理论物理导论-第一章1课件

第一章拉格朗日方程

与哈密顿方程分析力学初步1低速宏观运动的基本原理，除了牛顿三定律表述外，还有拉格朗日表述方式和哈密顿表述方式。这些表述方式实质内容相同，只是表达形式有差别。拉氏表述和哈氏对客观规律的本质反映得更清楚，而且便于推广到高速和微观情况。约束力学系统(力学系，力学体系，体系)：n个相互作用的质点构成一个力学系统位形：力学系的位置状态，n个质点需要

3n个坐标参量(x1,y1,z1),…,(xn,yn,zn)来确定，或写为

xi

(i=1,…,3n)§1-1自由度约束与广义坐标约束：限制质点自由运动的条件例：Oxy平面的曲柄连杆的约束2约束方程设质点组各质点的位置是，速度是有

k个约束对于一个具有

n个质点的体系，如果存在

k个约束(方程)，那么在确定体系位形变化的

3n个坐标参量中，只有

3n-

k

=

s个参量可以独立变化例：水分子体系的位形？无约束——水蒸气，有约束——冰3微分约束(不完整约束，运动约束)：约束方程中含有时间的一次微分变量(如速度)，并且不可解为坐标之间的关系例：大环和小盘例：沿直线轨道作纯滚动的车轮约束方程的一般形式

存在不完整约束的力学系称为不完整系.5稳定约束，不稳定约束稳定约束：约束方程中不会明显地含有时间变量

t

例：一个质点被约束在一个固定不动的球面上运动约束方程的一般形式不稳定约束：约束方程中明显地含有时间变量t

例：一个质点被约束在一个不断变化的球面上运动约束方程的一般形式6可解约束，不可解约束不可解约束：约束始终不能解除

例：一个质点连结刚性的杆子

质点到连结点的距离只能是杆长，即始终不能脱离约束可解约束：约束在某范围内可以被解除

例：一个质点连结在不可伸长的软绳上质点到连结点的距离不能大于绳长，但可接近连结点，即不大于

r的范围内脱离了约束以后仅限于讨论完整、稳定的约束7自由度能完全描述一个力学系的运动所需要的、独立参量变更数目，称为力学体系的自由度对于一个具有

n个质点的体系，如果存在

k个约束方程，那么体系的自由度是

s=

3n-

k如果

k个约束方程都是几何约束，那么独立坐标参量的数目等于体系的自由度如果约束方程中存在微分约束，那么独立坐标参量的数目大于体系的自由度为什么？k个约束方程不能完全确定

k个参量8例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作广义坐标；再例如，用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。103拉格朗日运动方程在以上的基本概念理解的基础上，我们来从牛顿运动定律出发，导出用广义坐标表示的完整保守系的动力学方程，也就是完整保守系的拉格朗日运动方程（这里只介绍最理想的情况），由于应用较多，以后直接称为拉格朗日运动方程。12具有保守性质的力场，一定可以引入一个位置函数U（x,y,z)，而此力所做之功为：按照功与途径无关的性质，dU应该为一全微分比较两式，得到14设有由N个质点构成的质点系，其第i个质点的三个直角坐标为xi,yi,zi，质量为则N个质点的牛顿运动方程为：，，，（1-1）（i=1，2，…,N）式中，代表第i个质点的加速度在三个方向上的分量，则代表作用于该质点的力的三个分量，对于每一个质点都有类似的方程，所以含有N个质点的该力学系统应有3N个这样的方程来描述运动。15定义用直角坐标表示的质点系的动能T为：

