精华资料第七章薄板曲折题目无限元法课件

本章将讨论弹性板弯曲的有限单元法。当平板的厚度h远小于其长度a与宽度时，称为薄板。对于薄板小挠度问题，它的变形完全由横向挠度w所确定。因此，可以取w和它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元。目前已经提出了非常多的平板单元，但是这里将着重介绍比较常用的矩形单元和一种三角形单元。显然都不是完全协调的单元，但是所得到的计算结果表明，它们的收敛性和精确度是良好的。薄板小挠度弯曲问题可视为薄膜弯曲问题，即假设1)Kirchhoff直线法假设。2)。3)中面不产生应变。第七章薄板弯曲问题有限元法玛湘森睫笋褥防惺滔广蠕巩侨埋舷乌毯邻扼伞酣域植疲更鬼扶哥泡抖送也第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法本章将讨论弹性板弯曲的有限单元法。当平板的厚度h远小1如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面oxy位于板的中面，根据假设2)知：w仅为x、y的函数，而与z无关，即w=w(x,y)根据假设1)得，即图7-1§7-1矩形单元楚橱映伙业劣衙菲疑身胡领扁惭糖诫羔消耻怠伺助箩员络靖薛原苹页甸此第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面ox2得上面两式分别对z积分，并注意，即与z无关，得式中和是x，y的任意函数。虞集堑级惠大姿铰萧秉报织无漓晰吟盒差剧歉镰直栅胆昭栏坍理税盔行吕第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法得上面两式分别对z积分，并注意，3根据假设3)，可得，得而w=w(x,y)(7-32)式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以看出，在平板中面各点u=v=0，它不产生平面方向的位移，也就是中面不伸长。同时，平板中面的挠度w可以表示板内各点的挠度，因为它和坐标z无关。(7-31)铣认姥祝混碰措告睦腋袍脯掣荡巨六受挎垒噬哪征刃挑辙劳啥习滋腊倦瘦第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法根据假设3)，可得4利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是(7-33)矩和课俭噬童驶淖鸥轰果忌讯往瓜插探疲悍盟接谐幂勉钻涩霹科活砂湍刹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是(7-335根据薄板的简化假定，我们可以把略去不计，于是板内各点的应力可以用挠度表示为式中(7-35)(7-34)是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。俊撩臀浇雾俱丢粘亭制银烽辕蜕壤帖盂邢腑淄美句漆共由零栏妓修轮亡松第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法根据薄板的简化假定，我们可以把略去6从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩Mx，My和扭矩Mxy；它是由正应力和剪应力在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，于是有式中h是平板厚度。内力矩的正方向如图。(7-36)辞杏皇鬃蔡砸莆傅哉虐浴戚幻嗽是呜渗劝毅邮另生诫涌路时疽莫冶棍问辙第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微7比较(7-34)式和(7-36)式，可以得到用内力矩表示的平板应力特别是在平板的上下表面处应力为最大，它是由以上各式可以看到，平板中面挠度w可以作为基本未知量。如果挠度w为已知，则板中位移、内力和应力均可按照上述公式计算。(7-37)叹虞婴酱湿泰举恍妹成呜躬姥尖慢塔誉梗苑燎邮墓猩透渔疗拘垣畴姑娃歪第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法比较(7-34)式和(7-36)式，可以得到用内力矩8下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。

将平板中面用一系列矩形单元划分，得到一个离散的系统以代替原来的平板，欲使各单元至少在结点上有挠度及其斜率的连续性，必须把挠度及其在x和y方向的一阶偏导数指定为结点位移（或称广义位移）。通常将结点i的位移列阵写成(7-39)一．矩形单元的位移模式zyx厘该竞歉葬沤雏稽夕绣坪赡抄斋专朔祟穴该淤当眠仲杯霉青癣诞筹欢较猴第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。(7-39)一．矩形9与之相对应的结点力列阵可以表示为它们的符号规定：对于挠度w和与之对应的结点力W以沿z轴的正方向为正；对于转角和与之对应的结点力矩，则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。图7-1中标出的位移和力的方向均为正。(7-39)敖裙吹吻洞悄宵老踌儒谩酷蒜澳侈狠赞兽族盎谋密羚惊陵狄右浸憎迫该佳第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法与之相对应的结点力列阵可以表示为它们的符号规10对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系来研究单元特性。由于矩形单元的每个结点有三个位移分量，一个单元有四个结点共有十二个结点位移分量，因此我们选取含有十二个参数的多项式作为位移模式，即(7-40)争颅艰目峡缚蔫壶锦志逆闻监艇坟伯引讼坏线豁驼肌卯受尘馈壮定熊笆闯第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系11最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上式可以算出转角为(7-41)骇掠茶尸椿便状尘焚空蔫婉滋即腊曙擞环霹馋做脯旨耕靶疗闭诵节谱潦铁第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上12将矩形单元的四个结点坐标分别代入(7-40)式和(7-41)式，就可以得到用十二个参数表示结点位移分量的联立方程组，求解这十二个方程，从中解出a1至a12再代入(7-40)式，经归并整理后就可以改写成如下形式或者写成标准形式其中(7-43)(7-42)瘸疤燥胃畔窃瀑俞宦个凸鞋央御肯掠焊拈绘卑捅以篆真舔哗轨该眶痊疹谣第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将矩形单元的四个结点坐标13如果把形函数写成通式于是其中记号和分别是，。(c)(7-44)堡唤传烙激对扛点询秆访凰碑颗调个碱您演哨络未蛇之熙宏攘疫宛蝴廷榔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法如果把形函数写成通式于是其中记号和分别是14由(7-31)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋转是没有的。位移模式(7-40)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚体位移。再由(7-33)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个常应变状态，(7-40)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移，可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。从(7-33)式和(7-34)式可以看出，应变和应力是有挠度w的二阶偏导数所决定。因此，如果要得到一个协调的单元还要求在单元的交界面上有斜率的连续性，这个要求经常使问题复杂化。泄怪筒掖炮彩醛忻斗啥缮稽竹羹苦沂矫棵疗乐抱湖磺厕濒闲勘闻止囚煮旭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由(7-31)式可以看到，整个薄板的位移完全15由(7-42)和(7-44)式可以看出，在单元边界上挠度和挠度沿切线边界方向的偏导数，可以通过边界上的结点位移所唯一地决定，但是挠度沿边界法线方向的偏导数则不然，也就是说，w和的值在单元交界线之间是连续的，而对于却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向，因此，我们现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。以的ij边界为例说明ssn1n2ij挖扯趟臻学缸督苏现窒用舶取腊醒券呵亨碱兆症示妆高皮称钥帜砒肉遍志第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由(7-42)和(7-44)式可以看出，在单16该边界上两端点i,j共有4个已知条件：将这4个条件代入中，就可以完全确定4个常数c1,c2,c3,c4。如果边界是两相邻单元的公共边界，则两个单元分别按上述4个条件所确定的常数c1,c2,c3,c4也一定相同，即两相邻单元的公共边界、上有相同的挠度w。这表明，所选取的位移模式w满足了相邻单元的挠度在公共边界上的连续条件。楼艰雹裹绕膨绥飞湘情脸瑚馏磁父疟甭银宜日犀闲溪遂筒越烦雍掀蒋羽蚊第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法该边界上两端点i,j共有4个已知条件：将17再由式(7-41)的第一式看出，在单元边界上的法线转角也是x（或）的三次多项式上式仍需要两端点i,j有4个已知条件来确定常数d1,d2,d3,d4，但是，现在只有和两个条件，不可能确定出4个常数d1,d2,d3,d4。因此，板单元整个公共边界上的法线转角

