复数的乘法与除法课件

§5.3复数的乘法与除法

§5.3复数的乘法1一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘23:复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即zz=|z|2=|z|2.4:复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即5.共轭复数的乘除性质:6.一些常用的计算结果3:复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个3(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.(2)设,则有:事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.(3)7.例题选讲例1.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式=(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+24例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i2019;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2019i-2019-2019i+2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)解:原式=(3)解:原式=练习:计算:答案:(1)255-i;(2)1.例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i20195例3:已知复数,且z2+az+b=1+i,求实数a,b.解:所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.练习2:已知z=1+i,(1)若,求;(2)若;求a,b的值.答案:(1);(2)a=-1,b=2.例3:已知复数6OABDxyOABCxy例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.解:因为OABC是平行四边形,OABDxyOABCxy例4:如图所示,平行四边形OABC(7例5:已知复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,求z.解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.当a=4时,b=3,z=4+3i,所以z=4-3i;当a=-4时,b=-3,z=-4-3i,所以z=-4+3i.解2:由已知可设(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).则例5:已知复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,求8例6:若是纯虚数,求z的对应点Z的轨迹.解:设,则z-1=ki(z+1).设z=x+yi(x,y∈R),则消去k,得x2+y2=1且y≠0.所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)例6:若是纯虚数,求z的对应点Z的轨迹.解:9二、重要性质的应用公式zz=|z|2=|z|2在整个复数知识中占有十分重要的地位,它既是共轭复数与复数模的桥梁,又在处理复数为实数或纯虚数时的重要工具.公式的变形:;特别地,当|z|=1时,.复数z为实数的几个充要条件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z2≥0;(4)存在非零实数k,使得|z-ki|=|z+ki|.复数z为纯虚数的几个充要条件:(1)Re(z)=0且Im(z)≠0;(2)z+z=0且z≠0;(3)z2<0;(4)存在非零实数k,使得|z-k|=|z+k|且z≠0.在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.二、重要性质的应用公式zz=|z|2=|z|2在整个复数知10例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1||x+yi|=|2x+1|.所以,当x=1时,|z2+z+1|最大值=3;当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0.解2:由于zz=|z|2=1,故若设z=x+yi(x,y∈R),则有|z2+z+1|=|z2+z+zz|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解1).例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:设z=11例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)2<0解2:解1:解3:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入条件式并利用模的计算公式可得ac+bd=0.从而可知z1/z2是纯虚数,故(z1/z2)2<0.例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|12例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1<z+8/z<5;(2)z的实部和虚部都是整数.解:(1)故此时无解.(2)例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1<z+8/13练习1:设复数,求证是纯虚数的充要条件是|z|=1.练习2:求复数z,使(1)|z-4|=|z-4i|;(2)是实数同时成立.答案:z=0或-2-2i或3+3i.练习3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.答案:当时,取最小值,当z=-1时,取最大值5.练习1:设复数,求证是14三、实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0时,有两个共轭虚根:此时韦达定理仍然成立,并且注意到两根共轭,从而有几何意义:两根在复平面内的对应点关于x轴对称.如方程x2+x+1=0的两根为三、实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c=015例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.解:例2:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、x2,且|x1-x2|=3,求实数a.解:说明:由于x1、x2是虚根,因此原来在实根时的计算式不再成立.例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+16例3:设关于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的两个复数根为x1、x2,且x1、x2在复平面内对应的点分别为A、B,|AB|=2,求m的值.解:Δ=16-4m.(1)当时,又|AB|=2,故(2)当时,又|AB|=2,故综合(1)、(2)得m=3或5.例3:设关于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的两个复数根17类1:设x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0的两根,m∈R,且|x1|+|x2|=4,求m的值.解:由韦达定理得:x1+x2=3①,x1x2=m②.(1)当x1,x2∈R时,Δ=9-4m≥0,m≤9/4.故当0≤m≤9/4时,则由②得x1x2≥0,从而又由①得|x1|+|x2|=x1+x2=3,与已知矛盾.所以m<0,此时x1x2<0.故得m=-7/4.(2)当x1,x2为虚根时,则x1,x2是互为共轭复数.所以有x1=x2,|x1|=|x2|.此时m>9/4.则由②得x1x2=x1x1=|x1|2=m.又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以m=4.类1:设x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0的两根,m18类2:已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为x1、x2,且x1、x2、1在复平面内的对应点是一个正三角形的三个顶点,求实数p.解:由已知知Δ=4p2-4<0,得p2<1.又方程的两个虚根为故x1的对应点为A,x2的对应点为B1的对应点为C(1,0).又由A,B关于x轴对称,且|OA|=|OB|=1.(满足p2<1).故所求的p值为1/2.类2:已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为x1、x2,且19四、小结1.进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化.2.利用某些特殊复数的运算结果,可以常常化简复数的运算.3.掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件.4.掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用.5.在复数的运算过程中,要注意复数整体的把握和应用.五、作业：p.267~268课后强化训练.四、小结1.进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化.2.利20谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸21§5.3复数的乘法与除法

