2022-2023学年北京市高二下期中考试数学模拟试卷及答案

2022-2023学年北京市高二下期中考试数学模拟试卷一.选择题（共io小题）1.（2021秋•西充县校级期中）已知数列｛a〃｝满足ai=l,an+\=an+6,则。5=（A.25 B.30 C.32 D.64（2020秋•河东区期末）下列求导运算正确的是（ ）1A.（cosx）'=sinx B.（IOffX）- xln211C.（2X）'=2tlog2e D.（-=—Y= l-o;（1-a;）（2020•沙坪坝区校级模拟）设数列｛a〃｝的前"项之和为S〃，条件p：数列｛斯｝为等差数列：条件q：S”为关于〃的二次函数.则p是夕的（ ）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要（2021春•辽宁期末）已知函数/（x）=/+3加好+内+/在-1时有极值为0,贝ij=（）TOC\o"1-5"\h\zA.11 B.4或11 C.4 D.8（2021春•雅安期末）在等比数列｛的｝中，ai=14,雨=112,则S4=（ ）A.-64 B.63 C.210 D.-210HR（2013春•利辛县校级期中）用数学归纳法证明命题时，某命题左式为HRH ，则n=k+\与〃=攵时相比，左边应添加的项为（ ）2n-l216+1-1—+—-—+—-—+...+——\—

2* 2*+1 2*+22k+1-1—+―-—+——--2* 2*+1 2*+1-12*2fc+1-1S|>S4,S|O<S|S1VS4,Sio>S”S4>S5,SlO<S13S4Vs5,S10>S13（2019S|>S4,S|O<S|S1VS4,Sio>S”S4>S5,SlO<S13S4Vs5,S10>S13（2019•越城区校级学业考试）数列｛斯｝,｛儿｝用图象表示如下，记数列｛内力〃｝的前〃项和（2021春•嘉兴期末）函数/（x）=，sin2x在区间［-n,n］上的图象可能是TOC\o"1-5"\h\z, 7C(2015秋•临沂校级月考)在梯形 中，NABC=——,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,2将梯形Z8CO绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )4兀 5兀A.n B. C. D.2n\o"CurrentDocument"3 3n—1(2021秋•朝阳区校级月考)已知数列｛a”｝,a= 则下列说法正确的是n(n+1)()A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是44二.填空题(共5小题)兀 兀11.(2021秋•兴庆区校级期末)已知函数/(x)=/(——)sinx+co&x,则八一)的值为.6 6(2021春•海淀区期中)已知3个等差数列｛%｝,｛b〃｝,｛Cn｝,其中数列｛Cn｝的前"项和记为S”,已知a,jbn=Sn，写出一组符合条件的｛斯｝与｛b〃｝的通项公式.(2021•云南模拟)已知数列｛。〃｝的前“项和为S",ai=2,2nSn=(2"-1)念+1，则数歹心」一｝的前n项和5.%(2012春•金安区校级月考)对于函数/(x)=-2co&r,x€[0,n]与函数1g(a?)=—a?+?no;有下列命题：2①函数/(X)的图象不管怎样平移所得图象对应的函数都不会是奇函数；②方程g(x)=0没有零点；③函数/(x)和函数g(x)图象上存在平行的切线；④若函数/(x)在点尸处的切线平行于函数g(x)在点0处的切线，则直线尸。的斜率2-x其中正确的是(把所有正确命题的序号都填上)(2015春•遂宁校级期末)给出以下五个结论：①若等比数列｛"”｝满足。1=2,且S3=6,则公比g=-2：nK②数列｛a〃｝的通项公式a“=”cos +1,前〃项和为S〃，则Si3=19.2③若数列a〃="2+布(wGN+)为单调递增数列，则入取值范围是入>-2；3④已知数列｛a“｝的通项 其前〃项和为s1,则使s,>o的〃的最小值为2n-U111⑤1+ 1- !--••+ <2-——(心2)n2„2 2 „3nn其中正确结论的序号为(写出所有正确的序号).三.解答题(共5小题)(2021秋•东莞市期末)已知等差数列｛3｝的公差为2,且ai+1,a2+\.内+2成等比数歹U.(1)求｛"”｝的通项公式；4(2)求数列｛ ｝的前“项和S".a—1n(2021春•丰台区期中)已知函数/(x)=--3x+l.(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数/(x)的极值.(2021春•海淀区期中)问题提出：新型冠状病毒是一种人传人，不易被人们直觉发现,危及人们生命的严重病毒.我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者.已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为p 一旦被确诊为阳性后即将其隔离.某位患者在隔离之前，每天有上位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为X(0WXW%).该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间.