2019年数学高考真题卷-天津卷理数（含答案解析）

2019年普通高等学校招生全国统一考试・天津卷数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第I卷本卷共8小题,每小题5分，共40分.参考公式：如果事件A,6互斥,那么=P(Q+P(B).如果事件A,6相互独立,那么P(AB)=P1QP⑦.圆柱的体积公式V=Sh,其中S表示圆柱的底面面积，力表示圆柱的高.棱锥的体积公式V^Sh,其中S表示极锥的底面面积，力表示棱锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A={-\,1,2,3,5},B={2,3,4},C={xE.R11Wx<3},则({D。U6=(A){2} (B)⑵3)©{-1,2,3} (D){1,2,3,4}p+y-2<0,(2)设变量x,y满足约束条件］:［匕：220,则目标函数z=y肝y的最大值为(A)2 (B)3 (C)5 (D)6⑶设xGR,贝"x2Tx<0”是“IxT|<1"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为(A)5(B)8(024(D)29(5)已知抛物线产土的焦点为F,准线为1.若1与双曲线捺，1(a>0,6刈的两条渐近线分别交于点A和点氏且I第=41M(。为原点)，则双曲线的离心率为(A)V2 (B)V3(02 (D)V5(6)已知a-log52,Z>-logo.50.2,c4).5"贝l]a,b,c的大小关系为(A)水*， (B)水伙c(C)Kc<a (D)«水力(7)己知函数f(x)勺sin(3户0)(4X),。为，|。n)是奇函数,将y尔好的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(*).若g(x)的最小正周期为2n,且虱?W2,则(A)-2 (B)-V2(0V2 (D)2(8)已知awR.设函数f(x)4%2- +2y-L若关于x的不等式f{x}NO在R上恒成立,则a的取值1%—a\nxtx>1.范围为(A)[0,1] (B)[0,2](0[0,e] (D)[1,e]第n卷本卷共12小题，共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分.(9)i是虚数单位,则|蒋|的值为.(10)(2xJ)，的展开式中的常数项为(11)已知四棱锥的底面是边长为近的正方形，侧棱长均为遍.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.(⑵设aCR,直线ax-y+2O和圆匕：彳[蓝然'(夕为参数)相切,则a的值为.(⑶设工为,勿0,x+2jW,则竺芈丝2的最小值为历 (14)在四边形ABCD中，AD//BC, 月如5,Z/1-30。，点£在线段。的延长线上，且AE=BE,则BD•AE=.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)在△/8C中，内角4旦，所对的边分别为a,b,c,已知ZH-c^2a,3csin5^4asinC.(I)求cos6的值;(II)求sin(26+g)的值.o(16)(本小题满分13分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为条假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I)用才表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(H)设"为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件〃发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，｛反1平面ABCD,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB^ADA,AE=BCC.R(I)求证:跖〃平面ADE;R(II)求直线应■与平面行所成角的正弦值；(HD若二面角右切-尸的余弦值为求线段"的长.(18)(本小题满分13分)设椭圆，片=1储＞»0)的左焦点为F,上顶点为正已知椭圆的短轴长为4,离心率为9.(I)求椭圆的方程；(II)设点尸在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点，点"为直线PB与x轴的交点，点1在y轴的负半轴上.若I叩=|加|(0为原点)，且OPVMN,求直线阳的斜率.(19)(本小题满分14分)设EJ是等差数列，｛"｝是等比数列.已知囱＜61s员之负七，&之a+4.(I)求｛&｝和⑻的通项公式;(11)设数列｛遍满足。尸1，2"1，其中4gn*.(i)求数列｛a2n(C2“T)｝的通项公式；2n⑴)求(刀GN*).(20)(本小题满分14分)设函数/■(%)*'cosx,g(x)为A%)的导函数.