随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声

随机过程随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第1页!各态历经性所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）就可以估计其统计量，也称遍历性令x(t)为X(t)的一个样本函数，其时间平均值样本函数的时间平均自相关函数为随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第2页!对于平稳随机信号X(t)，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(t)为各态历经信号基本含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第3页!随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第4页!功率谱密度函数对于任意信号x(t)，定义信号的能量和功率：帕萨伐尔定理：上述过程即为帕萨伐尔定理或瑞利能量定理，即：在频域和时域上对同一信号所求的能量相等则：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第5页!将式代入上式整理：由平稳随机过程可知随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第6页!功率谱密度函数的物理意义：1.从统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况；2.在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用傅立叶变换分析随机信号性质：1.是非负的；2.是实的；3.是偶函数随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第7页!再例如：设平稳过程X(t)的相关函数为，求其功率谱密度随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第8页!从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果

看成是输入为f(t)的线性时不变系统的输出希尔伯特变换等效系统随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第9页!希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所有频率成分都相移π/2，而幅度保持不变。具有这种特性的电路称为希尔伯特滤波器随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第10页!解析信号定义：令有实信号f(t)，则称复信号：为f(t)的解析信号（或预包络）解析信号的性质：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第11页!根据，可以得出：例如：已知求和它的解析信号对于积分困难的变换，可以通过计算频域函数的方法来迂回求解查表可得：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第12页!1.余弦函数的希氏变换为正弦函数；2.低通信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数与正弦函数的乘积。结论：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第13页!平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第14页!随机过程Y(t)的自相关函数可以看出Y(t)的自相关函数与t无关随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第15页!Y(t)的功率谱密度令随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第16页!高斯白噪声令n(t)为高斯随机过程，若其功率谱密度则称n(t)为高斯白噪声其数学期望为0其自相关函数为：n维概率密度满足n维正态分布的随机过程；高斯过程的款平稳与严平稳一致随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第17页!十一、窄带平稳随机过程定义：令X(t)为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示若，则称X(t)为窄带平稳随机过程随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第18页!信号间的三种关系：1.独立。若：2.不相关。若：3.正交。若：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第19页!两边取期望：则定义：为随机过程X(t)的平均功率谱密度函数随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第20页!令当时，趋近于1，可由上式可得到：由傅立叶变换公式可知随机过程X(t)的自相关函数和功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，描述了随机过程X(t)的时域与频域统计规律之间的关系，此为维纳辛钦定理随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第21页!例如：已知，其中为常数，为均匀分布的随机变量，概率密度如下，求根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第22页!希尔伯特变换定义：令f(t)为实函数，则称为f(t)的希尔伯特变换，记为：称为g(t)的希尔伯特反变换，记为：对于希尔伯特变换又可记为卷积形式：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第23页!频域变换上图中LTI系统的冲激响应的傅里叶变换即为系统的传递函数其中为符号函数，即：则系统函数为：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第24页!希尔伯特变换的性质

若f(t)为偶函数，则为奇函数；反之亦然，即f(t)与相互正交随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第25页!令，则有

解析信号的能量等于实信号能量的两倍令和为解析信号，则有：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第26页!例解：仍利用频域函数来求解。由频域搬移性可知：于是这不是一个常用的函数，所以无法通过查表而只能来做它的付氏反变换。随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第27页!随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第28页!随机过程Y(t)的均值（统计平均）可以看出随机过程Y(t)的均值与t无关随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第29页!X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度由维纳辛钦定理可知：随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第30页!对于希尔伯特变换与X(t)的互相关函数随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第31页!性质：1.若，其中为确定信号，则X为高斯随机变量，数字期望为0，方差等于：2.若，；其中，

为确定信号，则：若与在（0~T）时间间隔内正交，即:则：与统计独立随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声共33页，您现在浏览的是第32页!窄带随机过程的表达式窄带随机过程可以用下式表示其中:称作