机床数控技术及应用-运动轨迹的插补原理

3.6运动轨迹的插补原理3.6.1运动轨迹的插补概念在数控机床中，刀具的最小移动单位是一个脉冲当量，而刀具的运动轨迹为折线，并不是光滑的曲线。刀具不能严格地沿着所加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所加工的曲线。在数控加工中，根据给定的信息进行某种预定的数学计算，不断向各个坐标轴发出相互协调的进给脉冲或数据，使被控机械部件按指定路线移动（即产生2个坐标轴以上的配合运动），这就是插补。换言之，插补就是沿着规定的轮廓，在轮廓的起点和终点之间按一定算法进行数据点的密化，给出相应轴的位移量或用脉冲把起点和终点间的空白填补。一般数控机床都具备直线和圆弧插补功能。13.6.1运动轨迹的插补概念1.直线插补概念：按照规定的直线给出两端点的插补数字信息，以控制刀具的运动，使之加工出理想的平面。如下图所示，要加工图中的OA直线，可有几种方法来逼近OA。其中第1和第2条折线误差最大，而第3条折线与OA的比较误差最小，故希望按第3条折线去逼近OA。刀具在加工过程中所移动的轨迹，必须符合图样上零件形状和尺寸的要求。但穿孔带所输入的数据只能是某一段轨迹的起点和终点的坐标值，如图中的OA线段，只能输入G01，X××、Y××【即A点的坐标值（X,Y）】。那么，数控装置的运算器就要进行插补运算，在OA线段上进行数据点的密化工作，把O点与A点之间的空白补全，使实际轨迹逼近OA直线段，并使误差小于一个脉冲当量。23.6.1运动轨迹的插补概念2.曲线插补概念：按照规定的圆弧或其他二次曲线、高次函数，给出两端点间的插补信息，以控制刀具的运动，使之加工出理想的曲面，称为圆弧插补、二次曲线插补（如抛物线插补）或高次函数插补（如螺旋线插补）等。如下图所示，如要在铣床上加工曲线轮廓A0B0，就必须使铣刀中心相对工件按一定的曲线轨迹AB移动，即必须使铣刀的X向和Y向之间在每一瞬间都要严格地保持一定的内在联系。把轨迹AB分成许多小段弧AA1、A1A2、A2B，并分别用直线段来代替。33.6.1运动轨迹的插补概念3.NC与CNC插补有时插补功能由硬件电路来完成，则完成插补计算的计算装置（或硬件电路）称为插补器。有专门插补器的数控系统称为硬件数控（NC）系统。如果插补功能由计算机软件（程序）来完成，则称为软件数控（CNC）系统。现代数控机床都采用配备了CNC系统的软件数控系统。无论硬件系统还是软件系统，其插补的运算原理都基本相同，但也有各自不同的特点。CNC系统与NC系统的根本区别在与CNC系统采用了软件插补，可以更好地进行数学处理。如在指令系统和必要的算术子程序的支持下，系统既可对输入的命令与数据进行预处理，使之成为对插补运算最直接和最方便的形式，又能方便地采用一些需要较多算术运算的方法，如多种二次曲线、高次曲线的插补法等。还可以对两种可能的进给方向进行误差试算，选择误差较小的方向进给，以提高插补精度。这些都需要较多的运算步骤，若用硬件来实现将使费用明显增加。此外，软件插补容易进行机能的扩展，也利于调试。43.6.2运动轨迹插补的方法1.脉冲增量法（标准脉冲插补referencepulse）——行程标量插补

把每次插补运算产生的指令脉冲输出到步进电机等伺服机构，并且每次产生一个单位的行程增量，这就是脉冲增量差补。如逐点比较法、DDA法及一些相应的改进算法等都属此类。这类插补法比较简单，有时仅需几次加法和移位操作就可完成，用硬件和软件模拟都可实现。但用软件实现此类插补时，输出脉冲的最大速率受限于插补程序的执行时间，即最高速度取决于执行一次运算所需要的时间。53.6.2运动轨迹插补的方法2.数据采样法（sampleddata）——时间标量插补这种方法中，整个控制系统通过计算机行成闭环，输出的不是单个脉冲，而是数据，即标准二进制。数据采样插补算法中较常见的有时间分割法插补，也就是根据编程进给速度将零件轮廓曲线按插补周期分割为一系列微小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，用以控制伺服系统实现坐标轴的进给。在数据采样系统中，计算机定时对反馈回路采样，在和插补程序所产生的指令数据进行比较后，作为误差信号（即跟随误差）算出适当的坐标轴进给速度指令，输出给驱动装置。再通过电动机带动丝杠螺母副，使工作台朝着减小误差的方向运动，以保证整个系统的加工精度。这类插补算法适用于以直流或交流伺服电动机作为执行元件的闭环或半闭环数控系统。63.6.2运动轨迹插补的方法3.软件/硬件相配合的两极插补法

