全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第5章平面向量第2讲平面向量的数量积及应用课件文

第二讲平面向量的数量积及应用

第五章

平面向量第二讲平面向量的数量积及应用

第五章平面向量考点帮·必备知识通关考点

平面向量的数量积考点帮·必备知识通关考点平面向量的数量积考法帮·解题能力提升考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的模、夹角、垂直问题考法3平面向量的综合应用考法帮·解题能力提升高分帮·“双一流”名校冲刺

提能力∙数学探索数学探索平面向量中的最值、范围问题全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第5章平面向量第2讲平面向量的数量积及应用课件文

考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养平面向量的数量积及应用掌握2020山东,T7探索创新考法1★★★直观想象数学运算2020全国Ⅰ,T142019全国Ⅰ,T8课程学习考法22020天津,T15探索创新考法3考情解读考点课标考题取样情境对应预测核心平面向量的数量积

考情解读命题分析预测

从近五年的高考命题情况来看,本讲是高考命题的热点,每年必考,主要考查平面向量的数量积运算,模、夹角问题的求解,平行或垂直问题的求解,有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查,主要以选择题或填空题的形式出现,难度中等偏下,分值5分.要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.考情解读考点

平面向量的数量积考点帮·必备知识通关考点帮·必备知识通关

考点

平面向量的数量积1.向量的夹角定义图示范围共线与垂直设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是[0,π].注意

研究向量的夹角时应注意“共起点”.考点平面向量的数量积1.向量的夹角定义图示范围共线

考点

平面向量的数量积

考点平面向量的数量积

考点

平面向量的数量积2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|cosθ叫作向量a与b的数量积,记作a·b.投影|a|cosθ叫作向量a在向量b方向上的投影,|b|cosθ叫作向量b在向量a方向上的投影.几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.注意

(1)投影和两向量的数量积都是数量,不是向量,可正、可负、可零.(2)零向量与任意向量的数量积为0.(3)一般情况下,a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相等.考点平面向量的数量积2.平面向量的数量积定义设两个

考点

平面向量的数量积3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

几何表示坐标表示数量积a·b=|a||b|cosθ.a·b=x1x2+y1y2.模夹角考点平面向量的数量积3.平面向量数量积的有关结论

考点

平面向量的数量积a⊥b的充要条件a·b=0.x1x2+y1y2=0.a∥b的充要条件a=λb(λ∈R).x1y2-x2y1=0.|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立).注意

(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考点平面向量的数量积a⊥b的充要条件a·b=0.x

考点

平面向量的数量积

4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.考点平面向量的数量积

4.向量数量积的运算律

考点

平面向量的数量积

考点平面向量的数量积

考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的模、夹角、垂直问题考法3平面向量的综合应用考法帮·解题能力提升考法帮·解题能力提升

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

方法技巧

1.求非零向量a,b的数量积的三种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角.基底法直接利用定义法求数量积不可行时,可选取合适的一组基底(基底中的向量要已知模或夹角),利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来,进而根据数量积的运算律和定义求解.坐标法①已知或可求两个向量的坐标;②已知条件中有(或隐含)正交基底,优先考虑建立平面直角坐标系,使用坐标法求数量积.2.已知向量的数量积求参数的值根据向量数量积的求解方法将向量数量积转化为关于参数的方程,解方程即可.考法1平面向量的数量积运算

方法技巧1.

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题方法技巧

求平面向量模的两种方法公式法几何法利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题方法技巧

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题注意在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的灵活运用.另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题注意在求解与

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

方法技巧

求平面向量夹角问题的3种方法定义法坐标法解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

方法技巧

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法3平面向量的综合应用命题角度1平面向量在物理中的应用示例6

质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,则斜面对物体的摩擦力的大小为

,支持力的大小为

.

思维导引物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,即它们的合力为0,利用物理学知识和向量的运算即可求解.考法3平面向量的综合应用命题角度1平面向量在物理中

考法3平面向量的综合应用解析

如图5-2-6所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|).由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f=0

①.记垂直于斜面向下、大小为1N的力为e1,图5-2-6平行于斜面向下、大小为1N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0),f=(0,-|f|),考法3平面向量的综合应用解析如图5-2-6所

考法3平面向量的综合应用由图5-2-6知e1与G的夹角为θ,则G=(mgcosθ,mgsinθ).由①,得G+F+f=(mgcosθ-|F|,mgsinθ-|f|)=(0,0),所以mgcosθ-|F|=0,mgsinθ-|f|=0.故|F|=mgcosθ,|f|=mgsinθ.点评当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.考法3平面向量的综合应用由图5-2-6知e1与G的夹

考法3平面向量的综合应用方法技巧

解决向量在物理中的应用问题的策略平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下几个方面:(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量mv是数乘向量;(3)功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).考法3平面向量的综合应用方法技巧解决向量在物理中

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用方法技巧

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式,则运用向量共线或垂直或等式成立等得到三角函数的关系式,然后求解.(2)若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模,则解题思路是通过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题.考法3平面向量的综合应用方法技巧平面向量与

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用方法技巧

向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.工具作用利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.考法3平面向量的综合应用方法技巧提能力∙数学探索数学探索平面向量中的最值、范围问题高分帮·“双一流”名校冲刺提能力∙数学探索高分帮·“双一流”名校冲刺数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-8数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-8数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-9数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-9数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-10数学探索平面向量中的最值、范围问题