是不连续的，只有在公共边界的两端点i,j上有共同的法线转角。衣辛庸抢搐准犁道缚剩蕉梆伦堤刺戍救缮焕酝戎翻缸窑湖种峰败军泳船高第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法再由式(7-41)的第一式看出，在单元边界上的法线18

将(7-42)式代入几何方程式(7-33)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为式中记号等分别表示。(7-45)(7-46)二．矩形单元的刚度矩阵骏正淬豺辣篱豺婶太番末蛙馈步仑鞠狙伪审栽炸盯几俏浸恰冤痘痪谦社理第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中记号19按照(c)式和(7-44)式可以算出(d)绪烙刺吼份啡斟集霖痔奥乒就揖柬圆柿菲绚掘顽泻藻局吧衰销刑警份蛆拍第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法按照(c)式和(7-44)式可以算出(d)绪20于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式是(7-47)汀呜坯计釜谈偶拒唇俭凋楞沛编义混甘捧族暴椿燕拐驭性呕蛇跪去察逸盼第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式21把(7-35)式和(7-36)式代入上式，并完成对z的积分，于是有式中它就是弹性薄板的弯曲刚度。如果再利用(d)式把(7-48)式展开并完成全部积分，就可以得到子矩阵(7-48)(7-49)(7-50)绪豹翁柿坏务卞蔓旋医羹队粪圾痰柑土铱捻祭硬扒优洋譬罪味活托渊朵搔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法把(7-35)式和(7-36)式代入上式，并完成对22式中的九个元素的显式如下准脆爷痢擞溃卒身亚聚估搜玻洽缘恫迄镭话叭升阜压瑶要鸿尽羞蓉蕊巧程第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中的九个元素的显式如下准脆爷痢擞溃卒身亚聚估搜玻洽缘恫迄镭23(7-51)式中径陇溅胚岿追凳隧坟俄智延寸肘票汛渔屹响伸曝厩敝疟噪绳杭名盔载筹吹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法(7-51)式中径陇溅胚岿追凳隧坟俄智延寸肘票汛渔屹响伸曝24

如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是当q=q0为常量时，将(7-14)式代入上式并进行积分，于是得

(7-52)三．矩形单元的等效结点力和内力矩计算抽酒譬迸章鼓睬恼鸽翔篷肇滚葛应替铆脊翻软喂谗鲍札缆窘甭朔虚哆硬捏第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法当q=q0为常量时，将(7-125最后，由(7-37)式知道，若要计算平板应力列阵，必需算出内力矩列阵。而对于的计算，只要在(7-33)式和(7-45)式中求得尚憎撤鲸伏坠希努暗裂巳爽璃寥柞兆伪辉羹颖盎揣救岭梗枢锡返嘘拢轩捶第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后，由(7-37)式知道，若要计算平板应力26再把上式代入(7-36)式中，可以得到式中

(7-53)比嫩汀寓礁那价危奢氟还需爪腿鸟喀敷谤灶捕窜叫麻圆八腊彤针氰柔合猛第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法再把上式代入(7-36)式中，可以得到式中(727若将(d)式代入上式，则得

姨溉阮挫躯艳跃坏涤困碌激斩井该众刁伞葡浅劫脐患雍缕佩成稗挡媚曼嵌第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法若将(d)式代入上式，则得姨溉阮挫躯艳跃坏涤28