为得到CNC系统所需要的响应速度和分辨率，也为减轻计算机插补时间的负担，可将插补任务由计算机软件和附加的插补器硬件共同承担。软件完成粗插补，把工作轮廓按10~20ms的周期插补成若干大段。硬件插补其完成精插补，即对粗插补输出的微小直线段进行细插补，行成输出脉冲，完成数据段的加工。这种方法的优点是可降低对计算机速度的要求，并腾出更多存储空间用于存储零件程序，可以大大缓和实时插补与多任务之间的矛盾。73.6.3逐点比较法1.逐点比较法的原理

以区域判别为特征，每走一步都要将加工点的瞬时坐标与规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定下一组的走向。如果加工点走到图形外面，那么下一步就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，则下一步就要向图形外面走，以缩小偏差。每次只进行一个坐标轴的插补进给。通过这种方法能得到一个接近规定图形的轨迹，而最大偏差不超过一个脉冲当量。在逐点比较法中，每进给一步都要4个节拍，如下图所示。83.6.3逐点比较法（1）偏差判别判别偏差符号，确定加工点是在规定图形的外面还是里面。（2）坐标给进根据偏差情况，控制X坐标或Y坐标进给一步，使加工点向规定图形靠拢，缩小偏差。（3）新偏差计算进给一步后，计算加工点与规定图形的新偏差，作为下一步偏差判别的依据（4）终点判别根据这一步的进给结果，判定（比较）终点是否到达。如未到达终点，继续插补工作循环，如果已到终点就停止插补。93.6.3逐点比较法2.逐点比较法I象限直线插补（1）基本原理偏差函数的判别如图所示，OE为Ⅰ象限直线，起点O为坐标原点，终点E的坐标为E（Xe,Ye）,还有一个动点为N（Xi,Yi）。现假设动点N正好处于直线OE上，则有下式成立：假设动点处于OE的下方N‘处，则直线ON’的斜率小于直线OE的斜率，从而有103.6.3逐逐点点比较较法由上式式可以以看出出，的的符号号反映映了动动点N与直直线OE之之间的的偏离离情况况。为为此取取偏差差函数数为依此可可总结结出动动点与与设定定直线线之间间的相相对位位置关关系如如下：：F=0时，，动点点N正正好处处在直直线OE上上F〉0时，，动点点N正正好处处在直直线OE上上方区区域F〈0时，，动点点N正正好处处在直直线OE下下方区区域113.6.3逐逐点点比较较法坐标给给进如图，，设OE为为要要加工工的直直线轮轮廓，，而动动点N对应应于切切削刀刀具的的位置置，终终点E坐标标为（（4，，6）），起起点为为O。。显然然，当当刀具具处于于直线线下方方区域域时，，为了了要更更靠拢拢直线线轮廓廓，则则要求求刀具具向+Y方方向进进给一一步；；当刀刀具处处于直直线下下方区区域时时，为为了要要更靠靠拢直直线轮轮廓，，则要要求刀刀具向向+X方向向进给给一步步；当当刀具具正好好处于于直线线上时时，理理论上上既可可向+X方方向进进给一一步，，也可可向+Y方方向进进给一一步，，但一一般情情况下下约定定向+X方方向进进给。。根据据上述述原则则，从从原点点开始始走一一步，，计算算并判判别F的符符号，，再趋趋向直直线进进给，，步步步前进进，直直至终终点E。123.6.3逐逐点点比较较法新偏差差计算算为了简简化计计算，，通常常采用用递推推法，，即每每进给给一步步后新新加工工点的的加工工偏差差值通通过前前一点点的偏偏差递递推算算出。。133.6.3逐逐点点比较较法终点判判别由于插插补误误差的的影响响，刀刀具的的运动动轨迹迹可能能不通通过被被加工工直线线的终终点E。因因此，，不能能用以以上条条件来来判断断直线线是否否加工工完毕毕。通通常根根据刀刀具沿沿X、、Y轴轴所走走的总总步数数判断断终点点。