概率论课件之连续型随机变量及其概率密度

2.4连续型随机变量

及其概率密度１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结2.4连续型随机变量

及其概率密度１．连续型随机变量的1

引例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X表示弹着点与圆心的距离。试求X的分布函数.解：由题意有当x<0时,F(x)=P{X≤x}=P(φ)=0.当x≥2时,F(x)=

P{X≤x}=P(Ω)=1.Xx引例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同2当0≤x<2时,由题意知P{0<X≤x}=kx2其中k为一常数.另一方面1=P{0<X≤2

}=4k→k=¼.F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x分布函数为:当0≤x<2时,由题意知另一方面F(x3单调不降有界连续函数x1O2F(x)1考虑函数

f(x)=x/2,0<x<2;0,其它单调不降x1O2F(x)1考虑函数f(x)=x/4f(x)的变上限积分为0,x<0；f(x)的变上限积分为0,5一、概率密度函数

定义设随机变量X

的分布函数为F(x),若存在非负函数

f(x),对于任意实数

x,均有称随机变量X

是连续型随机变量,称函数

f(x)为X的概率密度.一、概率密度函数定义设随机变量X的分布函6注：连续型随机变量X

的分布函数是连续函数.注：连续型随机变量X的分布函数是连续函数.7

概率密度函数的性质1)2)1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.3)X落入区间(a,b］内的概率:概率密度函数的性质1)2)13)X落入区间(a,b］内8注意

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概9P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(10

(4)若f(x)在点x处连续,则有证明(4)若f(x)在点x处连续,则有证明11例设随机变量X的分布函数为解(1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).例设随机变量X解(1)由于连续型随机变量的分布函12(2)X的密度函数(2)X的密度函数13(3)P(X>1\3).(3)P(X>1\3).14例设随机变量X的密度函数为求(1)常数a;(2)P(-1\2<X<1\2).;(2)X的分布函数解(1)由密度函数的性质例设随机变量X求(1)常数a;(2)P(-1\2<15概率论课件之连续型随机变量及其概率密度16概率论课件之连续型随机变量及其概率密度17概率论课件之连续型随机变量及其概率密度182.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布2.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布19

即对于(c,c+l)(a,b)，有∪均匀分布的分布函数：

特点：随机变量X落在(a,b)的子区间的概率与位置无关，仅与测度（即长度）成正比.即对于(c,c+l)(a,b20均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间．均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于21解设X表示他到站的时刻（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为例（等待时间）公共汽车从上午7点开始每15分钟按时有汽车到站，一乘客在7:00到7:30随机到达车站.求(1)他等车时间不超过5分钟的概率(2)超过10分钟的概率.解设X表示他到站的时刻（以分计），则X是一个随机变量，且22概率论课件之连续型随机变量及其概率密度23例

设随机变量X~U(0,5),求方程4r2+4Xr+X+2=0有实根的概率

p.解：p=P{(4X)2–4×4(X+2)≥0}=P{X2–(X+2)≥0}=P{(X–2)(X+1)≥0}

=P({X≤－1}∪{X≥

2})

=P{X≤－1}+P{X

≥2}

=P{2≤X

≤5}5－25=35=例设随机变量X~U(0,5),求方程4r224例

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数.解则因而有例设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,25(2)指数分布设随机变量X的概率密度函数为称随机变量X

服从参数为

l

的指数分布.(l>0)指数分布的分布函数：(2)指数分布设随机变量X的概率密度函数为称随机26指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明27而于是

指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！

指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.

在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要28例

某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分布,其概率密度为(1)求元件寿命至少为200小时的概率.(2)将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.

例某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分29解(1)元件寿命至少为200小时的概率为解(1)元件寿命至少为200小时的概率为302只及2只以上元件的寿命大于200小时的概率为故系统的寿命至少为200小时的概率为

(2)以Y记3只元件中寿命大于200小时的元件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由(1)知一元件的寿命大于200小时的概率为e-2,故有2只及2只以上元件的寿命大于200小时的概率为故系统的寿命至31

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

(3)正态分布(高斯分布)正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分32正态分布的定义正态分布的定义33正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征34概率论课件之连续型随机变量及其概率密度35概率论课件之连续型随机变量及其概率密度36正态分布的分布函数正态分布的分布函数37正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法一:利用统计软件计算方法二:转化为标准正态分布查表计算正态分布下的概率计算原函数不是方法一:利用统计软件计算方法二38标准正态分布的概率密度表示为3.标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的概率密度表示为3.标准正态分布标准正态分布39标准正态分布的图形标准正态分布的图形40查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：即查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分布概率密度图形的对称41概率论课件之连续型随机变量及其概率密度42它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.定理1它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何43若~N(0,1)

若X～N(0,1),若~N(0,1)若X～N(0,1),44概率论课件之连续型随机变量及其概率密度45概率论课件之连续型随机变量及其概率密度46概率论课件之连续型随机变量及其概率密度47例2

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?

