计算机硬件及网络数值分析教程课件

计算方法计算方法第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研究对象（课程简介）

数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。实际上就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。这门课程又称为(数值)计算方法、数值计算等。1.数值分析的概念第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研3先看两个例子。

例1

求方程x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。

例2

用Cramer法则求解n元线性方程组。显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？3先看两个例子。若记,则有n阶线性代数方程组:克莱姆算法若记,则有n阶线性代数方程组:克莱姆算法

若A是非奇异矩阵，则方程组有唯一解。记D=detA，应用Cramer法则可得即其中若A是非奇异矩阵，则方程组有唯一解。记D=detA[计算机硬件及网络]数值分析教程课件

利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘法和除法的次数为：利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解利用计算机高速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各种复杂的功能。数值分析的本质数值输入复杂问题或运算计算机近似解利用计算机高速的简

科学计算

的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。现代科学的三个组成部分:

科学理论,科学实验,科学计算2.数值分析的地位促使一些边缘学科的相继出现：计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（M实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明

在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。

实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序编程上机计算分析结果总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：

(1)数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；

(2)面向计算机，要根据计算机的特点提供实际可行的有效算法；(3)有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性；3.数值分析的特点(4)要有好的算法复杂性，即时间复杂度和空间复杂度要小；(5)要有数值试验。总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：(1)数值分析二、数值分析的研究内容◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的数值解法(Ch5,Ch6)◆非线性方程组的数值解法(Ch7)◆数值积分与数值微分(Ch4)◆常微分方程的数值解法(Ch9)◆函数逼近(Ch3)◆代数特征值问题(Ch8)二、数值分析的研究内容◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的

理论上课时数：30上机实验时数：0

参考书：

1.《计算方法（c语言版）》（第1版），靳天飞等，清华大学出版社，2010.6

教材：

1.《数值分析》（第5版），李庆扬等，清华大学出版社，2008.12理论上课时数：30上机实验时数：0参考书实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2数值计算的误差2.1误差的来源与分类

用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：

数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。

实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2现实世界研究对象观测数据数学模型的建立计算方法的构成数值运算的执行观测误差模型误差截断误差舍入误差

结果现实世界研究观测数学模型的建立计

模型误差

/*ModelingError*/

——从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差

观测误差

/*MeasurementError*/——通过测量得到模型中参数的值导致输入数据的误差

方法误差(截断误差

/*TruncationError*/)——近似求解时产生的误差

舍入误差

/*RoundoffError*/

——由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差模型误差/*ModelingError*/观测大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

/*Remainder*/取则称为截断误差

/*TruncationError*/|

舍入误差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：将作Tayl

设是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称误差.2.2误差与有效数字定义2.1绝对误差、相对误差定义2.2绝对误差界、相对误差界若，则称为绝对误差界，简称误差界称为相对误差界,记为.

称为的相对误差,常用表示.设是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称定义2.3有效数字

/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）.若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。例：问：有几位有效数字？请证明你的结论.证明：有5位有效数字，精确到小数点后第4位。注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字.

数字末尾的0不可随意省去！定义2.3有效数字/*significantd例:

设

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

问它们分别有几位有效数字?3位5位4位例:设3位定理2.1有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。定理2.1有效数字与相对误差的关系有效数字相解：例有效数字解：例有效数字2.3

求函数值和算术运算的误差估计初始数据引起计算函数值的误差函数值A*的绝对误差略去高阶项：2.3求函数值和算术运算的误差估计初始数据函数值A*的绝[计算机硬件及网络]数值分析教程课件基本运算中的误差估计基本运算中的误差估计例假定某长方形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=100.30米，宽y*=80.50米，若x*和y*的误差限都是0.005米，试求其面积s的近似值s*的误差限和相对误差限。由两个数的积的相对误差限估计式得解据题意，由两个数的积的误差限估计式得

例假定某长方形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=

例在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r时允许的相对误差限为多少？从而有

解计算球的体积公式为设体积的近似值为，半径的近似值为，则

得到相对误差限估计式为

这说明，测量半径r时允许的相对误差限为1/300。例在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r§3

病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？3.1病态问题与条件数条件数

/*conditionnumber*/条件数很大时，初始数据的微小误差可能引起结果A的很大误差.§3病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题：对于y=