从直线线的起起点O移动动到终终点E，刀刀具沿沿X轴轴应走走的步步数为为Xe,沿Y轴应应走的的步数数为Ye，沿X,Y两坐坐标轴轴应走走的总总步数数为N=Xe+Ye刀具运运动到到点P时，，沿X，Y轴已已经走走过的的步数数n为为N=Xi+Yi通常根根据刀刀具沿沿X、、Y轴轴所走走的总总步数数判断断终点点。若若n与与N相相等，，说明明直线线已加加工完完毕，，插补补过程程应该该结束束。143.6.3逐逐点点比较较法（2））软件件插补补程序序右图是是逐点点比较较法直直线插插补的的程序序框图图。插插补前前刀具具位于于直线线的起起点，，这时时偏差差值为为零。。因为为还没没有进进行插插补循循环，，因此此插补补循环环数也也为零零。在每一一个插插补循循环的的开始始，插插补器器先在在原地地等待待。只只要插插补时时钟没没有脉脉冲发发出，，就一一直处处于等等待状状态。。当插插补时时钟发发出脉脉冲后后，插插补器器就跳跳出等等待状状态，，往下下运行行。这这样插插补时时钟每每发出出一个个脉冲冲，就就进行行一个个插补补循环环，从从而用用插补补时钟钟控制制了插插补速速度，，也控控制了了刀具具的进进给速速度。。接着进进行插插补判判别。。最后后进行行终点点判别别。153.6.3逐点点比较法例3.6.1163.6.3逐点点比较法173.6.3逐点点比较法脉冲个数为为0时，程程序刚开始始运行，正正处于原地地等待状态态，偏差函函数的值F0为零，插补补循环数i为零。脉冲个数为为1时，程程序跳出等等待状态，，进行偏差差判别。由由于偏差函函数的当前前值F0为零，刀具具的进给方方向应该是是X轴的正正向，刀具具的运动轨轨迹如图3.6.7中的折线线段所示。。刀具沿X轴走一步步后，偏差差值变为－－5。第一一个插补循循环结束前前插补循环环数i应增增加到1。。由于它小小于N，说说明直线还还没有加工工完毕，应应进行下一一个插补循循环。脉冲个数为为2时，偏偏差函数的的当前值F1为－5，小小于零，刀刀具应沿Y轴正向走走一步，其其运动轨迹迹如图3.6.7中中折线段②②所示。刀刀具进给后后偏差值F2变为5。插插补循环数数i增加到到2，仍小小于N，应应继续进行行插补。插补工作一一直如此往往下进行，，直到插补补时钟发出出第15个个脉冲。这这时插补循循环数也为为15，与与N相等，，说明直线线已加工完完毕，插补补过程结束束。183.6.3逐点点比较法3.逐点比比较法I象象限逆圆插插补（1）基本本原理偏差判别在在圆弧加工工过程钟，，要描述刀刀具位置与与被加工圆圆弧之间的的相对关系系，可用动动点到圆心心的距离大大小来反映映。刀具在动点点N（Xi,Yi）处，圆心心为O（0，0），，半径为R。通过比比较动点N到圆弧半半径R之间间的大小，，就可反映映出动点与与圆弧之间间的相对位位置关系。。193.6.3逐点点比较法当动点N（Xi,Yi）正好落在在圆弧上时时，则有下下式成立Xi2+Yi2＝Xe2+Ye2=R2当动点N（Xi,Yi）落在圆弧弧外侧时，，则有下式式成立Xi2+Yi2﹥Xe2+Ye2=R2当动点N（Xi,Yi）落在圆弧弧内侧时，，则有下式式成立Xi2+Yi2﹤Xe2+Ye2=R2为此，可取取圆弧插补补时的偏差差函数表达达式为Fi=Xi2+Yi2－R2从图中可以以看出，当当动点处于于圆外时，，为了减小小加工误差差，应向圆圆内进给，，即向－X轴方向走走一步。当当动点落在在圆弧内部部时，为了了缩小加工工误差，则则应向圆外外进给，即即向+Y轴轴方向走一一步。当动动点落在圆圆弧上时，，为了使加加工进给继继续下去，，+Y和－－X两个方方向均可以以进给，但但一般情况况下约定向向－X轴方方向进给。。203.6.3逐点点比较法坐标给进F〉0时，，动点N正正好处在圆圆外，向（（-X）轴轴进一步；；F=0时，，动点N正正好处在圆圆上，向（（-X）轴轴进一步；；F〈0时，，动点N正正好处在圆圆内，向（（+Y）轴轴进一步；；213.6.3逐点点比较法新偏差计算算223.6.3逐点点比较法终点判别233.6.3逐点点比较法（2）软件件插补程序序右图为逐点点比较法第第一象限逆逆圆插补的的软件流程程图。