解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.再看一个应用正态分布的例子:例2公共汽车车门的高度是按男子与车门解:设车门高度为48因为X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.因为X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表49由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.003.当X～N(0,1)时，4、3

准则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集50将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值512.4连续型随机变量

及其概率密度１．连续型随机变量的概念２．三种重要的连续型随机变量３．小结2.4连续型随机变量

及其概率密度１．连续型随机变量的52

引例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X表示弹着点与圆心的距离。试求X的分布函数.解：由题意有当x<0时,F(x)=P{X≤x}=P(φ)=0.当x≥2时,F(x)=

P{X≤x}=P(Ω)=1.Xx引例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同53当0≤x<2时,由题意知P{0<X≤x}=kx2其中k为一常数.另一方面1=P{0<X≤2

}=4k→k=¼.F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x分布函数为:当0≤x<2时,由题意知另一方面F(x54单调不降有界连续函数x1O2F(x)1考虑函数

f(x)=x/2,0<x<2;0,其它单调不降x1O2F(x)1考虑函数f(x)=x/55f(x)的变上限积分为0,x<0；f(x)的变上限积分为0,56一、概率密度函数

定义设随机变量X

的分布函数为F(x),若存在非负函数

f(x),对于任意实数

x,均有称随机变量X

是连续型随机变量,称函数

f(x)为X的概率密度.一、概率密度函数定义设随机变量X的分布函57注：连续型随机变量X

的分布函数是连续函数.注：连续型随机变量X的分布函数是连续函数.58

概率密度函数的性质1)2)1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.3)X落入区间(a,b］内的概率:概率密度函数的性质1)2)13)X落入区间(a,b］内59注意

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概60P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？类似可知，P{X=a}=0而{X=a}并非不可能事件.可见，由P(61

(4)若f(x)在点x处连续,则有证明(4)若f(x)在点x处连续,则有证明62例设随机变量X的分布函数为解(1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).例设随机变量X解(1)由于连续型随机变量的分布函63(2)X的密度函数(2)X的密度函数64(3)P(X>1\3).(3)P(X>1\3).65例设随机变量X的密度函数为求(1)常数a;(2)P(-1\2<X<1\2).;(2)X的分布函数解(1)由密度函数的性质例设随机变量X求(1)常数a;(2)P(-1\2<66概率论课件之连续型随机变量及其概率密度67概率论课件之连续型随机变量及其概率密度68概率论课件之连续型随机变量及其概率密度692.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布2.三种重要的连续型随机变量(１)均匀分布70

即对于(c,c+l)(a,b)，有∪均匀分布的分布函数：

特点：随机变量X落在(a,b)的子区间的概率与位置无关，仅与测度（即长度）成正比.即对于(c,c+l)(a,b71均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间．均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于72解设X表示他到站的时刻（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为例（等待时间）公共汽车从上午7点开始每15分钟按时有汽车到站，一乘客在7:00到7:30随机到达车站.求(1)他等车时间不超过5分钟的概率(2)超过10分钟的概率.解设X表示他到站的时刻（以分计），则X是一个随机变量，且73概率论课件之连续型随机变量及其概率密度74例

设随机变量X~U(0,5),求方程4r2+4Xr+X+2=0有实根的概率

p.解：p=P{(4X)2–4×4(X+2)≥0}=P{X2–(X+2)≥0}=P{(X–2)(X+1)≥0}

=P({X≤－1}∪{X≥

2})

=P{X≤－1}+P{X

≥2}

=P{2≤X

≤5}5－25=35=例设随机变量X~U(0,5),求方程4r275例

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”,Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数.解则因而有例设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,76(2)指数分布设随机变量X的概率密度函数为称随机变量X

服从参数为

l

的指数分布.(l>0)指数分布的分布函数：(2)指数分布设随机变量X的概率密度函数为称随机77指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明指数分布的重要性质:“无记忆性”.证明78而于是

指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！

指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.

在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.而于是指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要79例

某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分布,其概率密度为(1)求元件寿命至少为200小时的概率.(2)将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.

例某种电子元件的寿命(以小时计)X服从指数分80解(1)元件寿命至少为200小时的概率为解(1)元件寿命至少为200小时的概率为812只及2只以上元件的寿命大于200小时的概率为故系统的寿命至少为200小时的概率为

(2)以Y记3只元件中寿命大于200小时的元件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由(1)知一元件的寿命大于200小时的概率为e-2,故有2只及2只以上元件的寿命大于200小时的概率为故系统的寿命至82

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

(3)正态分布(高斯分布)正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分83正态分布的定义正态分布的定义84正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征85概率论课件之连续型随机变量及其概率密度86概率论课件之连续型随机变量及其概率密度87正态分布的分布函数正态分布的分布函数88正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法一:利用统计软件计算方法二:转化为标准正态分布查表计算正态分布下的概率计算原函数不是方法一:利用统计软件计算方法二89标准正态分布的概率密度表示为3.标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的概率密度表示为3.标准正态分布标准正态分布90标准正态分布的图形标准正态分布的图形91查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：即查表标准正态分布函数表(2)由标准正态分