第07章多元函数微分法及其应用习题详解

第七章多元函数微分法及其应

x0,y0；1x2y24；yx2；x2y1)21且x2y1)2解（）集合是开集，集；边界为{(x,

x0y}{(x,y)x2y21}{(x, x2y2}

yx2}{(x,y)x2(y1)21}{(x, x2(y1)2f(uvuvf(xyxy f(xy,xy)xy(xy)x4fx4tx4tytx4tyt2f(x,y)

f(tx,ty)t2f(x,y)x4x42t2xy 2t2xyx4x4f f 设

x2(x0)f(xxyy

x2

12x1解由于f 1x

，则fx x2 zx2y2 （）zln(yx)arcsinx1a2）1a2x2x z ）x2x ） y定义域为(x,定义域为(x,

xyxy0，即第一、三象限（不含坐标轴 y2定义域为(x,

定义域为(x,定义域为(x,y,

x0,y0,x2y；x2y2z20,x2y2（

(x,

x2xyy2xy

（

1 x21 x2

；（） (x2y2(x,

（

(x,

；y（

lim(1xy)x （）(x,

(x2y2)exy(x,解

(x,

x2xyy2x

f(2,0)422 1

1 x2

cosulim (x, ln(x2y2 u0ln(1 u0 因 (x2y2)0，且sin

1有界，故 (x2y2)sin

0(x,

(x, (x,

sin(xy)y

(x,y

xsin(xy)212

1 (1xy)x

1 (1xy) e1e(x, (x,）

(x2y2 (x

xy2limu

exx lim2ux

ex(x, u u u (x2y2)exy(x, xy(x,y)(0,0)x x2 x2y2（）f(xyx4 x2y2

(x,

f(x,y)证明（）当(xyykx趋于(0,0 xylimxkx1(x,y)(0,0)xk

x

1（）当(xyyxyx2趋于(0,0)x2

x2 lim lim 0(x,y)(0,0)x4y x0x4 x0x2y yx2 x2 4 2lim 4lim 4 2(x,y)(0,0)x x0x2y

yxf(x,y在点(00)） ）

1.y2）函数在抛物线y22x上无定义，故y22x上的点均为函数z y2点

x2 x2(x, x2

1x2 x212x2 x212x2x2 x2 x2P(x,y)，其中 |OP|，于是，0，20；当0x2x2x2 0x2x2(x,f(xy)sinxf(xy是R2

0PxyR2.0，由于sinxx处连续，故0，当|xx| 有

|sinxsinx0|以上述P0的邻域U(P0，则Px,yU(P0时，显|xx0|(P,P0)|f(x,y)f(x0,y0)||sinxsinx0|f(xysinxPxy连续P的任意性知，sinxx、y的二元函数在 上连续zf(xy在(x0y0fx(x0y0Afy(x0y0B，问下列 （2）limf(x0,y0)f(x0,y0h) limf(x0,y02h)f(x0,y0) （4）limf(x0h,y0)f(x0h,y0) 解（）limfx0hy0fx0y0zxy （2）limf(x0,y0)f(x0,y0h)limf(x0,y0h)f(x0,y0)z(x,y)B （3）limf(x0,y02h)f(x0,y0)lim2f(x0,y02h)f(x0,y0)2B

limf(x0h,y0)f(x0h,y0 limf(x0h,y0)f(x0,y0)f(x0,y0)f(x0h,y0 limf(x0h,y0)f(x0,y0)f(x0h,y0)f(x0,y0 limf(x0h,y0)f(x0,y0)limf(x0h,y0)f(x0,y0 AA2

zxyx （2）zlntanx x2（3）zexy （4）z zx2ln(x2y2) （6）z）zsec(xy) （8）z(1xy)yxuarctan(x 解（） y x