图中中i是插补补循环数，，Fi是第i个插插补循环时时的偏差函函数i值，，（Xi,Yi）是刀具动动点的坐标标，N是加加工完圆弧弧时刀具沿沿X,Y两两坐标轴应应走的总步步数。程序初始化化后进入原原地等待，，插补时钟钟发出一个个脉冲，使使程序跳出出等待状态态，开始插插补循环。。先进行偏偏差判别。。若偏差值值Fi≥0，刀具具应沿X轴轴负方向走走一步；若若Fi﹤0，刀具具应沿Y轴轴正向走一一步。这是是第2节拍拍的进给。。接着进行行第3节拍拍进给，计计算出刀具具在新位置置上的偏差差值及新位位置坐标，，插补循环环数i应加加1。最后后进行终点点判别，若若i与N相相等，说明明圆弧加工工完毕，结结束插补循循环；若i与N不等等，标明未未加工完，，应继续插插补243.6.3逐点点比较法例3.6.2现欲欲加工第一一象限逆圆圆SE，如如图所示，，起点A（（4，3）），终点为为E（0，，5），试试用逐点比比较法进行行插补。253.6.3逐点点比较法26第二节逐逐点比较插插补法逐点比较法法的工作流流程图如右右图所示。。4.逐点比比较法的象象限处理（1）逐点点比较法直直线插补的的象限处理理为适用于四四个象限的的直线插补补，我们在在偏差计算算时，无论论哪个象限限直线，都都用其坐标标的绝对值值计算。由由此得到的的偏差符号号如图2-6所所示。当动点位于于直线上时时偏差F=0，动点不不在直线上上且偏向Y轴一一侧时F>0，，偏向X轴一侧侧时F<0。。由图2-6还可可以看到，，当F≥≥0时应沿沿X轴轴走一步，，第一、四四象限走+X方方向，第第二、三象象限走-X方方向；当F<0时应应沿Y轴轴走一步步，第一、、二象限走走+Y方向，，第三、四四象限走-Y方方向。终终点判别也也应用终点点坐标的绝绝对值作为为计数器初初值。27第二节逐逐点比较插插补法逐点比较法法的工作流流程图如右右图所示。。4.逐点比比较法的象象限处理（1）逐点点比较法直直线插补的的象限处理理例如，第二二象限的直直线OA2，其终终点坐标为为（-Xe，Ye），在第第一象限有有一条和它它对称于Y轴的的直线OA1，其其终点坐标标为（Xe，Ye））。当从O点点开开始出出发，，按第第一象象限直直线OA1进进行插插补时时，若若把沿沿X轴轴正向向进给给改为为沿X轴轴负负向进进给，，这时时实际际插补补出的的就是是第二二象限限的直直线OA2，，而其其偏差差计算算公式式与第第一象象限直直线的的偏差差计算算公式式相同同。同理，，插补补第三三象限限终点点为（（-Xe，-Ye））的直直线OA3，它它与第第一象象限终终点为为（Xe，，Ye）的的直线线OA1是对对称于于原点点的，，所以以依然然按第第一象象限直直线OA1插插补，，只须须在进进给时时将+X进进给给改为为-X进进给，，+Y进进给给改为为-Y进进给即即可。。28第二节节逐逐点比比较插插补法法逐点比比较法法的工工作流流程图图如右右图所所示。。4.逐逐点比比较法法的象象限处处理（1））逐点点比较较法直直线插插补的的象限限处理理四个象象限直直线插插补的的偏差差计算算公式式与进进给方方向列列于表表2-3之中中，表表中L1，L2，，L3，L4分分别表表示第第一、、二、、三、、四象象限的的直线线。29第二节节逐逐点比比较插插补法法逐点比比较法法的工工作流流程图图如右右图所所示。。4.逐逐点比比较法法的象象限处处理（2））逐点点比较较法圆圆弧插插补的的象限限处理理与直线线插补补相似似，如如果插插补计计算都都用坐坐标的的绝对对值进进行，，将进进给方方向另另做处处理，，那么么，四四个象象限的的圆弧弧插补补计算算即可可统一一起来来，变变得简简单多多了。。用SR1，SR2，SR3，SR4分别别表示示第第一一、第第二二、第第三三、第第四四象象限限的的顺顺圆圆弧弧（ISO代代码为为G02）；；用NR1，，NR2，，NR3，，NR4分分别表表示第第一、、第二二、第第三、、第四四象限限的逆逆圆弧弧（ISO代代码为为G03）。。不同同象限限圆弧弧的逐逐点比比较法法圆弧弧插补补如图图2-7所示示。30第二节节逐逐点比比较插插补法法逐点比比较法法的工工作流流程图图如右右图所所示。。4.