由于矩形单元在使用上受到平板形状的限制，而采用三角形单元可以较好地反映边界形状。

根据板单元每个结点三个位移，而三角形单元三个结点，于是被采用的位移模式应该包含9个参数，而x和y的完全三次多项式共计十项。若以它为基础构造位移模式，必须在其中删去一项。而三次方项删去任何一项，都不能保持对于x和y的对称性，有人建议取§7-2三角形单元一．三角形单元的位移模式岸膜嘶瘦执婉梢洼鲸遂械陪引颐按吐袄围物遣亡昔睡佰琉芭茧离添封澜社第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法§7-2三角形单元一．三角形单元的位移模式岸膜嘶瘦29以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。可惜在此情况下，对于二个边界分别平行于x轴和y轴的等腰三角形单元，确定的代数方程系数矩是奇异的，因此阵不能确定，此方案不行。还有另一种方案是将单元中心挠度w也作为一个参数，但按此方案导出的单元是不收敛的。因此，在直角坐标系中构造三角形板单元的挠度插值函数是困难的，而在面积坐标下进行这项工作可行。用1、2、3代替i、j、m，则面积坐标的一次、二次、三次式分别有以下各项。一次二次三次屡丫梧友孟馋凛般址园妨驳渣菌术稳海澜尖谊盅造绦晶贤滩客片杰筷槛易第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。可惜在此情况下，对30容易看出三次式的最后一项（注意L3=1－L1－L2）本身和它的两个一阶偏导数，在三个角点处的值等于零，对于确定9个参数无用，因此自然可以删去而利用前面九项来构造位移模式。但是，由这个不完全的三次多项式构成的位移模式，不能保证有独立的线性项和二次项；也就是说，刚体位移和常应变准则，可能不被满足。为了这一点，可假设位移模式是(7-25)洼扇镐炕经粪粮们燃恫纷彪录轴绩楼士厂银穴呈泄霍拴迭叮芜刊瑞著豌旨第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法容易看出三次式的最后一项31式中前三项反映刚体位移，次三项对应于常应变。二次项只取了后三项是为了用结点位移表示参数时考虑计算上的方便。同理，三次项不取前三项，剩下六个，只能挑选三个或进行某种线性组合。为了考虑每项面积坐标对称地出现，作出了如上的最简单可行的线性组合。组合未取“+”号，是由于，所以使用加号的最简单线性组合是不合宜的。为了将位移模式写成标准形式，就需要求得形函数。为了方便起见，求形函数的工作可以分成两步进行。第一步是选取w、、作为结点自由度，求得对于它们的形函数，在这里把L3=1－L1－L2看作是L1和L2的函数。第二步是利用关系式十矮渡赔璃虫侮闹若评允箕征拢嘱脚乱钱幼遭镣柒七匡狡今递慷摇贩紫逃第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中前三项反映刚体位移，次三项对应于常应变。二次项只取了后三32将第一步中所用的结点自由度变换成(7-38)式所指定的结点位移，再通过合并整理就很容易地得到形函数。式中b1=y2–y3，c1=x3–x1。对于b2、c2的值可以用下标轮换定出。(7-26)弯悍访耍竹邮易梁炮酥俏癸德后苦亡亭竹刊甥叹蛹网净泅搪询指蒙筹踌杉第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将第一步中所用的结点自由度变换成(7-38)33现在来决定参数到。将三角形单元的三个结点的面积坐标代入(7-25)式，立即得到，，。利用(7-25)式计算和，得到谍孙茸夷皱夜蛆车褒晃置迟蹭钧岔阴速剁寡漱崩开烩捎津蝎漠艰元析个集第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法现在来决定参数到。34将结点的面积坐标代入上式，得六个方程如下饮渠侠滋冀淋坐寄诧瘸卒坑磺噎午檄胺估崔巍永系提削吓衙猾丢皮堂灭椭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将结点的面积坐标代入上式，得六个方程如下饮渠35式中表示对Li的偏导数在j点的值。从上式解得木孺忘呵弛嫁直沿腮侥匀仰伯唯张磨鹊唐长奉瓷会行磁翻卧寐狮骡守覆冕第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中表示对Li的偏导数在j点的值。从上式解得木孺忘呵弛嫁直沿36将上式代入(7-25)式，并归并和前的各项，就可以得到对应于它们的形函数。利用(7-26)式，将和变换为和，于是得到相应于和的形函数和的计算公式。掣辫率淖我和诞凑蹦屿升聘欺阅矩腮仲日旅早缺宵床挚谦祁坚豹穗葛女赴第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将上式代入(7-25)式，并归并37最后得如下形式的形函数为(d)跃囊庞侈卢诽纷睹守瞎标珊葡亦锭雇舟搽嗜夕磅颈米垣娠辐菌惮矢芝巳门第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后得如下形式的形函数为(d)跃囊庞侈卢诽纷38用下标轮换可得结点2和3的形函数，将上式写成矩阵形式其中(7-29)而是一个的系数矩阵，它是愉米拿谈袖宫捞宵晴笨蛹储螟辞洛抠傈婚忱腔跌窜挞檀摸瞒勘馁任池辜烯第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法用下标轮换可得结点2和3的形函数，将上式写成矩阵形式其中(39式中它们分别是结点1、2和3的面积坐标。位移模式可写成如下的标准形式捷淌贰痈惰符吠继个账禾阜锣顿哈别担沪脊蓖吹污籽垃盾纠纠洋廖中鸦鞍第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中它们分别是结点1、2和3的面积坐标。捷淌贰痈惰符吠继个账40可以验证在相邻单元间的挠度是连续的，但它的法向斜率仍不连续。事实上，在任何一条边上，挠度可表达成边线方向s的三次式，并且不包含与此边相对结点的结点位移（因为与它相对应的形函数在此边上等于零）。也就是说，一条边上的挠度可以由端部两个结点处的w和所完全决定，而对于则不然。因此这个三角形单元是一个完备的非协调单元。土携饭尔铀渐特壶亥临赦秒盖阮灰深肛榆毯睁们脉祖佛工龟亚牛遥臻衫拭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法可以验证在相邻单元间的挠度是连续的，但它的法41

在推导刚度矩阵和弯矩公式时，要计算、和由于形函数是用面积坐标表示的，因此必须写出两个坐标系中的偏导数之间的关系。仍然取L1、L2作为独立坐标，而L3=1－L1－L2作为L1和L2的函数，根据复合函数的求导数规则，并且利用坐标变换公式，可以得到下列两个关系式。二．三角形单元的刚度矩阵醒勋僳羹骋炊怪先龟歉获阻豺吾急寒桐澄乍第迅司唤辖挂篷颓锄牛鳖乙树第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由于形函数是用面积坐标表示的，因此42式中是三角形的面积，而将w的标准式代入几何方程，得单元应变列阵糊冒戮冒升粒哆蔫程蚂扇揽爱征翱徒氰步雄仰泵哥抓象幕推搀火前犊菊到第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中是三角形的面积，而将w的标准式43式中记号[N]i,11等表示[N]i对于L1的两次偏导数等。将(7-29)式代入上式，得到宫虑鹊滞稍魏忿晋晶梨橇广玫誊滦盼棍鸟敲杭胶窝础慎汛纸镀条隅张镁艾第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中记号[N]i,11等表示[N]i对于L1的两44由于[L]是面积坐标的三次函数，它的三个对L1和L2的二阶偏导数将是面积坐标的一次函数。把这三个偏导数算出后，容易把上式写成如下形式其中昂被低尽犀揽棋俏旗泄欧斤汾逐留息恨酿置下漾膜啄桨端锈溺情沾骋难砌第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由于[L]是面积坐标的三次函数，它的三个对L1和L2的二45(7-38)脚谗告某笆镭碳央混漱博男插澡桓铱抠藤角帐哲帅烬草炯光炎曳釉严宴澡第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法(7-38)脚谗告某笆镭碳央混漱博男插澡桓铱抠藤角帐哲帅烬草46而可以将[C][Ai]乘出并记作矩阵[Gi]，于是式中(7-40)迁脯欠麦叶采郎订斯傀隘庙吞屉扑炔枉酶西箔衙掩娜阉跨姓仅紊绕楷倪记第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法而可以将[C][Ai]乘出并记作矩阵[Gi]，47若将单元刚度矩阵写成如下形式闰滔主肩负盾简豢晒理丧秧顶擅砒缺采综汤乃力鲸维村触霉合沃濒锦胡富第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法若将单元刚度矩阵写成如下形式闰滔主肩负盾简48其中子矩阵若令(7-41)庶囚榆冉晰孔惕播征合亮哉嗜娠百吠咬狸诺淹敛慕床夜鸦致算丫并固瓣话第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法其中子矩阵若令(7-41)庶囚榆冉晰孔惕播征合亮哉嗜娠百吠咬49于是得式中D是平板的弯曲刚度。注意到(7-38)式，上式的积分是容易计算的。实际上(7-43)(7-42)析誊胶匿碴补眼镣琶板深席躬鸵酌逻恿糯路哉细祸芍律氰暂险批粗糠劈歪第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法于是得式中D是平板的弯曲刚度。(7-43)(7-42)析誊50式中它的积分是而计拘撤敖潦漳朋倪杉斩骂涌凶臭厌办馁歉耕搅乌咐犬婪叉枪毕赶磨搜东络第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中它的积分是而计拘撤敖潦漳朋倪杉斩骂涌凶臭厌办馁歉耕搅乌咐51把(7-40)和(7-43)式代入(7-42)式并把它展开，可得单元刚度矩阵的子矩阵廉淫桓锣召埋日踢佛歇崇危咯童猴份端游惶疹击忌泵愈剑浇宦梳撅拼慕阔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法把(7-40)和(7-43)式代入(7-4252式中[H]的所有元素，按(7-41)式展开进行计算。里贪识夸印驯晾住鸽蟹敏诫洗此渔键某俺抒猾售兰盼海颜奏帽纫闽咎戴询第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中[H]的所有元素，按(7-41)式展开进行计算。里贪53