u y y 1x 2x 2 x ysecyyycotysecy

2x

x 2x

y

y2

y zexyyyexy，zexyxxexy 2xxy(x2y2) 2x2y(x2y2) xy

x2

z2yxy(x2y2)x2xy2(x2y2)x1 xy

x2 2xln(xy)x2y22x2xln(xy)x2y2z

2x22 x212ln(12ln(

x212x112x

，z

12y112y12 12 tan(xy)sec(xy)yytan(xy)sec(xy)，ztan(xy)sec(xy)xxtan(xy)sec(xy)zy(1xy)y1yy2(1xy)y1 eyln(1xy)y(1xy)ln(1xy) yy 1 z(xx1(xy)2zz(x 1(xy)2zu zxyz1 z(xu

1(x11(x

((xy)zln(xy)

1(x(xy)zln(x；1(x xz11zxz xz1 x zx z y yy ， z y

y

y2

yy x yylny f(xy)

y f(10)f(10 ln

2x1解法一f(x0lnxfx(x0)xfx(1,0)1 y，所以f(1,y) 1，f(1,0)1 2

y 2f(x,y) y

(x,y)

y 2x2，f

y2xx x f(1,0) 101，fy(1,0) 11 0 2 10 2 x设f(x,y)x(y1) ，求fx(x,1)xyx1解法一由于f(x,1)x(11) x，fx(x,1)(x)x1y 1x 解法 fx(x,y) y，fx(1x f(x,

xet2dt

(x,y)，f

(x,y)x f(x,y)ex2，f(x,y)ey2x zxyxex

y

y y yy 由于 yexxex yex1 x2 y xxex xex

x y y 所以xyxyex yxexxyex(xy)xy x zx2y2

yxyxexxyxyz

）

1x2y2

在点(1,1,3)y）

(2,4)1

1ktan1，于是倾角42211 1，即ktan2211y

2

2zx3sinyy3sinx

zln(x

x2y2，求

2 2 2 2 2 2zarctanxx2y2xy和yx） 3x2sinyy3cosxx

2

3x2cosy3y2cosx ln

ln

ln lny 2z11yln lnx1 1ln xy lnylnx x (1lnxlny)1 1 x2x x2z 2x22x2x x2 x2， x2y2x2，x2y2(x x2y22 2 2 2x2y23 x 3x2 2x2y23 x 3x2y2 2 2 z 2 2

x2y2 2 x2 1y x

xy x xyy22 2 222

x2y2

x2y22 x2y22 y2 2 x2y2 y2

x2y2

x2y2

x2y2

2 x2 f(xyzxy2yz2zx2，求fxx(0,0,1)，fxz(1,0,2)，fyz(0,1,0)fzzx(2,0,1) 解因为fy22xz， 2z， fy2xyz2，ffz2yzx2，f

2z2y，

0fxx(0,0,1)2fxz(1,0,2)2fyz(01,0)0fzzx(2,0,1)0 y 2y kx2x2y2x2y2r x2y2z2ry 2 2 2证（）因为 kn sinnx，x cosnx，x2n sin所以ykn2ekn2tsinnxk2y r 2rx1xxr222

x2x2y2

xr r2 r2 ， .所以2r2r2rr2x2r2y2r2z2 .所以 z ）

s2ts2

（）z(x2y2

x2xy z (y0) （）zexyy） ） 2s(s2t2)2s(s2t2 4st 解（）

s

s2t2

2s2t 2t(s2t2)2t(s2t2 t

s2t2

2 s2t du

ds

dt

(tdssdt)s2t2 s2t2 s2t2 x2y2 x2y22x2y(x2y2)y x (xy)e e

x4y42x x2 x2 x2y2 y4x4由函数关于自变量的对称性可 e

2y x2y2 x4y4 y4x4 dzexy2x dx2y dy x

x2 11dzdarcsin d11 y y2 ydx y2yx yx xdzdexyexy yx

yxy y xe dx dy x2 y2 dudln(x2y2z2) dx2y x2y2xy2xdx2ydy2zdz 2(xdxydyxyx2y2dudxyzyzxyz1dxxyzzlnxdyxyzylnxyz1yzdxxzlnxdyxylnxdz（）zln(1x2y2x1y2z解（）