设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与上位密切关联者接触并继续传染其他人.小明想通过数学建模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第1天开始算起，第〃天新增患者数蜃(〃22),同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染.一、模型假设：1.潜伏期病毒未被发现，持续传播.每位患者每天接触的人数均为发.假设每位患者每天接触的密切关联者被感染人数为定值、=例二、模型求解：①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,第2天被感染人数增至为：1+卜3=1+切；第3天被感染人数增至为.于是可以得出，第〃天新增加人数耳=，小明根据自己的生活经验取氏=10,/，=」-.2①E8的值为;②经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p'满足关系式p'=加(1+p)-包，当P'取得最大值时，计算P'所对应的E6'和p=」所对应的感值，然后根据TOC\o"1-5"\h\z3 2计算结果说明佩戴口罩的必要性.\o"CurrentDocument"1 2(参考数据：加2Po.7,历加5与1.6,—20.3,一«=0.7,66=46656.计算结果3 3保留整数)三、模型检验与评价：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？.(2013•乐山一模)已知函数/(x)=加(1+x)-mx.(I)当加=1时，求函数/G)的单调递减区间；(II)求函数f(x)的极值；(III)若函数/(X)在区间［0,e2-1］上恰有两个零点，求机的取值范围.2(2021春•徐州期中)已知函数=a?na?+ 1-<2-x(1)若/(x)在［1,2］上单调递减，求a的取值范围；(2)若/(x)有两个零点知，刈，求a的取值范围；(3)证明：当a=l时，若对于任意正实数xi，xi,且xi<X2，若/(xi)—f(X2)1则

2022-2023学年北京市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析选择题（共10小题）（2021秋•西充县校级期中）已知数列｛斯｝满足ai=1,iln+l=a«+6＞则4Z5=（ ）A.25 B.30 C.32 D.64【考点】等差数列的通项公式.【专题】计算题：方程思想；定义法；等差数列与等比数列：数学运算.【分析】推导出数列｛斯｝是首项为1，公差为6的等差数列，由此能求出as.【解答】解：•数列｛斯｝满足ai=Lan+\=an+6,二数列｛斯｝是首项为1,公差为6的等差数列，."5=1+4X6=25.故选：A.【点评】本题考查等差数列的等5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.（2020秋•河东区期末）下列求导运算正确的是（ ）1A.（cosx）'=sinx B.（/oga?）= xln2D.C.(2X)'=2xlog2eD.【考点】导数的运算.【专题】计算题：函数思想；综合法：导数的概念及应用；数学运算.【分析】根据基本初等函数和复合函数的导数的求导公式求导即可.]【解答】解：(cosx)'=-sinx,(log1)'= ，(2X)'=2xln2,2xln2故选：B.【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题.（2020•沙坪坝区校级模拟）设数列｛a〃｝的前〃项之和为S”，条件p：数列｛%｝为等差数列;条件/S,为关于〃的二次函数.则p是4的（ ）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【考点】等差数列的性质；充分条件、必要条件、充要条件.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；数学运算.【分析】通过举例说明：由p不一定得出q,反之不一定成立.【解答】解：条件p：数列｛a.｝为等差数列；条件q：S”为关于〃的二次函数.由p不一定得出q,例如：a）i—2>则S〃=2”，不是二次函数.反之不一定成立：例如S,=〃2+"+i,可得斯=1'"一，数列｛%｝不为等差数列2n,n>2则p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.（2021春•辽宁期末）已知函数/（x）=/+3加，+内+/在x=-1时有极值为0,则=（）A.11 B.4或11 C.4 D.8【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】计算题：导数的综合应用.【分析】求导，由题意列方程组及不等式，从而解出用，〃的值.【解答】解：f（x）=3x2+6mx+n由题意，/ 2-l+3m-n+m=0H .2.v,v…且（6加）-4X3Xw>0.3—6m+n=0解得，m=2,〃=9；故选：A.【点评】本题考查了导数求极值时的应用，注意函数要产生增减区间才可以.