图5-2-10数学探索平面向量中的最值、范围问题方法技巧1.平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路一是“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.2.求向量模的最值(或取值范围)的方法(1)代数法,先把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解;(3)利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的最值(或取值范围).数学探索平面向量中的最值、范围问题方法技巧第二讲平面向量的数量积及应用

第五章

平面向量第二讲平面向量的数量积及应用

第五章平面向量考点帮·必备知识通关考点

平面向量的数量积考点帮·必备知识通关考点平面向量的数量积考法帮·解题能力提升考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的模、夹角、垂直问题考法3平面向量的综合应用考法帮·解题能力提升高分帮·“双一流”名校冲刺

提能力∙数学探索数学探索平面向量中的最值、范围问题全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第5章平面向量第2讲平面向量的数量积及应用课件文

考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养平面向量的数量积及应用掌握2020山东,T7探索创新考法1★★★直观想象数学运算2020全国Ⅰ,T142019全国Ⅰ,T8课程学习考法22020天津,T15探索创新考法3考情解读考点课标考题取样情境对应预测核心平面向量的数量积

考情解读命题分析预测

从近五年的高考命题情况来看,本讲是高考命题的热点,每年必考,主要考查平面向量的数量积运算,模、夹角问题的求解,平行或垂直问题的求解,有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查,主要以选择题或填空题的形式出现,难度中等偏下,分值5分.要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.考情解读考点

平面向量的数量积考点帮·必备知识通关考点帮·必备知识通关

考点

平面向量的数量积1.向量的夹角定义图示范围共线与垂直设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是[0,π].注意

研究向量的夹角时应注意“共起点”.考点平面向量的数量积1.向量的夹角定义图示范围共线

考点

平面向量的数量积

考点平面向量的数量积

考点

平面向量的数量积2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|cosθ叫作向量a与b的数量积,记作a·b.投影|a|cosθ叫作向量a在向量b方向上的投影,|b|cosθ叫作向量b在向量a方向上的投影.几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.注意

(1)投影和两向量的数量积都是数量,不是向量,可正、可负、可零.(2)零向量与任意向量的数量积为0.(3)一般情况下,a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不相等.考点平面向量的数量积2.平面向量的数量积定义设两个

考点

平面向量的数量积3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

几何表示坐标表示数量积a·b=|a||b|cosθ.a·b=x1x2+y1y2.模夹角考点平面向量的数量积3.平面向量数量积的有关结论

考点

平面向量的数量积a⊥b的充要条件a·b=0.x1x2+y1y2=0.a∥b的充要条件a=λb(λ∈R).x1y2-x2y1=0.|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立).注意

(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考点平面向量的数量积a⊥b的充要条件a·b=0.x

考点

平面向量的数量积

4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.考点平面向量的数量积

4.向量数量积的运算律

考点

平面向量的数量积

考点平面向量的数量积

考法1平面向量的数量积运算考法2平面向量的模、夹角、垂直问题考法3平面向量的综合应用考法帮·解题能力提升考法帮·解题能力提升

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

方法技巧

1.求非零向量a,b的数量积的三种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角.基底法直接利用定义法求数量积不可行时,可选取合适的一组基底(基底中的向量要已知模或夹角),利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来,进而根据数量积的运算律和定义求解.坐标法①已知或可求两个向量的坐标;②已知条件中有(或隐含)正交基底,优先考虑建立平面直角坐标系,使用坐标法求数量积.2.已知向量的数量积求参数的值根据向量数量积的求解方法将向量数量积转化为关于参数的方程,解方程即可.考法1平面向量的数量积运算

方法技巧1.

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法1

平面向量的数量积运算

考法1平面向量的数量积运算

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题方法技巧

求平面向量模的两种方法公式法几何法利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题方法技巧

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题注意在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的灵活运用.另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题注意在求解与

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

方法技巧

求平面向量夹角问题的3种方法定义法坐标法解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

方法技巧

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法2平面向量的模、夹角、垂直问题

考法3平面向量的综合应用命题角度1平面向量在物理中的应用示例6

质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,则斜面对物体的摩擦力的大小为

,支持力的大小为

.

思维导引物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,即它们的合力为0,利用物理学知识和向量的运算即可求解.考法3平面向量的综合应用命题角度1平面向量在物理中

考法3平面向量的综合应用解析

如图5-2-6所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|).由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f=0

①.记垂直于斜面向下、大小为1N的力为e1,图5-2-6平行于斜面向下、大小为1N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0),f=(0,-|f|),考法3平面向量的综合应用解析如图5-2-6所

考法3平面向量的综合应用由图5-2-6知e1与G的夹角为θ,则G=(mgcosθ,mgsinθ).由①,得G+F+f=(mgcosθ-|F|,mgsinθ-|f|)=(0,0),所以mgcosθ-|F|=0,mgsinθ-|f|=0.故|F|=mgcosθ,|f|=mgsinθ.点评当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.考法3平面向量的综合应用由图5-2-6知e1与G的夹

考法3平面向量的综合应用方法技巧

解决向量在物理中的应用问题的策略平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下几个方面:(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量mv是数乘向量;(3)功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).考法3平面向量的综合应用方法技巧解决向量在物理中

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用

考法3平面向量的综合应用方法技巧

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若题中给出的向量的坐标中含有