圆心，线段AB的—2axX2+(y—1)2=16上运动，F为圆心，线段AB的—2ax+y2+a2=1被轨迹E包围着，求实数a的且满足|MG|•|NG|=|OG|2(O为坐标原点)，求(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：X2最小值.(2)已知M(—2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，MGNG的取值范围.（12分）已知椭圆—+—=1（a>b>0）的离心率e=—，过点和的直线与原点的距离为a2b232.（1）求椭圆的方程.（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点.问：是否存在，使以为直径的圆过点？请说明理由（12分）设分别为椭圆：至+丑=1（a>b>0）的左、右两个焦点.a2b2（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线号-y=1写出类似的性质，并加以证明

一、选择题B解析：由椭圆—+—=1(a>b>0)的离心率为，得.设，则,.又双曲线中，.a2b2D解析：设双曲线方程为.将代入，整理得.由根与系数的关系得，则.又解得，，所以双曲线的方程是X2解得，，所以双曲线的方程是X2y2解析:因为椭圆z+5=1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p623.D4.Dx2y2b4.Dby=—x，a消去y得，x2y=x2by=—x，a消去y得，x2y=x2+1—x+1=0有唯一解，所以A=一4=0，b—=2acv'a2+b2e=—aD解析：由题意得，，.在直角三角形中，，即，整理得.等式两边同除以，得，即，解得或(舍去).故=|CF|，6的双曲线的右支，C解析:如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|所以|CA|—|CB|=8—2=6.=|CF|，6的双曲线的右支，根据双曲线定义，所求轨迹是：以A、B为焦点，实轴长为x2y2方程为亏一16=1("D解析：由题意知焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在且不为0，故可设直线AB的方程为y=k(x—1)(k#0)，代入y2=4x中化简得ky2—4y—4k=0，4设A(x，y)，B(x，y)，则y+y=?，①yy=—4.②112212k12又由FA=—4FB可得y1=—4y2，@4联立①②③式解得k=土板.3|t2—2t|112—2t|令FB解析：点P的轨迹方程为y2=4x，设P(t2,2t)，则点P到直线x—y=0的距离为,成，.、5，解得4t2—8t±5=0，「.t=—5或t=S，共112—2t|令F2D解析：数形结合可知过点(1,1)，当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都符

合.除此之外还应考虑设直线方程y=kx+1—k与双曲线方程联立消元利用判别式为0可求得k5=5也符合.所以有4条.2B解析：如图所示，设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆位置关系为相切.B解析：方程可化成，可化成.对于人：由双曲线图象可知：，，.•.，即直线的斜率应大于0，故错；对于C：由椭圆图象可知：，，.•.，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B.B解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.二、填空题解析：因为椭圆—+匹=1与双曲线七-q=1有共同的焦点，所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,由椭圆以及双曲线的定义可得，，由①②得，.所以.6解析：由题意，得F(T，0)，设点，，则有=1，解得=.因为=，，=，，所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2，因为-2WW2，所以当=2时，取得最大值+2+3=6.15.y2=8x解析：AB=(y)〔0，yj—(—2,y)=BC=(x，y)—k15.y2=8x解析：AB=(y)〔0，yj—(—2,y)=BC=(x，y)—k0，y:►►►►AB1BC，.AB-BC=0，.•.2,—<.动点C的轨迹方程为y2=8x.(y)x，K=0，即y2=8x.k16.4x—y—7=0解析：设点P1(x1P2(x2则由气2—亏=1得k=y2-yix—x2(x+x)

y2+y1将此直线方程与双曲线方程联立得14x2—56x+51=0，因为A>0，故此直线满足条件.三、解答题

17.解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件，得|MC11-|AC」=|MA|,|MC2|—|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC21—|MC11=|BC21—|ACj=3—1=2.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2,且小于|RC2|=6.的距离小)，根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1这里a=1，c=3，贝Ub2=8，y2的距离小)，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为X2—号=1(xW—1).818.解：(1)由题意知a=2®3一条渐近线为yb=方即bx—2'・J3y=0，X18.解：(1)由题意知a=2®3一条渐近线为yb=方即bx—2'・J3y=0，X2y2b2=3，「.双曲线的方程为我一JL」二=13(2)设M(x，y)，N(x，y)，D(x，y)，则Ux+x=tx，y+y=ty，112200120120将直线方程代入双曲线方程得x2—16、.&x+84=0，则x1+x2=1^/3，y1+y2=12，.<Ix4焰了r，o酝-42=1,〔123t=4，点D的坐标为⑷」3，3).19.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).,/点P(1,2)在抛物线上，22=2pX1，解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=—1.⑵设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则k=~-(x#1)，k=~—(x#1)，PAX-11PBX-12.「PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，...、=—、.由点A(x，y)，B(x，y)均在抛物线上，得y2=4x，①y2=4x，②11221122y-2__y-24142由①一②得，y^—y2=4(x1—x2)，y1+2=—(y2+2)..y1+y2=—4....k=4=—=-1(x#x).ABx-xy+y12121220.解：(1)由题意得|PA|=|PB|，.|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2,动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"y2X2设该椭圆的方程为厂=1(a>b>0),a2b2则2a=4,2c=2,^Pa—2,c—1,故b2=a2—c2=3,y2x2<动点P的轨迹E的方程为亍+5=1.曲线Q:x2—2ax+y2+a2=1,即(x—a)2+y2=1,「.曲线Q是圆心为(a,0),半径为1的圆.而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(一••"&0),(也，0).若曲线Q被轨迹E包围着，则一•••../3+1Wamj3—1,「•a的最小值为—\'3+1.(2)设G(x,y),由|MG|・|NG|=|OG|2得:\：(x+2)2+yS(x-2)2+y2=x?+y2.化简得x2—y2=2,即x2=y2+2,「.MG-NG=(x+2,y)・(x—2,y)=x?+y2—4=2(y2—1).•「点G在圆F：x2+(y—1)2=16内，「.x2+(y—1)2<16,TOC\o"1-5"\h\z0W(y—1)2<16习一3<y<5n0Wy2<25,「.一2W2(y2—1)<48,MGNG的取值范围为［—2,48).解：(1)直线的方程为.X2一依题意得解得所以椭圆方程为亍+y2=1.(2)假若存在这样的值，由得(1+3k2)x2+12kx+9=0,所以D=(12k)-36(1+3k2)>0.①设C(x,y)、D(x,y)，则②1122X而yy=(kx+2)(kx+2)=k2xx+2k(x+x)+4.12121212当且仅当时，以为直径的圆过点，则X^=-1,x+1x+112即yy+(x+1)(x+1)=0,1212\o"CurrentDocument"所以(k2+1)xx+(2k+1)(x+x)+5=0.③121277将②式代入③式整理解得k=-.经验证，k=-使①成立.\o"CurrentDocument"667综上可知，存在k=2,使得以为直径的圆过点.6解：(1)椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4,得，即.又点A又点A桫螺在椭圆上,一，1桫,