《d12数列的极限》课件

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S.当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆播放数列的极限播放数列的极限问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:“无限接近”的含义：只要n

足够大，可以小于任意给定的小正数。问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定无论它多么小，无论它多么小，定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项)例如,趋势不定收敛发散例如,趋势不定收敛发散如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中几何解释:其中例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当例证成立.由极限的定义可知:例证成立.由极限的定义可知:小结（1）用定义证数列极限存在时,关键是任意给定>0

寻找N,使当n>N时，（2）为了找到上述N

，常常先将适当放大为再令并从中能方便的解出此时取（3）有时为了方便，在不妨碍可以任意小的前提下，可事先设小于某个正数。小结（1）用定义证数列极限存在时,关键是任意给定二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,例4.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数2.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同子数列的概念

在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为子数列的概念在数列{xn}:x1,x*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明******************************************4.收敛数列的任三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同1.夹逼准则

(准则1)

(P50)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故1.夹逼准则(准则1)(P50)证:由条件(例5.证明证:利用夹逼准则.且由例5.证明证:利用夹逼准则.且由2.单调有界数列必有极限

(准则2

)

(P52)

(证明略)2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:大大正又比较可知大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e

为无理数,其值为即有极限.又内容小结根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极内容小结1.数列极限的“–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.

无界的数列必发散.

发散的数列不一定无界.收敛的数列必有界.思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的作业P301,*3

(2),*4

P564

(1),(3)4

(3)

提示:可用数学归纳法证第三节作业P301,*3(2),*44(3)故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数2.

设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S.当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆播放数列的极限播放数列的极限问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:“无限接近”的含义：只要n

足够大，可以小于任意给定的小正数。问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定无论它多么小，无论它多么小，定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项)例如,趋势不定收敛发散例如,趋势不定收敛发散如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中几何解释:其中例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当例证成立.由极限的定义可知:例证成立.由极限的定义可知:小结（1）用定义证数列极限存在时,关键是任意给定>0

寻找N,使当n>N时，（2）为了找到上述N

，常常先将适当放大为再令并从中能方便的解出此时取（3）有时为了方便，在不妨碍可以任意小的前提下，可事先设小于某个正数。小结（1）用定义证数列极限存在时,关键是任意给定二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,例4.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数2.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)3.收敛数列具有保号性.若且有证:对a>0,取推论保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同子数列的概念

在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为子数列的概念在数列{xn}:x1,x*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明******************************************4.收敛数列的任三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明:三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同1.夹逼准则

(准则1)

(P50)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故1.夹逼准则(准则1)(P50)证:由条件(例5.证明证:利用夹逼准则.且由例5.证明证:利用夹逼准则.且由2.单调有界数列必有极限

(准则2

)

(P52)

(证明略)2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:大大正又比较可知大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e

为无理数,其值为即有极限.又内容小结根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极内容小结1.数列极限的“–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.

无界的数列必发散.

发散的数列不一定无界.收敛的数列必有界.思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边