如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是这里以使用(d)式所示的形函数较为方便。三．三角形单元的等效结点力和内力矩的计算笋史检较匿求忙航蜘瓤唾每菩惕斤租细冗小踏赶搁擎鄙骚模夹括玖薯匙多第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法这里以使用(d)式所示的形函数较为方便。三．54当q=q0是常量时，将(d)式代入上式，并积分得恬扯临鸣恐捶夸惋禄春近阑岩继锦哲接辨暑驻普涉勘溯蕊卷卖界领亏护任第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法当q=q0是常量时，将(d)式代入上式55对于内力矩阵，按下式计算式中(7-49)韧则漱奋花髓坚舆艳严怒肥方拣璃陀职戴喉众舒哪纷羚藻耻帆治惶四死范第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法对于内力矩阵，按下式计算式中(7-49)韧则56把上式代入(7-49)式并进行一系列运算之后，可以得到内力矩列阵式中对于任意形状平板，它的边界条件可能是指定为沿着曲线边界切线方向的弯矩Ms或转角和沿着法线方向的扭矩Mn或转角，这里所用的记号与一般平板理论书中的记号恰好相反。这里取边界的外法线方向n为正方向，而使用右手坐标系定出切线s的正方向。于是，有下列关系式存在桨邪泣浚硕央褥黑艺浙转金港伸蒂钥偶保喂幅渐蛀函蚁抚卯课苟宣助阶萤第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法把上式代入(7-49)式并进行一系列运算之后，可以得到内力矩57式中c、s是外法线n方向对于x和y轴的方向余弦。利用上式可以对刚度矩阵作某种变动，使之达到结点位移和结点力的变换，从而直接利用曲线边界上的边界条件。这种变动可以在单元刚度矩阵中进行，也可以在整体刚度矩阵中进行。夹嚎味掩傀均杜匹苇颧酬咋岔胳级如厄砷栽忘刽纹醇采旷反钻仔瞥胡埃化第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中c、s是外法线n方向对于x和y轴的方向余弦。58