（1-2）同时，如果我们讨论的是所谓“保守力系”，则可以引入一个势函数，而有：

（1-3）16由（1-2）式可得：由此得到：而，由（1-1）式，正等于，于是：再结合（1-3）式，17得到：（1-4）

同样可以写出其余两个分量的式子：

（1-4）引入拉格朗日函数（以后简称拉氏函数），定义为：（1-5）18拉格朗日运动方程可以证明，用广义坐标表示的一般形式的拉氏方程与（1-6）式形式一样，只是把换成，如下式所示：（1-7）（1-7）式即是描述具有s个自由度的系统的拉氏方程。20（1-7）式适用于完整理想约束，且主动力为保守力的系统。其中L为拉格朗日函数，等于力学系的动能与势能之差，是表征力学系特征的一个重要标量函数。用一个标量函数（代替矢量函数）就可以完全表征出力学系的全部特征，就是拉格朗日表述比牛顿表述的优点之一。**书中p26-29有另外一种推导过程，可以参看。21⑤拉氏方程具有普适性．由于采用能量及广义坐标，拉氏方程的适用范围远超出力学本身．④拉氏方程在处理有约束的体系时，避免了求约束力的麻烦．23＊拉氏方程解题参考步骤：(1)确定所讨论的系统，分析是否保守系．(2)确定系统的自由度，选好广义坐标(选取适当的坐标系)(3)写出动能T(广义坐标，广义速度的函数)，势能U(广义坐标的函数)(4)求拉格朗日函数L=T-U(5)将L代入拉氏方程(s个自由度有s个拉氏方程)(6)根据题意求解微分方程组．24例2：小环在一绕垂直轴转动直杆上的滑动。一小环m套在一光滑直杆上，直杆本身以匀角速度绕垂直轴转动，除约束力外小环不再受其他外力。求小环在直杆上的运动情况.解：选环距转轴的距离r为广义坐标，则变换方程显含时间t，动能T为26由于小环不受主动力，U=0，L=T，带入拉氏方程得到：或者结果说明小环将沿直杆向外做加速运动27例3：如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子的质量可忽略不计。分析：理想约束，利用拉格朗日方程组求解关键是找出广义坐标，滑轮及绳质量不计。因三个重物在同一平面作一维运动需3个参量描述，两个绳长固定。只需2个独立坐标q1，q228不计滑轮和绳了的质量，那么体系的动能为：体系的势能为：30体系的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程组有：化简为：31解得：所以各重物的加速度为：32分析力学静力学：根据虚功原理，列平衡方程方程数目=系统的自由度基于主动力之间的关系，避免约束力/约束关系动力学：达朗贝尔-拉格朗日方程虚功原理+达朗贝尔原理是求解复杂系统的动力学问题的普遍方法可独立于牛顿力学，从变分极值的基本原理得到33作用在质点上的力在dt时间内，在实位移上做的功实功设质点受到主动力和约束力，发生了位移虚功作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做的功虚功原理34理想约束所作的虚功之和为零力学体系下，诸约束力在任意虚位移中，的约束如光滑面,光滑曲线,光滑铰链等,但如刚性杆、不可伸长的绳等35虚功原理（虚位移原理）n个质点的力学体系，每个质点都处于平衡状态，对力学体系有：理想约束条件下，有：虚功原理则：36虚功原理与平衡态下牛顿第二定律虚功原理是考虑了理想约束条件下的结果牛二定律是去约束，用约束力替换约束条件,当作自由质点力系平衡时的虚功力系平衡时的方程是等价的37达朗贝尔原理(D'Alembert'sprinciple

)n个质点的力学体系，每一质点都有：移项得：因具有力的量纲，视为力，并称为惯性力则可化“动”为“静”，运用虚功原理：达朗贝尔原理达朗贝尔原理38若力学体系受到的是理想约束可得到理想约束下的达朗贝尔-拉格朗日方程：达朗贝尔-拉格朗日方程是虚功原理的推广达朗贝尔-拉格朗日方程是考虑了理想约束条件下的结果达朗贝尔-拉格朗日方程和牛二定律是等价的牛顿第二定律是用约束力代替了约束条件，视为自由质点39虚功原理解题步骤1、确定研究的力学体系2、判断是否是理想约束3、受力分析a、若求的是主动力或平衡位置，只需找找出主动力b、若求的是约束力，在找出主动力后，需要去掉要求约束力的约束，代之以主动力4、分析约束，确定拉格朗日广义坐标和虚位移建立静系，变分得虚位移或由约束几何关系直接得5、代入虚功原理求解40两长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2的匀质杆OA和AB，位于同一铅直平面内，并在A点光滑铰链。OA的另一端则固定在O点。杆AB的端点B受一水平力F的作用，如图所示。求平衡时两杆的位置分析：由于是光滑铰链理想约束，满足虚功原理，体系受到，重力和水平力F，可以认为重力作用在C点和D点，F作用于B点。C、D、B三点需9个坐标参量，但因有7个约束，故只需要2个独立坐标参量描述，用θ和表示7个约束是定点O和铰链A，杆OA和AB定长，CDB在同一面内典型例题141解：体系受力分析和坐标系建立如图因约束是理想约束，满足虚功原理。由图中的几何关系可知：等时变分42代入得：因为δθ和δ相互独立，故有：解得：43四根长度都为l的轻杆，光滑铰链而成ABCD菱形，B、D间用一轻绳联结；框架支于同一水平的两个光滑钉子上并在C点挂一重为P的重物，如图所示，已知两钉子间距2d，利用虚功原理求绳中的张力分析：因为虚功原理表达式只涉及主动力所以不能把绳中的张力看作约束力设想去掉绳的约束，代之以相同的主动力作用于B、D两点.四根杆都为轻杆，绳为轻绳，重力都可忽略典型例题244解：受力分析和建立如图所示的直角坐标系(静系要求)等时变分有：代入虚功原理表达式化简得：解得：45例2（典型例题选讲）图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重物重量P。试用拉格朗日方程求滚子质心加速度。系统为1个自由度保守系统，故用保守系统拉格朗日方程求解：分析：选广义坐标s，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L=T－V

），由上式可写1个方程，其中所含待求量即为所求。PQQvavCaCssCOAB此时，k=1。46拉格朗日方程：其中则即则拉格朗日函数：解：设重物从静止上升s，选s为广义坐标。在任意位置时系统动能：设系统起始位置为0势能位置，系统势能为：PQQvavCaCssCOAB47例3（2自由度系统，较难）已知：均质圆柱质量为M，半径r，纯滚动；摆长l，不计质量；小球视为集中质量，质量m。试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。分析：为2自由度保守系统。用拉氏方程求解：研究整个系统，选滚子转角（注：为方便，设为如图方向）、摆转角为广义坐标。为写系统任意位置时