(I)求/•(*)的单调区间；(n)当XdJ曰时，证明f(x)+g(x)(g-x)20；4L L(III)设“”为函数u(x)=f(x)-1在区间(2办+Z,2办+g)内的零点,其中〃GN,证明2/7n+；-%,〈一、”"-.4 2 2sinx0-cosx01234567891011121314DCBBDACCV1328nT344V3-1(DD【考查目标】本题主要考查集合的交运算与并运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】由条件可得/DC={1,2},故G4n0U8={L2,3,4}.(2)C【考查目标】本题主要考查线性规划，考查数形结合思想，考查的核心素养是数学运算、直观想象.【解析】 画出可行域如图中阴影部分所示，x=-l作出直线Mx上尸0,并平移,可知当直线过点A时,z取得最大值.由0可得t所以点A的坐标为(_1,1),故—~4X(T)+1%.【方法总结】若所给可行域是一个封闭图形,则目标函数通常在封闭图形的顶点处取得最值.(3)B【考查目标】本题主要考查充分性与必要性的判断、简单的不等式求解，考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理.【解析】由x-5x<o可得00⑤由/x-1/<1可得oa②由于区间(0,2)是(0,5)的真子集,故"系"<0"是，7x-l/<lw的必要而不充分条件.【方法总结】 对于判断充分必要条件的问题,可以借助集合之间的包含关系进行判断,例如,本题通过求不等式的解集，再根据区间(0,2)是(0,5)的真子集即可得出结论.(4)B【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】 执行程序框图,S=l,it,月，S=1M与,7-3,S用网,满足£24,输出的S⑹(5)D【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、双曲线的离心率等，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由题意,可得F(l,0),直线/的方程为x=-l,双曲线的渐近线方程为y=±-x.将x=-l代入y=±a-x,得y=±-,所以点46的纵坐标的绝对值均为2由〃司=1/。7可得卫工即bta,仔Ak故双曲线的离心a a a a率金殍ayj(6)A【考查目标】 本题主要考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，考查考生的逻辑思维能力,考查的核心素养是逻辑推理.【解析】a-log52<logsV5^,而c=Q.5°2^0.5'^,故a<c;A-logosO.2>log0,50.25=2,而c=0.5,2<0.5°-l,故c<b.所以a<c<b.【方法总结】利用对数函数与指数函数的性质比较大小时,通常需借助某些特殊值作为中间变量进行分析,在本题中，由于&6,c都是正数,因此可借助1,2这样的特殊值进行比较,灵活选择特殊值是解题的关键.(7)C【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.【解析】由f(x)为奇函数可得(AGZ),又/0/<n,所以0R,所以g[x}-Asin^^x.由g(x)的最小正周期为2n,可得F之Ji,故。2,g(x)Nsinx.g(?s4si叶印^,所以4之,所以/'(x)心in2x,故2A—)^sin—W2.8 4【方法总结】 若F(x)当sin(3x+6)(A2, )为奇函数,则6=kc(4£Z),若F(x)s4sin(3x+。)(4X),3与，/0/(n)为偶函数，则6=kN5■(隹Z).(8)C【考查目标】本题主要考查函数的性质与导数的应用，不等式恒成立问题，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一当a4)时,不等式F(x)》O恒成立，排除D;当a=e时,/•(04/;"+设？*'1,当后1时，f(x)=x-2ex-t2e的最小值为f(l)=1人,满足f(x)20;当x>\时，由f(x)=『elnx可得f'(x)=1?易得A%)在产e处取得极小值(也是最小值)/'(e)4),满足f(x)20恒成立,排除A,B.故选C.解法二若*<1,f[x}=x-2ax->2a=[x-a)'-a"+2a,当aWl时,可得f(x)的最小值为f(a)=~a~^2,a,令f(a)20,解得0Wa<2,故OWa〈l;当a>\时,可得f(x)的最小值为f(l)=120,满足条件.所以a》0.若由Ax)中-alnx可得/''(x)=l/卫,当时，/''(x)X),则/1(*)单调递增,故只需AD》0,显然XX成立；当a>\时，由F'(x)4)可得x=a,易得f(x)的最小值为f(a)=a-alna,令f®20,解得故1QWe,所以aWe.综上,a的取值范围是[0,e].(9)713【考查目标】 本题主要考查复数的模及运算,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.[解析]解法一昼-丁)*)47之_3入故3/^/4+9W13.1+1(1+1)(1-1) 2 1+1解法二/三/浮烟1+i|l+i|glyf2v【方法总结】 复数的除法运算,通常先将分母实数化,把所给复数转化为z=a%i(a,6GR)的形式,再进行求解.