逐逐点比比较法法的象象限处处理（2））逐点点比较较法圆圆弧插插补的的象限限处理理由图2-7可可以看看出，，SR1，，NR2，，SR3，，NR4的的插补补运动动趋势势都是是使X轴轴坐坐标绝绝对值值增大大，Y轴轴坐标标绝对对值减减小，，这四四种圆圆弧的的插补补计算算是一一致的的，以以SR1为代代表。。NR1，SR2，NR3，SR4的插插补运运动趋趋势都都是使使X轴轴坐标标绝对对值减减小，，Y轴轴坐坐标绝绝对值值增大大，这这四种种圆弧弧的插插补计计算是是一致致的，，以NR1为为代表表。31第二节节逐逐点比比较插插补法法逐点比比较法法的工工作流流程图图如右右图所所示。。4.逐逐点比比较法法的象象限处处理（2））逐点点比较较法圆圆弧插插补的的象限限处理理表2-4列出出了8种种圆弧弧插补补的计计算公公式与与进给给方向向。323.6.3逐逐点点比较较法5.逐逐点比比较法法的运运用逐点比比较法法能实实现直直线插插补、、圆弧弧插补补和非非圆二二次曲曲线插插补，，插补补精度度较高高，输输出脉脉冲均均匀，，给进进速度度比较较平稳稳，数数度调调节也也比较较方便便。但运算算电路路复杂杂，所所需逻逻辑部部件多多。33第三节节数数字积积分插插补法法数字积积分法法（DDA法法）数字积积分法法，是是利用用数字字积分分的方方法计计算刀刀具沿沿各坐坐标轴轴的位位移，，使得得刀具具沿着着所加加工的的曲线线运动动。利利用数数字积积分的的原理理构成成的插插补装装置叫叫数字字积分分器，，又称称为数数字微微分分分析器器（DigitalDifferentialAnalyzer，DDA）。。数字积积分器器具有有运算算速度度快、、脉冲冲分配配均匀匀，且且易于于实现现多坐坐标联联动，，进行行空间间直线线插补补及描描绘平平面各各种函函数曲曲线的的特点点。因因此，，数字字积分分器在在轮廓廓控制制数控控系统统中有有着广广泛的的应用用。其缺点点是速速度调调节不不便，，插补补精度度需要要采取取一定定措施施才能能满足足要求求。由由于计计算机机有较较强的的计算算功能能和灵灵活性性，采采用软软件插插补时时，上上述缺缺点容容易克克服。。34第三节节数数字积积分插插补法法数字积积分法法（DDA法法）首先介介绍数数字积积分的的工作作原理理，然然后介介绍数数字积积分器器的直直线插插补和和圆弧弧插补补原理理。1.数数字积积分的的工作作原理理如图图2-10所所示，，设有有一函函数y=f（t），，从时时刻t=0到t求求函数数y=f（（t））积分分，即即求函函数y=f（t）曲曲线与与横坐坐标t在在（0，t）所所包围围的面面积，，可用用积分分公式式S=∫ydt=∑yiΔΔt式中，，yi为t=ti时时的f（（t））值。。此式说说明，，求积积分的的过程程可以以用累累加的的方式式来近近似。。在几几何上上就是是用一一系列列的微微小矩矩形面面积之之和近近似表表示函函数f（（t））以下下的面面积。。35第三节节数数字积积分插插补法法数字积积分法法（DDA法法）若图2-10数数字字积分分的工工作原原理ΔΔt取取最小小的基基本单单位时时间““1””（相相当于于一个个脉冲冲的时时间）），则则式（（2-12）可可简化化为S=∑yi设置一一个累累加器器，而而且令令累加加器的的容量量为一一个单单位面面积。。用此此累加加器来来实现现这种种累加加运算算，则则累加加过程程中超超过一一个单单位面面积时时必然然产生生溢出出，那那么，，累加加过程程中所所产生生的溢溢出脉脉冲总总数就就是要要求的的面积积近似似值，，或者者说是是要求求的积积分近近似值值。36第三节节数数字积积分插插补法法数字积积分法法（DDA法法）数字积积分法法的直直线插插补原原理（1））数字字积分分法直直线插插补的的表达达式设设要加加工工一一条条直直线线OA，，如图图2-11所所示示，其其起起点点坐坐标标是是坐坐标标原原点点，终终点点坐坐标标是是A（（Xe，Ye））。设定X和和Y方方向向的速速度分分别为为Vx与与Vy，，则刀刀具在在X和和Y方方向向上移移动距距离的的微小小增量量ΔX和和ΔY分分别为为ΔX=VxΔtΔY=VyΔt假定进给给速度V是是均匀的的（即V为为常数）），对于于直线函函数来说说，在X和和Y方方向上上的速度度Vx与Vy也为为常数，，则下式式成立：：V/l=Vx/Xe=Vy/Ye=K式中K————比例常常数；l————直线长长度。