1

x1y1 因为dzdln(1x2y2) 1x2

d(1x2y2) 1x2

(2xdx2所以

y

1(2dx4dy)1dx2dy 因为dzdarctan1y21 2d1y2 1y21 2 2dx dy 2dx 2dy1yx1 1y2 1yx 1 所以dzx1 2dx 2dy dxdy 1yx 1 zx2y3x2y1x0.02y0.01时的全微分解因为dzdx2y32xy3dx3x2y2dy2xy3x3x2x2y1x0.02y0.01dz4x12y0.080.120.2

x2y2x2y1x0.01y0.03 x2y2d(xy)xyd(x2y2解因为dz xy x2y2x2y2(ydx+xdy)xy(2xdx2x2y2

x2yy3dx+x3+xy2x2y2x2y1x0.01y0.03x2yy3x+x2yy3x+x3+xy2x2y2(x, x0y0x2y1x0.01y0.03 xxyy zxx2yy2x2y2(x,y y0全增量与全微分之差为zdz0.0282520.0277770.000475设uex2yxsintyt3，求du解duudxudyex2ycost2ex2y3t2esint2t3(cost6t2). xdt ydtzarccos(uv，而u4x3v3x，求dz1111(u11(u解dzzduzdv 12x2 u v314x21x1x2(4x2 zuvuvuxcosyvxsiny，求xy解zzuzv2uvv2cosyu22uvsin u v3x2sinycosy(cosysiny)zzuzv2uvv2xsinyu22uvxcos u vx3(sin3y2sin2ycosycos3y2cos2ysiny)z

lnv，而u3x2y，vy，求 x，y 解 z u v 2ulnv v x2 6(3x2y)lny1(3x2y)2 zzuzv u21 y u v2

2ulnv x

2y)ln

2y)设zf(u,x,y)ln(uysinx)，u ，求x，y解

z

f

2uexy ycos u u2ysin u2ysin2e2xyycos e2xyysin

2uexy sin u u2ysin u2ysin2e2xysin.e2xyysinuusin(x2y2z2)，xrst，yrssttr，zrst， u s t uuxuyuz2x2y(st)2zstcos(x2y2z2 x y z2rst(rssttr)(st)rs2t2cos(rst)2(rssttr)2(rst)2uuxuyuz2x2y(rt)2zrtcos(x2y2z2 x y zuuxuyuz2x2y(sr)2zrscos(x2y2z2 x y zzarctanxxuvyuv，求zz zzuv u2 z z x y解uxuyu

2

221 21x 1x y

x z

z

1

x1 yvxvyv

x2 2y2 x2y2 x y y y 则 x2

yxx2

(uv)2(u

uvu2zf(xytx2y2txsintycost，求dz解dzzdxzdyf2xcost2y(sint12sin2t1 x y xy） （）uf,yz） ）） x （） f f f f1yy1，y

y2 y2 z ufyyfz 2 z2 z （）

ufyfyzf，uxfxzf，uxyf （）u2xfyexyf1f，u2yfxexyf x yzxyxF(u，而uF(uxxzyzzxy 证xzyz F(u)xF(u)u xF(u)u

x

y xyF(u)yF(u)yxF xyxF(u)xyzxy zzysin(xy)[cos(xy)]ysin(x [cos(xy)]zy设uxkFz,yFz,y xx xxxuyuzuku 证ukxk1FxkFzFyuxkF1xk1F 1 x2 2 x2 uxkF1xk1F 1 xuyuzukxkFxk1zFxk1yFxk1yFxk1zFku 设zsinyf(sinxsiny)，试证：sec sec 1

fcosx，zcosy(cosy)fsec secz zsecxcosxfsecycosysecy(cosy)fsec sec 2 2 2x2xyy2（f具有二阶连续偏导数） （）zf(x2y2)zf(x2y,xy2) ））zfsyf，zfsfdtxff 1 1 f(sts和tff也是s和tffs和t xy2zzyfyfsy2f