对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起例：计算

公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!3.2

数值方法的稳定性例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差???考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增。可见初始的小扰动

公式注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。定义：一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。考察反推一步的误差：以此类推，对n<N有：误差逐步递1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2。避免两个相近的数相减;3.要防止大数“吃掉”小数;2。应选用数值稳定性的计算方法;2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。避免误差危害的若干原则

3.3避免误差危害的若干原则1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2避免两个相近的数相减

当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应当多保留几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生。由前面公式可知可以看到，如果两个相近的数相减，则而相对误差限就会比较大，故有效数字位会大大减少。较小，避免两个相近的数相减当遇到两个相近的数相减时，参与运例给定若使用计算机计算有，应如何变换公式使有效数字位增加？，若使用计算器取四位有效数字计算解使用计算器计算取四位有效数字得从而得到但由于而使用计算器取四位有效数字得所以有

这说明变换公式后能使有效数字位由1位增加到3位。例给定若使用计算机计算有，应如何变换公式使有效数字位增加？

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：取右端的有限项近似代替左端。几种经验性避免方法：当|x|<<1时：取右端要防止小数被大数“吃掉”而使有效数字位损失例求一元二次方程

在数值运算中，如果两个参与运算的数相差太大，则小数有可能被大数“吃掉”而使有效数字位损失，从而影响计算结果的可靠性。的根。远远大于解求一元二次方程的根可以使用公式有可能可能损失有效数字位，使计算结果出现错误。要防止小数被大数“吃掉”而使有效数字位损失例求一元二次方程按新的求根公式计算得到方程两个准确根为

例如，在只有7位有效数字的计算机系统上使用求根公式解方程得到的两个根为要避免这种错误的发生，可以修改求根公式为，按新的求根公式计算得到方程两个准确根为例如，在只有7要注意减少运算的次数

对于一个计算问题，如果能减少运算次数的话，我们不仅能减少计算时间，提高运行的速度，而且还可以减少误差的积累。如果把原式子改写为解按公式直接计算每一项后，再把每一项求和，就要进行则计算n次多项式的算法可以是按秦九韶算法计算n次多项式的值，只需要n次乘法和n次加法。的值。例计算n次多项式次乘法和n次加法。要注意减少运算的次数对于一个计算问题，如果能减少运

例计算ln2的近似值，要求误差小于10⁻⁷.

解：①计算量太大②各项的舍入误差会损失和的有效数字

(b)用级数计算用前9项（即取m=8）计算就能达到精度要求:(a)用级数计算例计算ln2的近似值，要求误差小于10⁻⁷.

分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.避免做除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的避利用等价变换使下列表达式计算比较精确.例利用等价变换使下列表达式计算比较精确.例答案答案[计算机硬件及网络]数值分析教程课件误差的种类模型误差：观测误差截断误差舍入误差

绝对误差

相对误差误差的表示法内容回顾误差的种类模型误差：观测误差截断误差舍入误差绝对误差相对算法设计遵循的条件：（5）绝对值太小的数不宜作为除数。（1）应选用数值稳定性的计算方法；（2）简化计算步骤和公式，设法减少运算次数；（3）合理安排运算顺序，防止大数淹没小数；（4）避免两相近数相减；算法设计遵循的条件：（5）绝对值太小的数不宜作为除数。（1计算方法计算方法第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研究对象（课程简介）

数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。实际上就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。这门课程又称为(数值)计算方法、数值计算等。1.数值分析的概念第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研50先看两个例子。

例1

求方程x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。

例2

用Cramer法则求解n元线性方程组。显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？3先看两个例子。若记,则有n阶线性代数方程组:克莱姆算法若记,则有n阶线性代数方程组:克莱姆算法

若A是非奇异矩阵，则方程组有唯一解。记D=detA，应用Cramer法则可得即其中若A是非奇异矩阵，则方程组有唯一解。记D=detA[计算机硬件及网络]数值分析教程课件

利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘法和除法的次数为：利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解利用计算机高速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各种复杂的功能。数值分析的本质数值输入复杂问题或运算计算机近似解利用计算机高速的简

科学计算

的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。现代科学的三个组成部分:

科学理论,科学实验,科学计算2.数值分析的地位促使一些边缘学科的相继出现：计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（M实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明

