偏微分方程数值解例题答案

二、改进的Euler方法(1.10)比Euler,,(1.10)计算时,每迭代一次,都要重新计算函数f(x,y的值,算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler公式求得一个初步的近似值y ,称之为预测,然后用公(1.10)作一次迭代得y ,n1 n1将yn1

校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler方法:预测:

n1

y hf(x,y),n n n校 正 :(1.15)

y yn1

h[f(x,y2 n

)f(x

n1

,yn1

)].这个计算公式也可以表示为

y y hf(x,y), p n n ny yc

hf(x

,y),n1 py 1(y y).n1 2 p c例1 取步长h0.1，分别用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题dydx

y(1xy), 0x1,y(0)1.解 这个初值问题的准确解为y(x)(2exx1). 根据题设知f(x,y)y(1xy).Euler方法的计算式为由y y(0)1,得0

yn1

y 0.1[yn

(1xn

y)],ny 10.1[1(100.9,1y 0.90.1[0.9(10.10.9)]0.8019,2这样继续计算下去，其结果列于表9.1.改进的Euler方法的计算式为y y p n

0.1[yn

(1xy)],n ny yc n

0.1[yp

(1x yn1

)],y 1(y y),由y y(0)1，得0

n1 2 p cy 10.1[1(101)]0.9,py 10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,11y (0.90.9019)0.900951 2y 0.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,py 0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,11y (0.802740.80779)0.805262 2这样继续计算下去，其结果列于表9.1.xnEulerxnEuler方法yn改进的Euler方法yn准确值y(x)n0.10.90000000.90095000.90062350.20.80190000.80526320.80463110.30.70884910.71532790.71442980.40.62289020.63256510.63145290.50.54508150.55761530.55634600.60.47571770.49055100.48918000.70.41456750.43106810.42964450.80.36108010.37863970.37720450.90.31454180.33262780.33121291.00.27418330.29235930.2909884从表9.1可以看出,Euler方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler方法的精度比Euler方法高.例2Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法在不同步长下计算初值问题dydx

y(1xy),0x1,y(0)1在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果.解f(x,y)y(1xy124。124EulerEuler方法及四阶经典R-K20400处的近似值时，它们的步长应分别。05、。10。2，以使三种方法的计算量大致相等。Euler

y y 0.05[y(1xy)].n1 n n n n改进的Eluer方法的计算格式为y y p

0.1[yn

(1xn

y)],ny yc

0.1[yp

(1x

yn1

)],pyn1

1(y2

y).c四阶经典R-K方法的计算格式为y y 0.2(k2k 2k k),n1 n 6 1 2 3 4k y(1xy),1 n n n 0.2 0.2 0.2k (y k)[1(x )(y

)],2 n 2

n 2 n 2 1 0.2 0.2 0.2k3

(y n

k)[1(x 2 2 n

)(y 2 n

k)],2 2k4

(yn

0.2k3

)[1(xn

0.2)(

0.2k)]n 3初始值均为y y(0)1，将计算结果列于表9.2.0表9.2Euler方法改进的Euler方法四阶经典R-K方法（步长h=0.05）（步长h=0.1）（步长h=0.2）准确解xnynynyny(x)n0.20.80318660.80526320.80463630.80463110.40.62717770.63256510.63146530.63145290.60.48255860.49055100.48919790.48918000.80.36930360.37863970.37722490.37720451.00.28274820.29235930.29100860.29098849.22改进的Euler3R-K5位有12的计算结果说明，在解决实际问题时，选择恰当的算法是非常必要的。需要指出的是Runge-Kutta方法的基于Taylor如果解的光滑性差，使用四阶Runge-Kutta方法求得数值解的精度，可能不如改进的Euler方法精度高。因此，在实际计算时，要根据具体问题的特性，选择合适的算法。一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分y

xet2dt0所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题y'ex2y(0)0其中h=0.5。其向前欧拉格式为y

yhe(ih)2i1

iy 00改进欧拉格式为 hy

(e(ih)2

e(i1)2h2)i1 i 2y 00ixixyyi向前欧拉法i改进欧拉法i000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题y'xy1 y(0)1 0x0.6取步长h=0.1.y y,y,y解步显式法必须有4个起步值，0已知其他3个1 2 3用4阶龙格库塔方求出。本题的信息有：xh=0.1；结点