11 2zzyff1yfsfdtfxyfyf yx 11 12dy dt dt22

y

yxf1f

f2 2

dy 令sx2y2zf(x2y2是以sxyzfs2xf，zfs2yf f(ssf也是sf是以sxy的函数2zz2xf2f2xf2x2f4x2f 2zz2xf2xf2y4xyf yx 2zz2yf2f2yf2y2f4y2f yy 令sxy2tx2yzfsfty2f2xyf，zfsft2xyfx2f 1 2 1 2 2zz 2 xx xy 2xyf2y2fsft2yf2xyfsft11 12x 21 22x 2yfy4f4xy3f4x2y2 2zz 2 yx yy 2xyf2 2yfy2fsft2xf

t 11 12y 2xyf21

f22y 2yf2xf2xy3f5x2y2f2 2zz 2 yy y xf2 2xf sftx2fsft 2xy 12y 22y 令usinxvcosywexyzfdufwcosxfexyf，zfdvfwsinyfexyf 1 3 2 3 2zzcosxfexyf 2

sinxfcos dufwexyfexyfdufw xf11 13x 31 33x sinxfcosxcosxfexyfexyfexycosxf exyfsinxfcos2xf2exycosxfe2x zcosxfexyf yx w x xyfdvfwcosxf12dyf13y f3

32

33y 33 exyfcosxsinyfexycosxfexysinyfe2x 2zzsinyfexyf yy cosyf dvfwexyfexyfdvfw siny 23y 32 33y cosyfsinysinyfexyfexyfexysinyf exyfcosyfsin2yf2exysinyfe2x 设cosyexx2y0dy解F(xycosyexx2y ex exdxx 2 sinyx siny2xylnylnx1

y 解设F(x,y)xylnylnx1，则dyFx xxy x1xylnylnx1y

xy1

x2yx设

arctanydy x2x2x2解F(xx2

arctanxx2x2x2x2

y2 y2

x2y2x2 x x 2 xx2xx2x2x1 x

x2 x2设

xcosycosz1xy解F(xyzcos2xcos2ycos2z1z

2cosxsinxsin2x，z

2cosysinysin2y sin 2coszsin sinF(xyzxyyzzx0zz(xy，其中F 求 ， F(yz)F F(xz)F解 1 2， 1 2. F(yx)F F(y 设由方程F(xyz0分别可确定具有连续偏导数的函数xxyz)yyxzzz(xyxyz1yz证因 xFy，yFz，zFx 所以xyzFy Fz Fx F y F