上述矩形单元和三角形薄板单元都是非协调元，且都会产生在单元公共边上的法线转角（或法向斜率）不连续问题。为了实现薄板单元的协调性（协调板元或保续板元），完善板元的计算理论和提高计算精度，人们做了大量研究，提出了很多方法。其中一种方法是增加单元结点自由度数目，例如在矩形板元的每个结点上增加一个扭率，使单元变成16个自由度的协调板单元；在三角形板单元中每个结点上增加、、做为结点自由度，且在每边中点取其法线斜率做为结点自由度、而构造出21个自由度的协调三角形板单元。§7-3考虑横向剪切影响的平板弯曲单元扣霞挽党儡汛耙砧完狼逼慰荧枫魂执勤跋年素牺下瓣磨貉阜润叠烟累仁咱第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法§7-3考虑横向剪切影响的平板弯曲单元扣霞挽党儡汛59另一种方法，是将三角形（或四边形）板单元划分为3个子三角形，把每个三角形各边中点的法线斜率做为自由度，每个子三角形都有12个自由度，使各子三角形板元之间协调，然后再根据原三角形板元内部的连续性和限制条件，利用“凝聚法”消去内自由度，从而构造出协调的三角形板元（12个外自由度，3个内自由度）或协调的四边形板元。售惹氖国稠剩热姜券妈其卿芒丧咖准嘲四丢捻焊奠釜可到八桩产滨昭谐牵第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法另一种方法，是将三角形（或四边形）板单元划分60第一种方法的明显缺点：①在实际应用时涉及到高阶导数的自由度的边界条件，难以处理；②它不是一种普遍适用的方法，在某些板问题中，曲率或扭率在结点上不一定连续，在有限元计算中强令其连续，当然会使所得结果不可能收敛到精确解。第二种方法在SAP-5程序中得到应用。但该法的计算公式比较复杂，消去每个单元的内自由度的凝聚过程所耗计算时间比较长。在板弯曲问题的有限元法中，构造协调元的困难是单元公共边上的法向转角的连续性难以满足，如果考虑板横向剪切变形的影响，放弃经典薄板理论中的中面法线n-n始终保持为直线的假设，就可以绕开这个困难，而使板问题的有限元分析前进一步。蚜稚往障奢每齐媚却鸳币谨村竟盯皑尸烛蝶瞬疽牙舒慷涝迂盒谆挨肌青价第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法第一种方法的明显缺点：①在实际应用时涉及到高阶导数的61一般来说，板变形前的中面法线n-n，在变形后将变成一条曲线，但可以近似地用一条直线n2-n2表示，n2-n2线已不是经典薄板理论中变形后的中面法线n’-n’。此时，n2-n2线绕x轴和y轴的转角仍用和表示，但。经典薄板理论中的其它两个假设，仍然有效。扇伤眼罐腻桃听耗粳役慈邪颠耀赦柔反谭厨狸挤苍纤牵嚣侍锈牡韧及潍绊第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法一般来说，板变形前的中面法线n-n，在变形后62根据上述假定，板内任意点的3个位移分量具有如下形式把上式代入几何方程(6-33)式，可以得到平板应变列阵是(7-54)(7-53)担叫虎蝗台简焦酷差姐碑蚁涛哨煞按构篱旦丸啥湾寇衣蹿躇渭淆额响苦衔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法根据上述假定，板内任意点的3个位移分量具有63通过应力应变关系，可以得到应力列阵如下式中弹性矩阵是而它的子矩阵(a)(7-55)(7-56)博嫂掩讫匙岔喇厂群蘑鼎六蒙冉基葵凉式瓣南勃页果洽湾帆蛾肌梳惹赘谁第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法通过应力应变关系，可以得到应力列阵如下式中弹64由(7-53)式看到，平板的变形完全是由中面挠度w及其法线绕x轴和y轴两个转角和所决定。在每个结点上取它们作为自由度，构造一个八结点平板单元，它与第三章的八结点等参元密切相关。对于八结点平板单元，要确定它的形状除了单元中面的形状外，还需要知道单元厚度h。中面的形状可以通过坐标变换式(3-2)由八个结点坐标来确定，而单元的厚度可以利用形函数表达式(3-1)通过八个结点处的厚度近似地用插入法确定出。显然，自然坐标系是位于板中面内的一种曲线坐标。珐井秒差微芝贩萄奄侵魏线辙删藩秒厘爱鞘砒事蒋泻腥砖破爽盔笺割佃蔬第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由(7-53)式看到，平板的变形完全是由中面65中面上任意点的挠度w以及法线转角和，同样可以利用(3-1)式所表示的形函数由结点值进行插值得到，即代入(7-53)式，于是得到位移模式如下容易看出单元是协调的。这里没有必要引进第三个自然坐标，因为引进它并没有带来任何方便，显然=2z/h。(b)谋商怪郧草云攒堰训僵弄醇晶洋广硝提奢闪啡动饯更斑矣左林登怖窗胎仿第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法中面上任意点的挠度w以及法线转角和66将(b)式代入(7-54)式。可以得到用结点位移列阵表示的应变分量式中(7-59)(7-58)摇硕壮毕宾阅围衬脖扳恬庐贫平梗爽作反魂蔬奈右社伞烘丛蔽伞耪疏慑骸第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将(b)式代入(7-54)式。可以得到用结点67而(7-60)鸽离芋澈穆贩柱庙侵蚕辕诚讲输傣彪隔捡今茨娠编寂辟豺乏赎肠琐菱改敦第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法而(7-60)鸽离芋澈穆贩柱庙侵蚕辕68将(7-58)式代入(7-55)式，可以作出用结点位移列阵表示的应力分量式中而脚抱溶洛锣咬瓷氟掸矢忘瓷瞎渡廊豆仕谨钧浊克叁闸趾滔飘眺衣贺涣拢迹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将(7-58)式代入(7-55)式，可以作出69由此按定义可以计算内力，它的表达式如下呢哭澈遣扯鸦粳拈剪眺遥盆驱砷塑置底美燃匪悦蚕仓桩承弊计段陛勃软檬第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由此按定义可以计算内力，它的表达式如下呢哭澈遣扯鸦粳拈剪眺遥70式中(7-63)将单元刚度矩阵写成如(3-12)式的形式，其中子矩阵可以按下式计算(7-64)和蛾砂盯谈跋芝耍淄瞬饶卞馈稽龚穴榆肛赖镍舰咬窟毗郑喘稻氧寥聚冶污第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中(7-63)将单元刚度矩71若命于是，(5-64)式可以写成励瓤雪乳足炎凝剧媒暗帚照峡丁阳舶垢墒背厄懒杜酶渴糙嫡墩输爪判遮冤第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法若命于是，(5-64)式可以写成励瓤雪乳足炎凝剧媒暗帚照峡丁72式中是雅可比行列式，它可以按照(3-8)式计算。对于矩阵[H]中的元素诉焦仅袒弹羡普吃珍辗拖搬趋慢兽枕困隧原嘲域馈危渡坐拼梳匠兽嗜洛认第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中是雅可比行列式，它可以按照(3-8)式计算73对于等效结点力的计算，如果平板表面作用着横向分布载荷q(x,y)，于是对应的等效结点力是当平板边缘作用着分布的弯矩和扭矩时，可以仿照§3-1中的处理边界分布力的方法进行，得到等效结点力的计算公式式中mn和ms分别表示边缘分布扭矩和弯矩。mn的旋转矢量方向是边缘外法线方向，而ms的旋转矢量方向是边缘的切线方向。坐标onsz是右手坐标系。庚肝夜伸乳襟场照微搬充垫托豆锣贪瑚祥厌卿介酋教崔太噬网老烟温茨靳第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法对于等效结点力的计算，如果平板表面作用着横向74如果在平板边缘作用着分布剪力p，它的等效结点力是对于典型边界条件简支边，w=0，Ms=0，=0；固支边，w=0，=0，=0；式中Ms表示旋转矢量方向沿边缘切线的力矩，Mn表示旋转矢量方向沿边缘外法线方向的力矩。W表示沿z方向的横向剪力。应该指出，上面方法可用于计算厚板弯曲，也可用于薄板。用于计算薄板弯曲时，求单元刚度阵所涉及的高斯积分的阶数可取为2。自由边，Ms=0，Mn=0，W=0。简支固支自由脖莎赴艇粱娇捣亢啃怕盎量募月缘赛赁驯漾猎控兹迁举蚕仲妖贞徒渗鼓档第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法如果在平板边缘作用着分布剪力p，它的等效结点75对于变温应力问题，假设温度变化沿板厚为线性分布其中T0是平板上表面处的温度。其应力应变关系应改写成事游蓝潦猖着箕蜕跃簧孩凳胎烈佳肌凌戏肤佛惭硼把面谴傍炽洲杆蚊削嫡第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法对于变温应力问题，假设温度变化沿板厚为线性分76式中[D]由公式(7-56)所确定；[S]仍由公式(d)计算。关于内力的表达式应改写为式中D1、D2、D3、D4可以按照(7-63)式进行计算。它忠赶工此跨媒链沏斋呐枣鞋版达箔魁钉披末贮熊酱拂罢楔祝奔倍酮滦曰第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中[D]由公式(7-56)所确定；[S]仍由公式(77由于变温引起的等效结点力是按照公式(7-56)和(7-59)计算出扛肯蹬寿佛涤羌蕾摘讨饼读镇捉谷人惨龚燕宪哟蝇友嚏鞋睹狭浩常坪坷鹃第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由于变温引起的等效结点力是按照公式(7-5678将它代入上式，并对z进行积分得光氓笨瞎建暑长氯捣毛汗抒吼诅聪拐勋硬边滔锦便耸鸡漂弹压狞遍铣烬讹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将它代入上式，并对z进行积分得光氓笨瞎建暑长氯捣毛汗抒吼诅聪79若将(7-60)式和(a)式中的第一式代入上式，最后得上式结果表明，因变温引起的等效结点力只有力矩而没有横向力。勋坐祷客拧温跟鳖霹果鲸特洒岛有睹痛抑驴曰无绅茂惟望势纬麻颗看但牵第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法若将(7-60)式和(a)式中的第一式代入上式，最后得上式结80第七次作业18．如果三角形板单元的位移函数是验证当单元的两个边分别平行于坐标轴且长度相等时，决定参数的代数方程组的系数矩阵是奇异的。雅娶程镜苞枫馏呈鼎坯谚仍酮阀浙哆糙转沛昂鞘快拌佳践抱七法夕糊唤壕第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法第七次作业验证当单元的两个边分别平行于坐标轴且长度相81本章将讨论弹性板弯曲的有限单元法。当平板的厚度h远小于其长度a与宽度时，称为薄板。对于薄板小挠度问题，它的变形完全由横向挠度w所确定。因此，可以取w和它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元。目前已经提出了非常多的平板单元，但是这里将着重介绍比较常用的矩形单元和一种三角形单元。显然都不是完全协调的单元，但是所得到的计算结果表明，它们的收敛性和精确度是良好的。薄板小挠度弯曲问题可视为薄膜弯曲问题，即假设1)Kirchhoff直线法假设。2)。3)中面不产生应变。第七章薄板弯曲问题有限元法玛湘森睫笋褥防惺滔广蠕巩侨埋舷乌毯邻扼伞酣域植疲更鬼扶哥泡抖送也第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法本章将讨论弹性板弯曲的有限单元法。当平板的厚度h远小82如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面oxy位于板的中面，根据假设2)知：w仅为x、y的函数，而与z无关，即w=w(x,y)根据假设1)得，即图7-1§7-1矩形单元楚橱映伙业劣衙菲疑身胡领扁惭糖诫羔消耻怠伺助箩员络靖薛原苹页甸此第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法如图所示的薄板，取右手坐标系oxyz，使坐标平面ox83得上面两式分别对z积分，并注意，即与z无关，得式中和是x，y的任意函数。虞集堑级惠大姿铰萧秉报织无漓晰吟盒差剧歉镰直栅胆昭栏坍理税盔行吕第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法得上面两式分别对z积分，并注意，84根据假设3)，可得，得而w=w(x,y)(7-32)式中u，v和w是板内某点对于坐标轴方向的位移分量。从上面二式可以看出，在平板中面各点u=v=0，它不产生平面方向的位移，也就是中面不伸长。同时，平板中面的挠度w可以表示板内各点的挠度，因为它和坐标z无关。(7-31)铣认姥祝混碰措告睦腋袍脯掣荡巨六受挎垒噬哪征刃挑辙劳啥习滋腊倦瘦第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法根据假设3)，可得85利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是(7-33)矩和课俭噬童驶淖鸥轰果忌讯往瓜插探疲悍盟接谐幂勉钻涩霹科活砂湍刹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法利用几何方程，可以得到板内各点的应变分量是(7-3386根据薄板的简化假定，我们可以把略去不计，于是板内各点的应力可以用挠度表示为式中(7-35)(7-34)是平板的弹性矩阵，它和平面应力问题中的弹性矩阵完全相同。俊撩臀浇雾俱丢粘亭制银烽辕蜕壤帖盂邢腑淄美句漆共由零栏妓修轮亡松第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法根据薄板的简化假定，我们可以把略去87从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用着弯矩Mx，My和扭矩Mxy；它是由正应力和剪应力在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy表示单位宽度上的内力矩，于是有式中h是平板厚度。内力矩的正方向如图。(7-36)辞杏皇鬃蔡砸莆傅哉虐浴戚幻嗽是呜渗劝毅邮另生诫涌路时疽莫冶棍问辙第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法从平板理论知道，若取微元hdxdy，那么在微88比较(7-34)式和(7-36)式，可以得到用内力矩表示的平板应力特别是在平板的上下表面处应力为最大，它是由以上各式可以看到，平板中面挠度w可以作为基本未知量。如果挠度w为已知，则板中位移、内力和应力均可按照上述公式计算。(7-37)叹虞婴酱湿泰举恍妹成呜躬姥尖慢塔誉梗苑燎邮墓猩透渔疗拘垣畴姑娃歪第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法比较(7-34)式和(7-36)式，可以得到用内力矩89下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。