§5.3复数的乘法22一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘233:复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即zz=|z|2=|z|2.4:复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即5.共轭复数的乘除性质:6.一些常用的计算结果3:复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个24(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.(2)设,则有:事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.(3)7.例题选讲例1.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式=(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+225例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i2019;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2019i-2019-2019i+2019)=501(2-2i)=1002-1002i.(2)解:原式=(3)解:原式=练习:计算:答案:(1)255-i;(2)1.例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2019i201926例3:已知复数,且z2+az+b=1+i,求实数a,b.解:所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.练习2:已知z=1+i,(1)若,求;(2)若;求a,b的值.答案:(1);(2)a=-1,b=2.例3:已知复数27OABDxyOABCxy例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.解:因为OABC是平行四边形,OABDxyOABCxy例4:如图所示,平行四边形OABC(28例5:已知复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,求z.解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.当a=4时,b=3,z=4+3i,所以z=4-3i;当a=-4时,b=-3,z=-4-3i,所以z=-4+3i.解2:由已知可设(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).则例5:已知复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数,求29例6:若是纯虚数,求z的对应点Z的轨迹.解:设,则z-1=ki(z+1).设z=x+yi(x,y∈R),则消去k,得x2+y2=1且y≠0.所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)例6:若是纯虚数,求z的对应点Z的轨迹.解:30二、重要性质的应用公式zz=|z|2=|z|2在整个复数知识中占有十分重要的地位,它既是共轭复数与复数模的桥梁,又在处理复数为实数或纯虚数时的重要工具.公式的变形:;特别地,当|z|=1时,.复数z为实数的几个充要条件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z2≥0;(4)存在非零实数k,使得|z-ki|=|z+ki|.复数z为纯虚数的几个充要条件:(1)Re(z)=0且Im(z)≠0;(2)z+z=0且z≠0;(3)z2<0;(4)存在非零实数k,使得|z-k|=|z+k|且z≠0.在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.二、重要性质的应用公式zz=|z|2=|z|2在整个复数知31例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1|=|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i|=|(2x2+x)+(2x+1)yi|=|2x+1||x+yi|=|2x+1|.所以,当x=1时,|z2+z+1|最大值=3;当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0.解2:由于zz=|z|2=1,故若设z=x+yi(x,y∈R),则有|z2+z+1|=|z2+z+zz|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解1).例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.解1:设z=32例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)2<0解2:解1:解3:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入条件式并利用模的计算公式可得ac+bd=0.从而可知z1/z2是纯虚数,故(z1/z2)2<0.例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|33例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1<z+8/z<5;(2)z的实部和虚部都是整数.解:(1)故此时无解.(2)例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1<z+8/34练习1:设复数,求证是纯虚数的充要条件是|z|=1.练习2:求复数z,使(1)|z-4|=|z-4i|;(2)是实数同时成立.答案:z=0或-2-2i或3+3i.练习3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.答案:当时,取最小值,当z=-1时,取最大值5.练习1:设复数,求证是35三、实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0时,有两个共轭虚根:此时韦达定理仍然成立,并且注意到两根共轭,从而有几何意义:两根在复平面内的对应点关于x轴对称.如方程x2+x+1=0的两根为三、实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c=036例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.解:例2:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、x2,且|x1-x2|=3,求实数a.解:说明:由于x1、x2是虚根,因此原来在实根时的计算式不再成立.例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+37例3:设关于x的方程x2+4x+m=0(m∈R)的两个复数根为x1、x2,且x1、x2在复平面内对应的点分别为A、B,|AB|=2,求m的值.解:Δ=16-4m.(1)当时,又|AB|=2,故(2)当时,又|AB|=2,故综合(1)、(2)得m=3或5.例3:设关于x的方程x2+4x+