F 1 x y z(uv)具有连续偏导数，证明由方程(cxazcybz)0所确定的函数zf(xy满足azbzc 证令ucxazvcybzuc，vc，u

vab u v u v zx

au au于 azbza b c au au2设ezxyz0，

x解F(xyzezxyzFyzFzezxyx于是zFx ezyz(ezxy)yzezzy2zz xx zyz

ezxy

ezxyy ez 2y2zez2xy3zy2 ezxyzz(x,y是由方程ez

xz

0

22x解F(xyzezxzy2FzFzezxFy2yx

，zF

2 y y

ez

ezzezxzez y 2yezx 2ez ezez2yezx2 ez22由exzy0z(0,1)0

22微分dz2

x2y2

x2y2解F(x2y2yzyz x2y2

yzx2y2z2xyyzx2y2z2xyx2y2z2x2y2x2y2 yz

xz xxz x2y2xzx2y2z2yxyx2y2z2x2y2dz

zdxzdy

xzx2y2xzx2y2z2xyx2y2z2yzx2yyzx2y2z2xyx2y2z2 dx(1,0,

2dy （）设x22y23z220,dxdxxuyv （）设yuxv1,xyxy ）

）dz2x2ydy

2x4y 6z

2ydydz dy 2y 3z 在

2 D2

6yz2y0

6xzxx(6z1)6yz2 2y(3z2 2 2

6yz2

3z

xuyvy

v

Jx

xy0 x

xuyvx2v

yuxv xyJx2y20uxvyu，vxuyv x2 x2此方程组确定两个二元隐函数uu(xyvv(xyF(x,y,u,v)xeuusinv，G(x,y,u,v)yeuucosv F1，F0，Feusinv，Fucosv G0，G1，Geucosv，GusinvJ

(F, eusin

ucos

eucos 1J 1(F,1J

ucos

， J(x,

eu(sinvcosv) 1(F,

ucos1J1J

， J(y,

eu(sinvcosv) 1(F,

eusin 1J1J

cosv，u J(u,

eucos

u[e(sinvcosv) 1(F,

eusin 1J1J

sinv.u J(u,

eucos

u[e(sinvcosv)（）xt2y1tzt3在(1,0,1)t）t1

y1tzt2在t1t （）xtsint，y1cost，z4 在点 1,1,22处

10

在点(1,13)处解（）x2ty1z3t2，而点(10,1)所对应的参数t1 T(2,1,3)

x1yz1 2(x1)y3(z1)0 2xy3z50（）因为x1tt

t(1

1z2tt1t

，y(1 (1 t

T1,1,2 x 2y2z1 2x8y16z10x1costysintz2cost，点1,1,22 为t 2

T1,1,2 z2

222xy 2z402

10

2ydy2y 2y

dy

0

dy2z 2204 204 22204 204 22

4xyx

13从 T1,1,1 3

x1y1z3 3x3yz30xtyt2zt3x2yz4解因为x1y2tz3t2，设所求点对应的参数为t Tn014t3t20t01

) 1 , 3 27（）3x2y2z227在点(3,1,1）） 4 解（）F(xyz3x2y2z227n(Fx,Fy,Fz)(6x,2y,2z) 所以在点(3,1,1)处的切平面方程9(x3)(y1)(z1)0 9xyz270 x3y1z1 （）F(x,y,z)ln(1x22y2)z 4 n(Fx,Fy,Fz)1x2

22 2

x22y2,1 所以在点(1,1ln4)处的切平面方程

x2y2z34ln20x1y1z2ln2y yF(x,y,z)arctanzx n(Fx,Fy,Fz)x2

2,

2,1 x n 1111,1,

4 4所以在点 4

2 xy2z 0 2z x1y1 4 x22y23z221x4y6z0 设F(x,y,z)x22y23z221，则曲面在点(x,y,z)处的一个法向nFxFyFz)2x4y6z已知平面的法向量为(1,4,6)

2x4y6zx1zyz

3z解 z2，则x1，y2所以切点 1,2,2 x4y6z 证F(xazybz011

x

z 3x2y2z216上点(1,2,3xOy弦解F(xyz3x2y2z216n(Fx,Fy,Fz)(6x,2y,2z)(1,2,3)n1n(1,2,3)6,4,6)xOy3n2(0,0,1)n1n2的夹角为，则所求的余弦值3cosn1n2n1

624262

xyza3（a0，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体F(xyzxyza3，曲面上任一点(xyz的法向量为nyzxzxy

yz(Xx)xz(Yy)xy(Zz)0 13a33a3 9V a zx2y2在点(12)处沿从点(1,2)到点(2

3)3解按题意，方向l(1,3)，e1 3 z2x，z2y

22

2，

4(1,2

224

331 332 3解依题意，el 又

2 x2xx

x21

. 22(1,222

1

y2 a

b

1z

b2在点

a2b2 解先求切线斜率：在a2b21x2x2ydy b2

b2 于 2 a dxa,b

22

l(b,a)，

k1a , a2a2a2 2，2，a,b22 2 2

aa,b 222212(a2212(a2b2a2 aba2 22

a2a2求函数ux2xyz2在点(10,1)处沿该点到(3,1,3)解因为u2xyuxu2zx

2，

2l2,1,2，

2,1,23 3 所 221122 求函数ux2y2z2xtyt2zt3上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.解因为x1y2tz3t2 eT1,