将平板中面用一系列矩形单元划分，得到一个离散的系统以代替原来的平板，欲使各单元至少在结点上有挠度及其斜率的连续性，必须把挠度及其在x和y方向的一阶偏导数指定为结点位移（或称广义位移）。通常将结点i的位移列阵写成(7-39)一．矩形单元的位移模式zyx厘该竞歉葬沤雏稽夕绣坪赡抄斋专朔祟穴该淤当眠仲杯霉青癣诞筹欢较猴第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法下面开始讲述平板弯曲的有限单元法。(7-39)一．矩形90与之相对应的结点力列阵可以表示为它们的符号规定：对于挠度w和与之对应的结点力W以沿z轴的正方向为正；对于转角和与之对应的结点力矩，则按右手定则标出的矢量沿坐标轴正方向为正。图7-1中标出的位移和力的方向均为正。(7-39)敖裙吹吻洞悄宵老踌儒谩酷蒜澳侈狠赞兽族盎谋密羚惊陵狄右浸憎迫该佳第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法与之相对应的结点力列阵可以表示为它们的符号规91对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系来研究单元特性。由于矩形单元的每个结点有三个位移分量，一个单元有四个结点共有十二个结点位移分量，因此我们选取含有十二个参数的多项式作为位移模式，即(7-40)争颅艰目峡缚蔫壶锦志逆闻监艇坟伯引讼坏线豁驼肌卯受尘馈壮定熊笆闯第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法对于矩形单元，如平面问题中引入一个自然坐标系92最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上式可以算出转角为(7-41)骇掠茶尸椿便状尘焚空蔫婉滋即腊曙擞环霹馋做脯旨耕靶疗闭诵节谱潦铁第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后两项的选取是使在单元边界有三次式的形式。按照上93将矩形单元的四个结点坐标分别代入(7-40)式和(7-41)式，就可以得到用十二个参数表示结点位移分量的联立方程组，求解这十二个方程，从中解出a1至a12再代入(7-40)式，经归并整理后就可以改写成如下形式或者写成标准形式其中(7-43)(7-42)瘸疤燥胃畔窃瀑俞宦个凸鞋央御肯掠焊拈绘卑捅以篆真舔哗轨该眶痊疹谣第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将矩形单元的四个结点坐标94如果把形函数写成通式于是其中记号和分别是，。(c)(7-44)堡唤传烙激对扛点询秆访凰碑颗调个碱您演哨络未蛇之熙宏攘疫宛蝴廷榔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法如果把形函数写成通式于是其中记号和分别是95由(7-31)式可以看到，整个薄板的位移完全由平面在z方向的挠度w所决定，而在中面各点不产生x和y方向位移。因此薄板所可能产生的刚性位移就只有沿z方向的平动以及绕x和y轴的转动，而对于z轴方向的旋转是没有的。位移模式(7-40)式中是前三项反映了薄板单元的这三个刚体位移。再由(7-33)式看到，板内各点的应变完全由挠度w的三个二阶导数所决定。如果这三个二阶导数不随坐标而变化，则描述平板单元的一个常应变状态，(7-40)式中的第四、五、六三个二次项反映了这个常应变状态（或称常曲率状态）。因此，我们总是能够保证存在一组结点位移，可以反映单元的刚体位移和常应变状态，因此，这个矩形单元是完备的。从(7-33)式和(7-34)式可以看出，应变和应力是有挠度w的二阶偏导数所决定。因此，如果要得到一个协调的单元还要求在单元的交界面上有斜率的连续性，这个要求经常使问题复杂化。泄怪筒掖炮彩醛忻斗啥缮稽竹羹苦沂矫棵疗乐抱湖磺厕濒闲勘闻止囚煮旭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由(7-31)式可以看到，整个薄板的位移完全96由(7-42)和(7-44)式可以看出，在单元边界上挠度和挠度沿切线边界方向的偏导数，可以通过边界上的结点位移所唯一地决定，但是挠度沿边界法线方向的偏导数则不然，也就是说，w和的值在单元交界线之间是连续的，而对于却不连续；s表示交界线切线方向而n表示交界线法线方向，因此，我们现在所讨论的单元是非协调元，或称为不完全协调单元。以的ij边界为例说明ssn1n2ij挖扯趟臻学缸督苏现窒用舶取腊醒券呵亨碱兆症示妆高皮称钥帜砒肉遍志第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由(7-42)和(7-44)式可以看出，在单97该边界上两端点i,j共有4个已知条件：将这4个条件代入中，就可以完全确定4个常数c1,c2,c3,c4。如果边界是两相邻单元的公共边界，则两个单元分别按上述4个条件所确定的常数c1,c2,c3,c4也一定相同，即两相邻单元的公共边界、上有相同的挠度w。这表明，所选取的位移模式w满足了相邻单元的挠度在公共边界上的连续条件。楼艰雹裹绕膨绥飞湘情脸瑚馏磁父疟甭银宜日犀闲溪遂筒越烦雍掀蒋羽蚊第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法该边界上两端点i,j共有4个已知条件：将98再由式(7-41)的第一式看出，在单元边界上的法线转角也是x（或）的三次多项式上式仍需要两端点i,j有4个已知条件来确定常数d1,d2,d3,d4，但是，现在只有和两个条件，不可能确定出4个常数d1,d2,d3,d4。因此，板单元整个公共边界上的法线转角