对于复数的模,可以利用自/孕;简化运算过程.Z2㈤(10)28【考查目标】本题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】 二项展开式的通项心/(2x)"'(忌)’=(+'•2"'•C^r,令8/尸0可得尸2,故常数项为(-i)2X26XC|^28.【举一反三】 求二项展开式中指定项的问题,通常先求出其通项利用指数运算进行化简,再求出r的值，代入求解即可.(11)T【考查目标】本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】 由题可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为余易知四棱锥的高为7^二1之,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为HX(1)2X14.2 4(12)：【考查目标】本题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系，考查的核心素养是数学运算.【解析】由已知条件可得圆的直角坐标方程为(『2)，(厂1)2刊,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得隼詈之,解得【方法总结】直线与圆的位置关系问题通常可以借助数形结合思想,利用圆心到直线的距离与半径的关系进行求解.(13)473 【考查目标】本题主要考查基本不等式的应用，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解析】"收+】)"+篇/一篇6之何需由.2片5得52②,即历《#，即出争当且仅当户2片时等号成立.2/石々|^22hy/xy, 当且仅当即“尸3时取等号,结合xyWg可知，盯可以取到3,故竺芈竺义的最小值为4V3.\fxy(14)-1【考查目标】本题主要考查平面向量的线性运算与数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.【解析】 解法一在等腰△/(缈中，易得/胡£=N4吐30°,故於2,贝IJ丽•荏=(而海)•(AB-fBE)^AD•AB+AD•BE^AB2-^•BE=5X2y[3Xcos30°百X2Xcos180"-12-2V3X2Xcos150°=15-10-12^6=-1.解法二在即中，由余弦定理可得瓦厘25+12-2x5x2V5xcos30°个少,所以cosN4即=1£1^2^二百，贝lJsin/4加强.设前与荏的夹角为〃，贝ijcos，气os(180°-NABD福0°)=-cos(N2x2V3xy714 14ABD-30a）=-cosZABD•cos30°-sin//初•sin30"也,在△ABE中,易得AE=BE=2,故而•AE^flX214X（令T.【方法总结】 求向量的数量积,通常可以把所求向量利用线性运算转化为已知模及夹角的向量,再进行求解,也可以借助三角恒等变换、勾股定理等直接求出模与夹角,再进行求解.（15）【考查目标】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.【解题思路】（I）先根据3csin6=4asin。及正弦定理求出a,b的关系，再结合b+c&a,用a表示出b,c,最后利用余弦定理即可得出结果；（H）先利用倍角公式，求出sin28与cos24再利用两角和的正弦公式求解即可.解：（I）在△力比'中，由正弦定理"一0,得Asinf-csinB,又由3csinBNasinC得3AsinC=4asinC,smBsinC即3bNa又因为。出小2a得到c^-a.由余弦定理可得cos 12yb?’扇。好°,二厂.3 3 2ac2a--a43（H）由（I）可得sinB=^l—cos2F^^,4从而sin25=2sinBcoscos2B=cos2B-si8 8故sin（28U）Fin2^05—^0525sin-X-X---3^+7.6 6 68282 16【题型风向】三角函数是高考命题的重要组成部分，在高考中通常会把正弦定理、余弦定理与三角恒等变换结合起来进行考查,从最近几年的命题趋势看,其难度不大,主要考查基本公式与基本技能的应用,在解题时注意计算的准确性即可.（16）【考查目标】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解题思路】（I）先根据已知条件分析出¥服从二项分布，再利用二项分布的概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；（II）先分析出乙同学7:30之前到校的天数「服从二项分布,再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可.解：（I）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为条故*力（3,9,从而P（X=g彳乳，＜）3%,公0,1,2,3.所以，随机变量才的分布列为127127827随机变量才的数学期望E33注之.(II)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为匕则卜?