2，

2

故T

2 2 2 67 求函数uxyzx2y2z21上点(xyz67 y解设F(x,yzx2y2z21Fx2xy

2y，

2z)x2y2 x2y2 x2x2y2 x2y2 x2y2 u1，u1，u1

xcosycoszcos00(x0,y0,z0 (x,y,00x2y2 x2y2zx2y2 x2y2z x2y2 x2y2 x2y2 求函数uxyz在点(1,1,1沿方向lcosacosbcosc的方向导数，gradu及gradu解uyzuxzu

1，

1 gradu

cosacosbcosc

k=i+j+ki+i+ gradu

j+j+31212131313gradu的三个方向余弦为cos ，cos 131313求函数uxyyzzx在点(123)解uy

ux

uy 3，，，，

jj+

gradu(1,2,3)

ii+

k=5i+4j+3k一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数z10002x23y2) 解 4x， 6y， 4， x

6gradz(1,1)

ii+

j=4i6由梯度的意义可知，沿梯度(4,6)grad(uv)gradugradvgrad(uv)vgraduugradvgrad(u2)2ugradu v v v uuu vvv 证（）graduvxxyyzzxyzxyz gradugradv （）grad(uv)xuv,yuv,z vuuv,vuuv xy xy vgraduugrad 2 2 2 uuu （）grad(u)xu,yu,zu2ux,y,z2ugradu 设a0f(x,y)3axyx3y3解解方程组求得驻点(a,a)

f

3ay3x23ax3y2 Afxx(a,a)6a0，Bfxy(a,a)3aCfyy(a,a)6a，ACB236a20由判定极值的充分条件知：在点(aaf(aaa3z4(xy)x2y2解解方程组求得驻点(2,2)

fx42xf42y Afxx(2,2)20，Bfxy(2,2)0Cf(2,2)2，ACB240zx2y21xy30下的条件极值.解本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问题.条件xy30可以表示成y3xzx2y21，则问题化为求zx23x)21 2x2(3x)4x60，得x d2又 40. 3 3 212 求三个正数，使它们的和为而它们的x，y，z(xyz0xyz50下uxyz

L(x,y,z)xyz(xyz50)令LxyzLxzx50

求得y ,是唯一的驻点，根据问题性质可知函数uxyz在该点处取得极大值z

. 解设所求点为(x,y,z)A(1,1,1)B(231)的距离平方和为u(x1)2(y1)2(z1)2(x2)2(y3)2(zL(x,y,z)(x1)2(y1)2(z1)2(x2)2(y3)2(z1)2(xz)令Lx2(x1)2(x2)L2(y1)2(y3)x3

44求得y2,z 4点为32,34 2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体问矩形的边长各为多少时，x，则另一边长为pxpx则旋转所成圆柱体的体积为Vx2pxdV2xpxx2x(2p3x0x2p 2y2

在直线x2z7上找一点，使它到点(0,1,1)的距离最短，并求最短距离.解设所求的点为(x,y,z)，则此点到点(0,1,1)的距离为x2x2(y1)2(z L(x,y,z)x2(y1)2(z1)2(y2)(x2z7)令Lx2xL2(y1)Ly2(z1)2y2求得y2,z612612(21)2(3PABxyPP(x,y)0.005x2y欲用万元购料，已知A、B原料的单价分别为1万元解x2y150PP(xy)0.005x2y L(x,y)0.005x2y(x2y150)Lx0.01xy L0.005x2x2y的量大数量为1250.）pop与之间的经验公式apb解设Q6Q[i(apib)]2令Q62p[(apb)]