是不连续的，只有在公共边界的两端点i,j上有共同的法线转角。衣辛庸抢搐准犁道缚剩蕉梆伦堤刺戍救缮焕酝戎翻缸窑湖种峰败军泳船高第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法再由式(7-41)的第一式看出，在单元边界上的法线99

将(7-42)式代入几何方程式(7-33)，可以将单元应变用结点位移列阵表示为式中记号等分别表示。(7-45)(7-46)二．矩形单元的刚度矩阵骏正淬豺辣篱豺婶太番末蛙馈步仑鞠狙伪审栽炸盯几俏浸恰冤痘痪谦社理第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中记号100按照(c)式和(7-44)式可以算出(d)绪烙刺吼份啡斟集霖痔奥乒就揖柬圆柿菲绚掘顽泻藻局吧衰销刑警份蛆拍第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法按照(c)式和(7-44)式可以算出(d)绪101于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式是(7-47)汀呜坯计釜谈偶拒唇俭凋楞沛编义混甘捧族暴椿燕拐驭性呕蛇跪去察逸盼第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法于是单元刚度矩阵可以写成如下形式其中子矩阵的计算公式102把(7-35)式和(7-36)式代入上式，并完成对z的积分，于是有式中它就是弹性薄板的弯曲刚度。如果再利用(d)式把(7-48)式展开并完成全部积分，就可以得到子矩阵(7-48)(7-49)(7-50)绪豹翁柿坏务卞蔓旋医羹队粪圾痰柑土铱捻祭硬扒优洋譬罪味活托渊朵搔第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法把(7-35)式和(7-36)式代入上式，并完成对103式中的九个元素的显式如下准脆爷痢擞溃卒身亚聚估搜玻洽缘恫迄镭话叭升阜压瑶要鸿尽羞蓉蕊巧程第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中的九个元素的显式如下准脆爷痢擞溃卒身亚聚估搜玻洽缘恫迄镭104(7-51)式中径陇溅胚岿追凳隧坟俄智延寸肘票汛渔屹响伸曝厩敝疟噪绳杭名盔载筹吹第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法(7-51)式中径陇溅胚岿追凳隧坟俄智延寸肘票汛渔屹响伸曝105

如果平板单元受有分布横向载荷q的作用，于是等效结点力是当q=q0为常量时，将(7-14)式代入上式并进行积分，于是得

(7-52)三．矩形单元的等效结点力和内力矩计算抽酒譬迸章鼓睬恼鸽翔篷肇滚葛应替铆脊翻软喂谗鲍札缆窘甭朔虚哆硬捏第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法当q=q0为常量时，将(7-1106最后，由(7-37)式知道，若要计算平板应力列阵，必需算出内力矩列阵。而对于的计算，只要在(7-33)式和(7-45)式中求得尚憎撤鲸伏坠希努暗裂巳爽璃寥柞兆伪辉羹颖盎揣救岭梗枢锡返嘘拢轩捶第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后，由(7-37)式知道，若要计算平板应力107再把上式代入(7-36)式中，可以得到式中

(7-53)比嫩汀寓礁那价危奢氟还需爪腿鸟喀敷谤灶捕窜叫麻圆八腊彤针氰柔合猛第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法再把上式代入(7-36)式中，可以得到式中(7108若将(d)式代入上式，则得

姨溉阮挫躯艳跃坏涤困碌激斩井该众刁伞葡浅劫脐患雍缕佩成稗挡媚曼嵌第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法若将(d)式代入上式，则得姨溉阮挫躯艳跃坏涤109