5.(2021春•雅安期末)在等比数列｛a“｝中，ai=14,a4=112,则S4=( )A.-64 B.63 C.210 D.-210【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】设等比数列｛金｝的公比为g,利用。4=。1/求出用后根据等比数列前〃项和公式即可求S4.ii2【解答】解：设等比数列｛斯｝的公比为4，由0=14,04=112,得［3= = =8,01 14解得q=2,414(1-2)所以S4=—— -=14X15=210.1-2故选：C.【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前”项和，考查学生的运算求解能力，属于基础题.(2013春•利辛县校级期中)用数学归纳法证明命题时，某命题左式为—+—+—+H ,则n=k+\H ,则n=k+\与"=左时相比，左边应添加的项为(2n-l2* 2*+1 2*+2 2k+1-1:.—+—-—+——-——2* 2*+1 2*+1-1,1). 1 2&2k+1-1【考点】数学归纳法.【专题】规律型.11【分析】"=上时，最后一项为 ，”=价1时，最后一项为 ，由此可2*-1 2*+1-1得由〃=上变至ljn=k+\时，左边增加的项即可.11【解答】解：由题意,〃=%时，最后一项为 〃=%+1时，最后一项为 ,2ft-1 2*+1-1,.由 〃=A变至lj〃=人1时，左边增加了故选：B.【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，找出规律是解题的关键,属于基础题.（2021春•嘉兴期末）函数/（x）=fsin2x在区间［-it,it］上的图象可能是（ ）

D.【考点】D.【考点】函数的图象与图象的变换.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算.一 — 兀【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性排除8,再分析区间(——，n)±/(x)的符2号，排除4即可得答案.【解答】解：根据题意，/(x)=/sin2x,其定义域为R,有/(-X)=-x2sin2x=-f(x),为奇函数，排除CD,一—兀在区间(_,ir)上，sin2x<0,/(x)<0,排除/,2故选：B.【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、单调性的分析，属于基础题.(2019•越城区校级学业考试)数列｛的｝,仙“｝用图象表示如下，记数列｛a/”｝的前〃项和为S”，则(为S”，则( )A.Si>S4，SioVSuB.S4>S5,S10VS13C.Si<54C.Si<54,Sio>5nD.S4Vs5,Sio>5|3【考点】数列的函数特性.【专题】计算题；图表型；数形结合；数形结合法：点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.【分析】根据数列｛的｝,出力图象可知，斯，儿在〃取不同值时的符号，然后利用排除法即可得到正确选项.【解答】解：由数列S”},也〃}图象可知，当"<4时，a„<0,当〃?5时，a„>0；当"W10时，bn<0,当""11时，加>0,.,.当"<4时，anbn>0,.,.Si<S4,排除Z选项；asb5<0,：.S4>S5,排除。选项：anili>0,.,.Sio<Sii.排除C选项；11W〃W13时,anbn>0,：.Sio<Si3,8选项正确.故选：B.【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合思想，属中档题.TOC\o"1-5"\h\z, X（2015秋•临沂校级月考）在梯形X8CZ）中，NABC=——,AD//BC,8c=2/0=248=2,2将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）4兀 5兀A.n B. C. D.2n3 3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何.【分析】由题意可知几何体是一个底面半径为1,高为1的圆柱，加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体，利用体积公式，求解几何体的体积即可.【解答】解：由题意可知几何体是一个底面半径为1,高为1的圆柱，加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体，2 1 2 4几何体的体积〃=兀。1T+—•x,1T=—X.3 3故选：B.【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，比较基础.n—1（2021秋•朝阳区校级月考）已知数列{%},a= 则下列说法正确的是n（n+1）（）A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是否C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是【考点】数列的函数特性.