37第三节数数字积积分插补补法数字积分分法（DDA法法）数字积分分法的直直线插补补原理将式（2-15）代入入式（2-14），得得到ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt各坐标的的位移量量为38第三节数数字积积分插补补法数字积分分法（DDA法法）数字积分分法的直直线插补补原理各坐标的的位移量量为动点从原原点出发发走向终终点的过过程，可可以看作作是各坐坐标轴每每经过一一个单位位时间ΔΔt，分分别以增增量KXe及及KYe同时时两个累累加器累累加的过过程。当累加值值超过一一个坐标标单位（（脉冲当当量）时时产生溢溢出，溢溢出脉冲冲驱动伺伺服系统统进给一一个脉冲冲当量，，从而走走出给定定直线。。39第三节数数字积积分插补补法数字积分分法（DDA法法）数字积分分法的直直线插补补原理各坐标的的位移量量为据式可以以作出XOY平面面数字积积分器直直线插补补框图。。由图可见见，平面面直线插插补器由由两个数数字积分分器组成成（如图图中虚线线所示）），每个个坐标的的积分器器由累加器和被积函数数寄存器器所组成。。其被积积函数寄寄存器中中分别存存放坐标标终点值值Xe和Ye，ΔΔt相当当于插补补控制脉脉冲源发发出的控控制信号号，每来来一个累累加信号号被积函函数寄存存器里的的内容在在相应的的累加器器中相加加一次，，相加后后的溢出出作为驱驱动相应应坐标轴轴的进给给脉冲ΔΔX（（或ΔΔY），，而余数数仍寄存存在积分分累加器器中。40第三节数数字积积分插补补法数字积分分法（DDA法法）数字积分分法的直直线插补补原理各坐标的的位移量量为设积分累累加器为为n位位，则则累加器器的容量量为2n，其最大大存数为为2n-1，，当计至至2n时，必然然发生溢溢出。若将2n规定为单单位1（相当当于一个个输出脉脉冲），，那么积积分累加加器中的的存数总总小于2n，即为小小于1的数，，该数称称为积分分余数。。41第三节数数字积积分插补补法数字积分分法（DDA法法）数字积分分法的直直线插补补原理各坐标的的位移量量为例如如，，将将Xe累累加加m次次后后的的X积积分分值值应应为为式中中，，商商的的整整数数部部分分表表示示溢溢出出的的脉脉冲冲数数，，而而余余数数部部分分存存放放在在累累加加器器中中。。这这种种关关系系可可表表示示为为积分分值值=溢溢出出脉脉冲冲数数+余余数数当两两个个坐坐标标轴轴同同步步插插补补时时，，溢溢出出脉脉冲冲数数必必然然符符合合式式（（2-17））。。用用它它们们去去控控制制机机床床进进给给，，就就可可走走出出所所要要求求的的直直线线轨轨迹迹。。42第三三节节数数字字积积分分插插补补法法数字字积积分分法法（（DDA法法））数字字积积分分法法的的直直线线插插补补原原理理例如如，，将将Xe累累加加m次次后后的的X积积分分值值应应为为（2））数数字字积积分分法法直直线线插插补补的的终终点点判判别别当当插插补补迭迭代代次次数数m=2n时，，则则X=Xe，，Y=Ye两两个个坐坐标标轴轴将将同同时时达达到到终终点点。。由由上上可可知知，，数数字字积积分分法法直直线线插插补补的的终终点点判判别别比比较较简简单单，，每每个个程程序序段段只只须须完完成成m=2n次次累累加加运运算算，，即即可可达达到到终终点点位位置置。。因此此，，只只要要设设置置一一个个位位数数亦亦为为n位位（（与与被被积积函函数数寄寄存存器器和和累累加加器器的的位位数数相相同同））的的终终点点计计数数器器Je，，即即可可用用来来记记录录累累加加次次数数。。插插补补运运算算前前，，将将终终点点计计数数器器Je清清零零，，插插补补运运算算开开始始后后，，每每进进行行一一次次加加法法运运算算，，Je就就加加1；；当当计计数数器器Je计计满满2n数数时时，，停停止止运运算算，，插插补补完完成成。。43【例例2-3】】写写出出起起点点（（0，，0）），，终终点点（（8，，6））的的直直线线段段的的DDA插插补补计计算算过过程程并并画画出出轨轨迹迹图图。。