咸阳市重点中学2022-2023学年数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若，，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.2．已知，且满足，则值A. B.C. D.3．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）A. B.C D.4．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.5．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年，）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（）A.2年 B.3年C.4年 D.5年6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）A. B.C.2 D.7．定义在上的奇函数以5为周期，若，则在内，的解的最少个数是A.3 B.4C.5 D.78．已知，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知函数，则函数的零点所在区间为（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）10．方程的解所在的区间是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为________．12．已知幂函数的图象经过点（16，4)，则k-a的值为___________13．函数的最大值与最小值之和等于______14．已知函数的图上存在一点,函数的图象上存在一点，恰好使两点关于直线对称，则满足上述要求的实数的取值范围是___________15．已知函数，则函数f（x）的值域为______．三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式和单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.17．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.18．已知函数的图像过点，且图象上与点最近的一个最低点是.（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的取值范围.19．已知函数，，.（1）若，解关于方程；（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.20．已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.21．为适应市场需求，某公司决定从甲、乙两种类型工业设备中选择一种进行投资生产，根据公司自身生产经营能力和市场调研，得出生产经营这两种工业设备的有关数据如下表：类别年固定成本每台产品原料费每台产品售价年最多可生产甲设备100万元m万元50万元200台乙设备200万元40万元90万元120台假定生产经营活动满足下列条件：①年固定成本与年生产的设备台数无关；②m为待定常数，其值由生产甲种设备的原料价格决定，且m∈[30，40]；③生产甲种设备不需要支付环保、专利等其它费用，而生产x台乙种设备还需支付环保，专利等其它费用0.25x2万元；④生产出来的设备都能在当年全部销售出去（Ⅰ）若该公司选择投资生产甲设备，则至少需要年生产a台设备，才能保证对任意m∈[30，40]，公司投资生产都不会赔本，求a的值；（Ⅱ）公司要获得最大年利润，应该从甲、乙两种工业设备中选择哪种设备投资生产？请你为该公司作出投资选择和生产安排

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的行贿可得到，再构造函数，通过分析和的图象与性质，即可得到结论.详解：由题意在上单调递减，所以，在上单调递则，所以，在上单调递则，所以，令，则其为单调递增函数，显然在上一一对应，则，所以，在坐标系中结合和的图象与性质，量曲线分别相交于在和处，可见，在时，小于；在时，大于；在时，小于，所以，所以，即，综上可知，故选D.点睛：本题主要考查了指数式、对数式和幂式的比较大小问题，本题的难点在于的大小比较，通过构造指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题.2、C【解析】由可求得，然后将经三角变换后用表示，于是可得所求【详解】∵,∴,解得或∵,∴∴故选C【点睛】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力3、你4、C【解析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围【详解】由题，函数f（x）＝ax+1单调，又在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题5、C【解析】根据题意，列方程，即可求解.【详解】由题意可得，令，即，解得：t=4.故选：C6、A【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.【详解】由得，∴.故选：A.7、D【解析】由函数的周期为5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）为奇函数，f（3）=0，若x∈（0，10），则可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根据f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零点的个数是2，2.5，3，5，7，7.5，8，共计7个.故选D点睛：本题是函数性质的综合应用，奇偶性周期性的结合，先从周期性入手，利用题目条件中的特殊点得出其它的零点，再结合奇偶性即可得出其它的零点.8、A【解析】化简得，再利用充分非必要条件定义判断得解.【详解】解：.因为“”是“”的充分非必要条件，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A9、B【解析】先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点【详解】解：函数在上为增函数，又（1），（2），函数在区间上有一个零点，故选：10、C【解析】根据零点存在性定理判定即可.【详解】设，，根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.故选：C【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为考点：球的表面积，体积公式．12、【解析】根据幂函数的定义得到，代入点，得到的值，从而得到答案.【详解】因为为幂函数，所以，即代入点，得，即，所以，所以.故答案为：.13、0【解析】先判断函数为奇函数，则最大值与最小值互为相反数【详解】解：根据题意，设函数的最大值为M，最小值为N，又由，则函数为奇函数，则有，则有；故答案为0【点睛】本题考查函数奇偶性，利用奇函数的性质求解是解题关键14、【解析】函数g(x)=lnx的反函数为，若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点，即在x∈R上有解，，∵x∈R，∴∴即.三、15、【解析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．【详解】解：函数，，由，解得，此时函数单调递增由，解得，此时函数单调递减函数的最小值为（2），（1），（5）最大值为（5），，即函数的值域为：．故答案为．【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题．三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1），增区间为；（2），.【解析】（1）结合图象和，求得的值，再根据，，求得的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；（2）根据函数图象的变换法则写出的解析式，再结合正弦函数的对称性以及图象，即可得解.【小问1详解】解：设的最小正周期为，由图象可知，则，故，又，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，令，则，故的单调增区间为.【小问2详解】解：将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，由，知，由可得，由可得，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，则点、关于直线对称，故，所以，，作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图可知，当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.综上所述，，实数的取值范围是.17、（1）；（2）.【解析】（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；（2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，可得，函数.（2）由（1）知所以在上单调递减.由，得，因为函数是奇函数，所以，所以，整理得，设，，则，当时，有最大值，最大值为.所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据，两点可求出和周期，再由周期公式即可求出，再由即可求出；(2)根据求出函数的值域，再利用换元法令即可求出函数的取值范围.【详解】（1）根据题意可知，，，所以，解得，所以，又，所以，又，所以，所以（2）因为，所以，所以，所以，令，即，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值7，故的取值范围是.【点睛】方法点睛：由图象确定系数，通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出和，或由方程(组)求出；②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定和.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，定义域为.由，可得，可得，解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；（2）当时，.当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；当时，令，得，此时，所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.，，由于，所以，解得.此时，.综上所述，实数的取值范围是；（3），由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在区间上为减函数，所以，，由题意可得，可得，所以，.①当时，；②当时，令，设，可得.下面利用定义证明函数在区间上的单调性，任取、且，即，，，，，，即，所以，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值.综上所述，函数在上的最大值为，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.20、（1）（2）【解析】（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.【小问1详解】，则或，当时，，；【小问2详解】若，则，，实数a的取值范围为，即.21、（Ⅰ）10（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）由年销售量为a台，按利润的计算公式求得利润，再由利润大于等于0，分离参数a求解；（Ⅱ）分别写出投资生产甲、乙两种工业设备的利润函数，由函数的单调性及二次函数的性质求函数的最大值，然后作出比较得答案【详解】（Ⅰ）由年销售a台甲设备，公司年获利y1=50a-100-am，由y1=50a-100-am≥0（30≤m≤40），得a≥（30≤m≤40），函数f（m）=在[30，40]上为增函数，