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法：函数的性质及应用：数学运算.07—1 1 2【分析】根据题意，分析函数'= = ，由此分析数列｛。〃｝@+1)2，+1的单调情况，据此分析可得答案.[n|1 2 ]【解答】解：根据题意，a=- = = "(n+D(n+1)2(n+1)2叶12(n+1)2,1 2对于函数y= ,x21,，+1(I+1)211,1,1设，= ,fW—,则、=，-2於=-2(1--)2+—,TOC\o"1-5"\h\z1+1 2 481t=—,即x=3时，y取得最大值，4ill 1 2当时，一W W——,函数y= 为增函数，4，+12 ，+13+1)2\o"CurrentDocument"1 1 1 2当x24时， .——，函数y= 为减函数，1+14 1+1(i+l)2故数列｛a”｝中，当1W〃W3时，数列S”｝递增，且01=0,当〃24时，数列S”｝递减，此时有a”>0,故此数列的最大项是。3=—，最小项为切=0，8故选：B.【点评】本题考查数列与函数的综合应用，注意分析数列的单调性，属于基础题.二.填空题(共5小题)X 元(2021秋•兴庆区校级期末)己知函数/G)=/(―)sinx+cosx,则/(—)的值为6 6【考点】导数的运算.【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用.兀【分析】求函数的导数，令》=—,即可得到结论.67C【解答】解：(x)=f(—)sinx+cosx>6TOC\o"1-5"\h\z, ,x:.f(x)=f( )cosx-situ.66，兀、 . 元X〜兀、5/3 1则/(一)=/(一)cos--sin—=f(——)X-*—-一,\o"CurrentDocument"6 6 6 6 6 2 2故答案为：-1.. .. K【点评】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出/（―）的值是解决本题的关键.6（2021春•海淀区期中）已知3个等差数列S"｝,｛仇｝,｛Cn｝,其中数列｛Cn｝的前〃项和记为S”,已知写出一组符合条件的丁“1与的通项公式a〃=",b“=_2±-2（答案不唯一）.【考点】等差数列的前n项和.【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；逻辑推理.【分析】结合等差数列的求和公式及一些特殊数列即可求.【解答】解：取斯=",bn=2 ,Cn=",2nln(n+l) n(n+l)则an*bn- ,Sn—1+2+*•,+"= .2 2故答案为：an=n,加=」+L(答案不唯一).2【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题.(2021•云南模拟)已知数列｛的｝的前“项和为S”，ai=2,2nSn=(2n-1)an+\,则数n n-i-2列｛——｝的前n项和T„=2 a 2nn 0【考点】数列的求和.【专题】综合题；分类讨论；转化法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】本题先根据表达式代入"=1计算出"2=4,当〃22时，将2"S”=(2n-1)an+i转化为S〃=(1)an+i.然后结合公式a”=S”-S“.”进一步计算即可发现数列｛引｝2n是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列｛斯｝的通项公式，进一步计算出数列｛―上｝的通项公式，然后根据通项公式的特点运用错位相减法即可计算出前"项和Tn.Qn【解答】解：依题意，当〃=1时，21sl=(21-1)ai，TOC\o"1-5"\h\z2,Si=2Li=2,2=4, 02=4,当"22时，由2nSn=(2n-1)an+i,\o"CurrentDocument"„ 2-1 1可得S”= an+\=(1 )a”+i，\o"CurrentDocument"2n 2n“11故an=Sn-Sn.\=(1- )fln+l-(1- )a”,\o"CurrentDocument"2n 2n-1化简整理，得an+\=2an,«*a2=2ai也符合上式，•・数列｛斯｝是以2为首项，2为公比的等比数列，•・斯=2・2〃1=2〃，〃WN*,HH