解：：因因为为该该直直线线在在两两个个坐坐标标轴轴中中的的最最大大值值为为8，，而而8的的二二进进制制位位数数为为4位位，，故故两两个个坐坐标标方方向向的的寄寄存存器器可可采采用用4位位寄寄存存器器。。当当累累加加次次数数m=24=16时时，，插插补补结结束束。。其其插插补补计计算算过过程程见见表表2-6；；插插补补轨轨迹迹图图见见图图2-17。。44表2-6例例2-3的的插插补补运运算算表表累加次数mx积分器y积分器x被积函数寄存器存xex累加器x累加器溢出脉冲y被积函数寄存器存yey累加器y累加器溢出脉冲01000000000110000001100010000011001100210000000101101100031000100000110001014100000001011010000510001000001101110061000000010110010017100010000011010100810000000101100000191000100000110011001010000000101101100011100010000011000101121000000010110100001310001000001101110014100000001011001001151000100000110101001610000000101100000145462.DDA圆圆弧弧插插补补设刀刀具具沿沿第第一一象象限限内内半半径径为为R的的一一段段圆圆弧弧逆逆时时针针移移动动，，如如图图2-18所所示示。。刀刀具具沿沿圆圆弧弧切切线线方方向向的的进进给给速速度度为为V，，P（（xi，yi）为为动动点点，，则则有有如如下下关关系系式式：：故有：

（2-20）

当刀刀具具沿沿圆圆弧弧切切线线方方向向匀匀速速进进给给，，即即V为为恒恒定定时时，，可可以以认认为为比比例例常常数数k走走为为常常数数。。在在一一个个单单位位时时间间间间隔隔ΔΔt内内，，x和和Y方方向向上上的的移移动动距距离离量量为为（2-21）

图2-18DDA圆弧插补原理47同DDA直直线线插插补补得得处处理理方方法法一一样样，，当当k=1/2n时，，可可得得到到下下式式：：（2-22）

于是是就就可可写写出出第第一一象象限限内内逆逆圆圆弧弧DDA插插补补的的表表达达式式：：（2-23）

根据据式式(2-22)及及（（2-23）），，我我们们按按照照直直线线插插补补的的方方法法也也用用两两个个积积分分器器来来实实现现圆圆弧弧插插补补，，如如图图2-19所所示示图2-19DDA圆圆弧弧插插补补器器示示意意图图48【例2-4】用用数数字字积积分分法法插插补补第第一一象象限限内内的的逆逆圆圆弧弧，，起起点点A的的坐坐标标为为(5，，0)，，终终点点B的的坐坐标标为为(0，，5)。。列列出出插插补补算算式式，，画画出出插插补补轨轨迹迹图图。。解：X、Y被积函数数寄存器的的初值分别别为101、000。在X、、Y两个方方向分别设设置一个终终点判别计计数器Ex、Ey，当X或Y积分器有有溢出时，，就在相应应的终点判判别计数器器中减1，，直到两个个计数器的的值都为0，插补结结束。插补补的运算过过程见表2-7，插插补轨迹图图见图2-20。图2-20例2-3插插补轨迹图图49累加次数mX或Y积分器ExX或Y积分器EyJVX(存yi)JRXΔXJVY(存xi)JRYΔY00000000101101000010110000000101101101010120000000101101010110000130010010101101111010040010100101101100101101050101000101101001101001160111110101101110001070110101100101011100110010050810011001001001110001910001010111000111000101011101011110011011111010011010011010121010011001010001131011100001001141010011000001000累加次数mX或Y积分器ExX或Y积分器EyJVX(存yi)JRXΔXJVY(存xi)JRYΔY513.6.5数据据采样法数据采样法法实质上就就是用一系系列首尾相相连的微小小直线段来来逼近给定定的曲线，，微小直线段段的分割过过程称为粗粗插补，后后续进一步步的密化过过程称为精精插补。