在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。

实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序编程上机计算分析结果总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：

(1)数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；

(2)面向计算机，要根据计算机的特点提供实际可行的有效算法；(3)有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性；3.数值分析的特点(4)要有好的算法复杂性，即时间复杂度和空间复杂度要小；(5)要有数值试验。总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：(1)数值分析二、数值分析的研究内容◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的数值解法(Ch5,Ch6)◆非线性方程组的数值解法(Ch7)◆数值积分与数值微分(Ch4)◆常微分方程的数值解法(Ch9)◆函数逼近(Ch3)◆代数特征值问题(Ch8)二、数值分析的研究内容◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的

理论上课时数：30上机实验时数：0

参考书：

1.《计算方法（c语言版）》（第1版），靳天飞等，清华大学出版社，2010.6

教材：

1.《数值分析》（第5版），李庆扬等，清华大学出版社，2008.12理论上课时数：30上机实验时数：0参考书实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2数值计算的误差2.1误差的来源与分类

用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：

数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。

实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2现实世界研究对象观测数据数学模型的建立计算方法的构成数值运算的执行观测误差模型误差截断误差舍入误差

结果现实世界研究观测数学模型的建立计

模型误差

/*ModelingError*/

——从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差

观测误差

/*MeasurementError*/——通过测量得到模型中参数的值导致输入数据的误差

方法误差(截断误差

/*TruncationError*/)——近似求解时产生的误差

舍入误差

/*RoundoffError*/

——由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差模型误差/*ModelingError*/观测大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

/*Remainder*/取则称为截断误差

/*TruncationError*/|

舍入误差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：将作Tayl

设是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称误差.2.2误差与有效数字定义2.1绝对误差、相对误差定义2.2绝对误差界、相对误差界若，则称为绝对误差界，简称误差界称为相对误差界,记为.

称为的相对误差,常用表示.设是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称定义2.3有效数字

/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）.若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。例：问：有几位有效数字？请证明你的结论.证明：有5位有效数字，精确到小数点后第4位。注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字.

数字末尾的0不可随意省去！定义2.3有效数字/*significantd例:

设

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

问它们分别有几位有效数字?3位5位4位例:设3位定理2.1有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。定理2.1有效数字与相对误差的关系有效数字相解：例有效数字解：例有效数字2.3

求函数值和算术运算的误差估计初始数据引起计算函数值的误差函数值A*的绝对误差略去高阶项：2.3求函数值和算术运算的误差估计初始数据函数值A*的绝[计算机硬件及网络]数值分析教程课件基本运算中的误差估计基本运算中的误差估计例假定某长方形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=100.30米，宽y*=80.50米，若x*和y*的误差限都是0.005米，试求其面积s的近似值s*的误差限和相对误差限。由两个数的积的相对误差限估计式得解据题意，由两个数的积的误差限估计式得

例假定某长方形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=

例在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r时允许的相对误差限为多少？从而有

解计算球的体积公式为设体积的近似值为，半径的近似值为，则

得到相对误差限估计式为

这说明，测量半径r时允许的相对误差限为1/300。例在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r§3

病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？3.1病态问题与条件数条件数

/*conditionnumber*/条件数很大时，初始数据的微小误差可能引起结果A的很大误差.§3病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题：对于y=

对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起例：计算

公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!3.2

数值方法的稳定性例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差???考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增。可见初始的小扰动

公式注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。定义：一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。考察反推一步的误差：以此类推，对n<N有：误差逐步递1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2。避免两个相近的数相减;3.要防止大数“吃掉”小数;2。应选用数值稳定性的计算方法;2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。避免误差危害的若干原则

3.3避免误差危害的若干原则1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2避免两个相近的数相减

当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应当多保留几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生。由前面公式可知可以看到，如果两个相近的数相减，则而相对误差限就会比较大，故有效数字位会大大减少。较小，避免两个相近的数相减当遇到两个相近的数相减时，参与运例给定若使用计算机计算有，应如何变换公式使有效数字位增加？，若使用计算器取四位有效数字计算解使用计算器计算取四位有效数字得从而得到但由于而使用计算器取四位有效数字得所以有

这说明变换公式后能使有效数字位由1位增加到3位。例给定若使用计算机计算有，应如何变换公式使