(3,9,且〃=｛1=3,M｝U｛才2六0｝.由题意知事件｛六3,闫｝与｛六2,左)｝互斥,且事件｛六3｝与｛闫｝,事件｛六2｝与｛汽)｝均相互独立,从而由(/)知PCH)二夕(｛六3,h1｝U｛X=2,k0｝)=P｛｛X=Q,,Y=l｝)+P｛｛X=2,汽)｝)寸(｛冏｝)?(｛闫｝)例｛了切)尸(｛汽)｝)得巧名吗嗡.(17)【考查目标】 本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.【解题思路】根据条件建立空间直角坐标系.(I)先求出平面力加的法向量,再证明法向量与罚垂直,即可证得结论；(H)先求出平面飒■的法向量，把问题转化为求向量方与法向量夹角的余弦值，再利用向量的夹角公式即可得出结果;(III)求出平面6〃6的法向量,根据已知条件,利用向量的夹角公式求解即可.解:依题意，可以建立以力为原点,分别以荏，而，荏的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(Q,0,0),6(1,0,0),C(l,2,0),P(0,1,0),£(0,0,2).设行功(加0),则尸(1,2,力).(I)依题意,0,0)是平面4%的法向量,又加MO,2,/i),可得不•AB-O,又因为直线肺平面ADE,所以防〃平面ADE.(H)依题意，丽=(-1,1,0),屁=(-1,0,2),屈=(T,-2,2).设E-z)为平面府的法向量,则｛:；霆:叫:：£°0不妨令T可得-⑵2,1),因此有cos及，n＞箴=得-x+y=0-x+y=0,(III)设m=(x,y,z)为平面应用'的法向量，则m•前(III)设m=(x,y,z)为平面应用'的法向量，则m•BF=0,\2y+Az=0,不妨令y=ly可得3）.|4片由题意，有/cos3, 白W，解得吟经检验,符合题意.问问,L~73 75\Z-r-2

J4所以，线段次的长为*【解题关键】空间向量是解决立体几何问题的主要工具,因此,建立空间直角坐标系,求出相关点、相关向量的坐标是解决立体几何问题的关键.（18）【考查目标】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.【解题思路】（I）根据已知条件及-=9+1求出a,6,c的值,即可得到椭圆的方程；（1【）先根据题意设直线阳的斜率为4（20）,得到阳的方程,与椭圆方程联立,用斜率4表示出点。的坐标,再借助两直线的垂直关系建立方程，解出A即可.解：（I）设椭圆的半焦距为c,依题意,264£芈,又/=€+/、可得aM,b2cA.a5TOC\o"1-5"\h\z所以,椭圆的方程为14=1.5 4（II）由题意,设P5%）（30）,"（.0）.设直线阳的斜率为—,又6（0,2）,则直线%的方程为y=kx也、与椭圆方程联立得力,y2 整理得（4巧巧f+20人可得X产力餐，代入y=kx也得力与器，I—+J=1 4+5kz 4+5kzI5 4 '进而直线。尸的斜率"三浮.在y=kx+2中，令产0,得x产W由题意得MO,-1）,所以直线的斜率为£由Xp•lUfC K ZOPLMN,得唔•（—）=T,化简得尤丹,从而k二土嗒•1UACL 5 5所以,直线%的斜率为等或普.【答题模板】圆锥曲线问题一般会涉及求方程、联立方程等，其答题模板如下：（1）根据已知条件，建立关于a,6,c的方程（组），求出a,b,c的值,再代入原方程,即可求出所给曲线方程；（2）设出所给直线的方程（有时候需要讨论斜率不存在的情况），把直线方程与圆锥曲线方程联立,利用已知条件建立方程（组）；（3）若涉及弦长问题,可以借助弦长公式进行求解.（19）【考查目标】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前〃项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【解题思路】(I)先分别设出数列｛a｝的公差与数列｛4｝的公比，然后利用已知条件建立方程组,求出公差与公比，最后利用公式求解即可.(II)(i)将(I)中所求结论代入,即可求出相应的通项公式；(ii)分组求和，即可得出结果.解：(I)设等差数列｛a｝的公差为d等比数列｛4｝的公比为q.依题意得C3：6Jj4d解得《二:‘故&X3=3"l,力X2".所以，｛a｝的通项公式为&%伍｝的通项公式为4%X2〃.(H)(i)q2n、2办T)予2n(AT)=(3X2"+1)(3X2〃T)由X4"-L所以，数列｛a2n(C2n-1)｝的通项公式为Q2n(C2n-D42n2n(ii)Eac=£[&)a(aT)]i=li=l2nn=Eai+£a2i(c2t-l)i=li=ln二[2"X4*n(2"0x3]+z(9X4'-1)2 4=1二(3X2”‘v5X2"-')为X"二"=27X2"‘当X2"~'-n-l2 N,).【命题分析】数列在高考命题中较为灵活,可以以较为基础的形式呈现,也可以融入较多的创新问题，但最终都离不开数列通项公式的求解、数列的求和等.从最近几年的高考来看,数列问题最终通常可以转化为我们熟悉的等差数列或等比数列问题进行求解.(20)【考查目标】本题主要考查导数的运算、不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和