通通过两者的的紧密配合合既可实现现高性能的的轮廓插补补。523.7进进给运运动的误差差补偿3.7.1机机床加工零零件误差来来源在机床加工工零件的过过程中，引引起加工误误差的原因因是多方面面的。有机机床零部件件的编程轮轮廓误差引引起的误差差，由于刚刚度、强度度不够产生生变形，从从而产生的的误差，还还有因传动动件的惯性性、电气线线路的时间间滞后等原原因带来的的加工偏差差等。1.齿隙或或间隙在在齿轮轮传动系统统中，齿轮轮间隙是引引起传动误误差的一个个主要原因因。在丝杠杠螺母副传传动时，其其间的游隙隙以及溜板板的歪斜也也会产生传传动误差。。这类误差差统称为齿齿隙误差。。2.螺距误误差开开环和和半闭环数数控机床的的定位精度度主要取决决于高精度度的滚珠丝丝杠。但丝丝杠总有一一定的螺距距误差，因因此在加工工过程中会会造成零件件的外形轮轮廓偏差。。3.热变形形误差。533.7进进给运运动的误差差补偿4.机床构构件的扭曲曲与变形传传动轴或或丝杠在扭扭矩作用下下的扭曲变变形引起无无效运动，，造成加工工件的偏差差。5.机床溜溜板的的摩摩擦在在数控控机床中干干摩擦是不不允许的，，因为干摩摩擦会导致致爬行现象象。而摩擦擦会以间接接的方式助助长无效运运动。6.刀具的的长度改变变数数控机床床在加工同同一零件的的过程中要要更换刀具具，而刀具具由于经常常使用会磨磨损。刀具具的这些变变化会影响响零件的加加工精度。。误差有常值值系统性误误差，如螺螺距累积误误差，反向向间隙误差差（齿隙误误差）等，，还有因热热变形等引引起的变值值系统性误误差。如果果定期测定定各坐标轴轴的定位误误差，由计计算机将新新的误差曲曲线存储起起来，可以以在机床寿寿命期间内内补偿由于于磨损等引引起的精度度损失，进进行坐标轴轴校准。消除误差的的方法很多多。可通过过机械设计计提高部件件的刚度、、强度要求求，以减少少变形。也也可通过控控制系统消消除误差。。543.7进进给运运动的误差差补偿3.7.2螺螺距误差补补偿螺距误差是是指螺距累累积误差引引起的常值值系统性定定位误差。。在半闭环环系统中，，定位精度度很大程度度上受滚珠珠丝杠精度度的运动精精度，必须须采用螺距距误差补偿偿功能，利利用数控系系统对误差差进行补偿偿与修正。。采用该功功能的另一一个原因是是，数控机机床经长时时间使用后后，由于磨磨损其精度度可能下降降。采用该该功能进行行定期测量量与补偿，，可在保持持精度的前前提下延长长机床的使使用寿命。。1.螺距补补偿的原理理将数控机床床某个轴的的指令位置置与高精度度位置测量量系统所测测得的实际际位置相比比较，计算算出在数控控加工全程程上的误差差分布曲线线，再将误误差以表格格的形式输输入数控系系统中。553.7进进给运运动的误差差补偿3.7.2螺螺距误差补补偿1.螺距补补偿的原理理螺距补偿注注意事项：：（1）对重重复定位精精度较差的的轴，因无无法准确确确定其误差差曲线，螺螺距误差补补偿功能无无法实现，，即该功能能无法补偿偿重复定位位误差。（2）只有有建立机床床坐标系，，螺距误差差补偿才有有意义。（3）由于于机床坐标标系是靠返返回参考点点而建立的的，因此在在误差表中中参考点的的误差要为为零。（4）必须须采用比滚滚珠丝杠精精度至少高高一个数量量级的检测测装置来测测量误差分分布曲线。。563.7进进给运运动的误差差补偿2.螺距补补偿的方法法下图所示曲曲线为实测测的定位误误差曲线。。该曲线以以单位补偿偿脉冲当量量进行分割割，各交点点处即为目目标补偿点点。图中点点1～5处处的定位误误差均为正正值，因而而需要作减减脉冲补偿偿，而在点点7～10处则需需进行加脉脉冲补偿。。这样经补补偿后，可可由原来全全长上约6个补偿脉脉冲当量的的定位误差差减为2个个脉冲当量量的定位误误差。573.7进进给运运动的误差差补偿3.螺距补补偿的步骤骤（1）安装装高精度位位移测量装装置。（2）编制制简单的程程序，在整