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二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—

待定系数法2.常系数线性非齐次方程（1）型其中，

为实数,猜测特解为其中

为待定多项式,代入原方程,得(1)若

不是特征方程的根,则取从而得到特解的形式为为

m

次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若

是特征方程的单根,为m

次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是

m

次多项式,故特解形式为即即小结对非齐次方程则可设特解:上述结论可推广到高阶方程的情形.当

是特征方程的

k重根时,例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入微分方程得比较系数,得于是所求特解为例2.的通解.

解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入微分方程得所求通解为例3.的通解.

解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入微分方程得所求通解为例4.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦

力,求链条滑下来所需的时间.解:

建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得机动目录上页下页返回结束由初始条件得故此问题的解为解得当

x=20m时,(s)微分方程通解:

思考:若摩擦力为链条1m长的重量,此问题的数学模型是什么?机动目录上页下页返回结束摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为机动目录上页下页返回结束第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将

f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第一步利用欧拉公式将

f(x)变形为第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k

重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程

③的特解.②③设则

②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m

次多项式.小结对非齐次方程则可设特解:其中若为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论可推广到高阶方程的情形.例5.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入微分方程得比较系数,得于是求得一个特解例6.的通解.

解:特征方程为其根为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例7.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程特解的形式:解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．三、欧拉方程作变量变换将自变量换为用表示对自变

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