ih(i0,1, ,6)；f(x,y)xy1,y0

y(0)1经典的4阶龙格库塔公式为yi1

yi

h(k6

2k2

2k3

k)4kf(x,yi

)xi

y1ik f(x

h,

1)x

1.05hki 2 i 2 i i 1hkh hkk f(x,y 2)xy0.05k1.05i 2 i 2 i i 2k f(x

h,yi

hk3

)xi

y0.1ki

1.1y1.0048375y

1.0187309

1.0408184算得1 , 2 , 34阶4步阿达姆斯显格式yi1

yi

h(55f24

59

i1

37

i2

9

)i3y1i 24

(18.5yi

5.9yi1

3.7yi2

0.9yi3

0.24i3.24)由此算出y 1.0703231,y4

1.1065356,y6

1.1488186三、用Euler方法求y'exyx1,0x1y01h问步长

应该如何选取，才能保证算法的稳定性？fx,yexyx1解：本题

x,yex0,0x1y本题的绝对稳定域为1h1hex 10hex得

2，故步长应满足0he2,0h0.736求梯形方法y yh[f(x,

)f(x ,y )]kk 2 k k

kk的绝对稳定域。证明：将Euler公式用于试验方程

y'

，得到y yk

h[y2

]k整理 h1 y

(1h)y 2

k2 k y , k 设计算 k时有舍入误差k ，则有1

h

h) 2

k2 k 据稳定性定义，要想kk ，只须 1 h1 h2 2h因此方法绝对稳定域为复平面五、对初值问题y'yy(0)1 0x1证明：用梯形公式

的整个左半平面（？，是稳定的。y y h[f(x,yn1 n 2 n

)f(x ,y )]n1 n1求得的数值解为2hny n 2 hh0 y y ex并证明当步长 时，n收敛于该初值问题的精确解n证明：由梯形公式，有y y h[f(x,yn1 n 2 n

)f(x ,n1

n1

)]y

h[y y ]n 2 n n1整理，得

2hyn1

y2 h n由此递推公式和初值条件，有2hn 2hnyn 2h y0 2h x[0,1] x，则有在区间 上有hxxxn

nh ，步长

，由前面结果有x2hn 2h xlimy

lim lim1 hn n

n

2h

h0 2h2x

2h

2h lim1 h0 2h

2h

ex 由x的任意性，得所证。y'f(x,y)

x,x,x,x六、对于微分方程

，已知在等距结点

0 1 2

3处的y的值为y,y,y,y 0 1 2 3，h为步长。试建立求

4的线性多步显格式与与隐格式。[x,x]解：取积分区间 2 4 ，

y'f(x,y)y x4y x4y x2x4dyx4f(x,y)dxx2x2对右端

f(x,y)作

x,x1

,x3的二次插值并积分

f(x,y)dx2 [lx 022

(x)f(x,y)l1 1

(x)f(x,y)l (x)f(x,y2 2 22 3

)]dx 1 2 3h( f(x,y) f(x,y) f(x,y))3 1 1 3 2 2 7 3 31y y h( f2f3f)14 2得到线性4步显格式x,x

3 1 3 1 7 3若对右端在3 4两点上作线性插值并积分，有x4x

f(x,y)dxx4[lx 012

(x)f(x,y3

)l11

(x)f(x,y4

)]dx2hf(x,y)4 4由此产生隐格式y y 2hfx,y4 2 4 4七、证明线性多步法yn1

（yn

-yn-1

n-2

1(3)h(f2

f )n1存在4解：由本题的公式，有yn1

（yn

-yn-1

n-2

1(3)h(f2

f )n1Tn1

y(xn

h)

n1h2 h3 h4[y(x

)hy'(x

) y

) y

) y(4)(x

)O(h5)]n n

n

n 4! n[(y(xn

)y(xn

h))y(xn

2h)

1(3)h(y'2

y'(xn

h))]h2 h3 h4[y(x)hy'(x) y''(x) y) y(4)(x

)O(h5)]n n

n

n 4! nh2 h3 h4y(x)(y(x)hy'(x) y''(x) y) y(4)(x

)O(h5))n n n

n

n 4! n(2h)2 (2h)3 (2h)4(y(xn

)2hy'(xn

) y''(x2!

) y3!

) y(4)(x4!

)O(h5))h2 h3 h(3)(y'(x)y'(x)hy''(x) y) y(4)(x

)O(h5))n n

n 2!

n 3! n1 1 [12(3)]hy'(x)[ 2 (3)]h2y''(x)1 1 n 2 2 2 n1 1 4 1 (3)]h3y6 6 3 4 n1 1 2 1 (3)]h2y(4)(x)O(h5)24 24 3 12 n3 1 1( )h3y) (9)]h4y(4)(x

)O(h5)4 12

n 24 nn当=9时，T1n

O(h5)，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度（1）

hh2h

f(x)dxA1f(x)dxA

f(h)A0f(h)