Q

b)]6p2

p

pi

i i ia6p6bi1

计算，得p228365.28p396.6p101176.3 i

i

28365.28a396.6b396.6a6b解得a 2.234，b 95.33 所以经验公式为2.234p3f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续 条件，f(x,y)在(x,y)连续是f(x,y)在该点可微分 条件 zf(xy在点(xy的偏导数xyf(xy 条件zf(xy在点(xy可微分是函数在该点的偏导数xy条件

（）zf(xy的偏导数x及y在点(xyf(xy条件

2 2（函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数xy及yx在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的 x2y22xx2答案）充分，必x2y22xx2

的定义域 D{(x,y)|xx2y22}f(xyxyx2y2f(xy解f(xyxyx2y2xy)(xyf(xyxy11 x2

（2）

ln(xeyx2x2(x,

x2y2ex2

(x,解（1） 令xcos,ysin，lim1 x2

1cos

x2y2ex2ln(xey

02e2cos 因为函

x2x2

f(xyf(x0y0x2.limln(xey)x2.x2f(xy)x2y2xy2当(xy00解取yxyxx2 2

x(x,y)(0,0)xyxyx

y

x2

(x,

22xy

x44xx2

x不存

y因此(x,

x22xyxtan(x2f(x,y)

,yy解当y00时 (x,y)(x0,y0

f(x,y)f(x0,y0)tan(x2 当y00时 f(x,y) x0f(x0,0)(x,y)(x0,y0 (x,y)(x0,y0 f(xyx2ey2x1)arcsinyf(1,0)f(1,0)x f(x,0)x2，f(1,0)x

xd(x2)

2f(1,y)ey2，f(1,0)d(ey2

0

y） ）z 2z z 2解（） x

x

2， xy22z2(xy2)4y22(xy2 2z 2 (xy2 (xy2)2， yxy2(xy2)2 （）

yxy

2

y(y1)xy2，

2z yln2xlnxlnx 2

yxy1xy1yxy1lnxyzz(xyx2y2z2yez所确定的隐函数，求dz设uxyyzzx，求du解（1）由2xdx2ydy2zdzezdyyezdz dz dxyez

2yyez2zdy（2）由lnuylnxzlnyxlnzdux

yz

x ydxlnydzzdylnzdx

lnxdylnxdy yzyzzxxyyzzx

dxlnx

dz x

y

z zxyxx(t)y(t均可微，求dzy z z

1

x dtxdtydt

yy

xy2 x y 设uyfyxgxf,gxx2yxy 解uyf1gxgyfgy y x2y g x2x2 x3 y x3g

fxg1 xy

y2 x x x2 y2 x2g 故xx2yxyyy(x由(cosxysiny)x1确定，求dy解由eyln(cosx)exln(siny)1xeyln(cosx)

ylncosx

(sinx)

exln(siny)

lnsiny

cos

y0 cos

sin (cosx)yylncosxytanx(siny)xlnsinyxcotyy0(cosx)yytanx(siny)xlnsin (cosx)ylncosx(siny)xxcotyxacosyasin在点(a0,0)z dxasin，dy

acos，

b点(a0,0)所对应的参数0T(0,a,b)即

xayz xbyaza(y0)b(z0)0 aybz0

cos sincossin 2sin 4

M

M 22故(1)当π时，u取得最大 ；(2)当5π时，u取得最小值 22

当 或 ， hRx2RhRx2zh

V2x2yzF(xyz)xyz[Rzhhx2y2Fyz x2x2hy x2Fxz FzxyRx2x2R(zh) 解 xy2R，z1h，此时 8R2h

2(x,y)(,)xyx2y2x2y2

1解由于

，有

2 xy

2 1 1lim lim

0x 2

x2 2 0(x,y)(,