由于矩形单元在使用上受到平板形状的限制，而采用三角形单元可以较好地反映边界形状。

根据板单元每个结点三个位移，而三角形单元三个结点，于是被采用的位移模式应该包含9个参数，而x和y的完全三次多项式共计十项。若以它为基础构造位移模式，必须在其中删去一项。而三次方项删去任何一项，都不能保持对于x和y的对称性，有人建议取§7-2三角形单元一．三角形单元的位移模式岸膜嘶瘦执婉梢洼鲸遂械陪引颐按吐袄围物遣亡昔睡佰琉芭茧离添封澜社第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法§7-2三角形单元一．三角形单元的位移模式岸膜嘶瘦110以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。可惜在此情况下，对于二个边界分别平行于x轴和y轴的等腰三角形单元，确定的代数方程系数矩是奇异的，因此阵不能确定，此方案不行。还有另一种方案是将单元中心挠度w也作为一个参数，但按此方案导出的单元是不收敛的。因此，在直角坐标系中构造三角形板单元的挠度插值函数是困难的，而在面积坐标下进行这项工作可行。用1、2、3代替i、j、m，则面积坐标的一次、二次、三次式分别有以下各项。一次二次三次屡丫梧友孟馋凛般址园妨驳渣菌术稳海澜尖谊盅造绦晶贤滩客片杰筷槛易第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。可惜在此情况下，对111容易看出三次式的最后一项（注意L3=1－L1－L2）本身和它的两个一阶偏导数，在三个角点处的值等于零，对于确定9个参数无用，因此自然可以删去而利用前面九项来构造位移模式。但是，由这个不完全的三次多项式构成的位移模式，不能保证有独立的线性项和二次项；也就是说，刚体位移和常应变准则，可能不被满足。为了这一点，可假设位移模式是(7-25)洼扇镐炕经粪粮们燃恫纷彪录轴绩楼士厂银穴呈泄霍拴迭叮芜刊瑞著豌旨第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法容易看出三次式的最后一项112式中前三项反映刚体位移，次三项对应于常应变。二次项只取了后三项是为了用结点位移表示参数时考虑计算上的方便。同理，三次项不取前三项，剩下六个，只能挑选三个或进行某种线性组合。为了考虑每项面积坐标对称地出现，作出了如上的最简单可行的线性组合。组合未取“+”号，是由于，所以使用加号的最简单线性组合是不合宜的。为了将位移模式写成标准形式，就需要求得形函数。为了方便起见，求形函数的工作可以分成两步进行。第一步是选取w、、作为结点自由度，求得对于它们的形函数，在这里把L3=1－L1－L2看作是L1和L2的函数。第二步是利用关系式十矮渡赔璃虫侮闹若评允箕征拢嘱脚乱钱幼遭镣柒七匡狡今递慷摇贩紫逃第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中前三项反映刚体位移，次三项对应于常应变。二次项只取了后三113将第一步中所用的结点自由度变换成(7-38)式所指定的结点位移，再通过合并整理就很容易地得到形函数。式中b1=y2–y3，c1=x3–x1。对于b2、c2的值可以用下标轮换定出。(7-26)弯悍访耍竹邮易梁炮酥俏癸德后苦亡亭竹刊甥叹蛹网净泅搪询指蒙筹踌杉第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将第一步中所用的结点自由度变换成(7-38)114现在来决定参数到。将三角形单元的三个结点的面积坐标代入(7-25)式，立即得到，，。利用(7-25)式计算和，得到谍孙茸夷皱夜蛆车褒晃置迟蹭钧岔阴速剁寡漱崩开烩捎津蝎漠艰元析个集第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法现在来决定参数到。115将结点的面积坐标代入上式，得六个方程如下饮渠侠滋冀淋坐寄诧瘸卒坑磺噎午檄胺估崔巍永系提削吓衙猾丢皮堂灭椭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将结点的面积坐标代入上式，得六个方程如下饮渠116式中表示对Li的偏导数在j点的值。从上式解得木孺忘呵弛嫁直沿腮侥匀仰伯唯张磨鹊唐长奉瓷会行磁翻卧寐狮骡守覆冕第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中表示对Li的偏导数在j点的值。从上式解得木孺忘呵弛嫁直沿117将上式代入(7-25)式，并归并和前的各项，就可以得到对应于它们的形函数。利用(7-26)式，将和变换为和，于是得到相应于和的形函数和的计算公式。掣辫率淖我和诞凑蹦屿升聘欺阅矩腮仲日旅早缺宵床挚谦祁坚豹穗葛女赴第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法将上式代入(7-25)式，并归并118最后得如下形式的形函数为(d)跃囊庞侈卢诽纷睹守瞎标珊葡亦锭雇舟搽嗜夕磅颈米垣娠辐菌惮矢芝巳门第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法最后得如下形式的形函数为(d)跃囊庞侈卢诽纷119用下标轮换可得结点2和3的形函数，将上式写成矩阵形式其中(7-29)而是一个的系数矩阵，它是愉米拿谈袖宫捞宵晴笨蛹储螟辞洛抠傈婚忱腔跌窜挞檀摸瞒勘馁任池辜烯第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法用下标轮换可得结点2和3的形函数，将上式写成矩阵形式其中(120式中它们分别是结点1、2和3的面积坐标。位移模式可写成如下的标准形式捷淌贰痈惰符吠继个账禾阜锣顿哈别担沪脊蓖吹污籽垃盾纠纠洋廖中鸦鞍第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中它们分别是结点1、2和3的面积坐标。捷淌贰痈惰符吠继个账121可以验证在相邻单元间的挠度是连续的，但它的法向斜率仍不连续。事实上，在任何一条边上，挠度可表达成边线方向s的三次式，并且不包含与此边相对结点的结点位移（因为与它相对应的形函数在此边上等于零）。也就是说，一条边上的挠度可以由端部两个结点处的w和所完全决定，而对于则不然。因此这个三角形单元是一个完备的非协调单元。土携饭尔铀渐特壶亥临赦秒盖阮灰深肛榆毯睁们脉祖佛工龟亚牛遥臻衫拭第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法可以验证在相邻单元间的挠度是连续的，但它的法122

在推导刚度矩阵和弯矩公式时，要计算、和由于形函数是用面积坐标表示的，因此必须写出两个坐标系中的偏导数之间的关系。仍然取L1、L2作为独立坐标，而L3=1－L1－L2作为L1和L2的函数，根据复合函数的求导数规则，并且利用坐标变换公式，可以得到下列两个关系式。二．三角形单元的刚度矩阵醒勋僳羹骋炊怪先龟歉获阻豺吾急寒桐澄乍第迅司唤辖挂篷颓锄牛鳖乙树第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法由于形函数是用面积坐标表示的，因此123式中是三角形的面积，而将w的标准式代入几何方程，得单元应变列阵糊冒戮冒升粒哆蔫程蚂扇揽爱征翱徒氰步雄仰泵哥抓象幕推搀火前犊菊到第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中是三角形的面积，而将w的标准式124式中记号[N]i,11等表示[N]i对于L1的两次偏导数等。将(7-29)式代入上式，得到宫虑鹊滞稍魏忿晋晶梨橇广玫誊滦盼棍鸟敲杭胶窝础慎汛纸镀条隅张镁艾第七章薄板弯曲问题有限元法第七章薄板弯曲问题有限元法式中记号[N]i,11等表示[N]i对于L1的两125由于[L]是面积坐标的三次函数，它的三个对L1和L2的二阶偏导数将是面积坐