-4- +•••+•223TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 22n+12"2n+i—T2n+12"2n+i\o"CurrentDocument"2 2223两式相减,\o"CurrentDocument"1 1 1可得一Tn=—+ 1•■■■+•\o"CurrentDocument"2 22222n+1n+2=1 2n+1n+2：.Tn=2- 2n故答案为：2-2n【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前〃项和问题.考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的判别，以及逻辑推理能力和数学运算能力,属中档题.14.(2012春•金安区校级月考)对于函数/(x)=-2co&r,xG[0,n]与函数g(x)=—1+?ni有下列命题：2①函数/(X)的图象不管怎样平移所得图象对应的函数都不会是奇函数；②方程g(x)=0没有零点：③函数/(x)和函数g(x)图象上存在平行的切线；④若函数/(X)在点尸处的切线平行于函数g(X)在点。处的切线，则直线尸。的斜率2-X其中正确的是③④(把所有正确命题的序号都填上)【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质与判断；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】综合题.… If【分析】①函数向左平移一个单位所得的为奇函数；2②求导函数，可得函数g(x)在定义域内为增函数，利用零点存在定理，可得函数g(x)在(e11)上有且只有一个零点；_ 1③根据，(x)=2sinx<2,g'(x)=x+ 22,可得函数/(x)和函数g(x)图象X上存在平行的切线；④要使函数/(x)在点尸处的切线平行于函数g(x)在点。处的切线只有/(x)=g'(x)=2,故可得结论._ jr -【解答】解：①函数向左平移一个单位所得的为奇函数，故①错；21②求导函数g'(x)=x+——>2,所以函数g(x)在定义域内为增函数，X1 1Vg(e1)= KO,g(1)=—>0,...函数g(x)在(el1)上有且只有一2e2 2个零点，②错误；1③因为(x)=2sinxW2,g'(x)=x+ 与2,所以函数/(x)和函数g(x)图象X上存在平行的切线，③正确；④要使函数/(x)在点尸处的切线平行于函数g(x)在点。处的切线只有/(x)=g，r I 1 _(x)=2,这时产(——，0),Q(1,—),所以直线PQ的斜率为 ④也正确2 2 2-K故答案为：③④【点评】本题以命题为载体，考查命题的真假，考查导数知识的运用，考查零点存在定理，知识综合性强.15.(2015春•遂宁校级期末)给出以下五个结论：①若等比数列｛"”｝满足ai=2,且S3=6,则公比g=-2：nK②数列｛a“｝的通项公式a“=〃cos +1,前"项和为S〃，则Si3=19.2③若数列斯="2+而(«GN+)为单调递增数列，则入取值范围是入>-2；3④已知数列｛a”｝的通项a〃= ' 其前〃项和为S),则使5“>0的〃的最小值为2n-ll111、⑤1+ 1- !--••+ <2--(心2)n2 2 „3nn其中正确结论的序号为②⑤)(写出所有正确的序号).【考点】等差数列的通项公式：等比数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】①对g分类讨论：q=l,gWl,即可判断出；AK②数列｛a〃｝的通项公式a”=〃cos +1,则ai=l,a2=-1>。3=1，。4=5,…，n=2k2-1(keN*)时，a”=l；"=44时，an=4k+\；〃=4%-2时，tz„=3-4k.计算出，即可判断出正误；③由许+1>%，解得人〉-(2”+1),即可判断出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 13 3 3④由数列｛斯｝的通项a“= ，ai=-一，ai=-一，a3=-一，…，。9=——，2n-ll3 7 5 7\o"CurrentDocument"1 3aio=—，a\\=——，而Sio=O,当〃Nil时，Sn>0,因此使得£>0的”的最小值为\o"CurrentDocument"3 1111,即可判断出正误\o"CurrentDocument"_ 1 1 1 1⑤〃，2,——< = ,利用“裂项求和”即可得出.n2n(n—1)n—1n【解答】解：①若等比数列｛斯｝满足ai=2,且S3=6,则g=l时满足条件，q/1,由2(l+q+/)=6,解得q=-2,因此不正确；- nK②数列｛a〃｝的通项公式斯=〃cos +1,则〃i=l,a2=-1,。3=1，44=5,…，.".n2=2左-1(%WN*)时，a〃=l；〃=4Z时，a〃=4k+l；〃=4%-2时，斯=3-4k.贝lj813=(11+43+…+ai3)+(。2+。6+。10)+(。4+。8+。12)=7+(-1-5-9)+(5+9+13)=19,正确.③若数列%=〃2+而(WGN+)为单调递增数列，・・・0+1〉%，解得人〉-(2/7+1),因此人>-3,故不正确；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 13 3④由数列｛。〃｝的通项斯= ，a\=-一,。2=--，。3=--，44=-1，。5=2n-ll3 7 53 3 13 .-3,戢=3,。7=1,«8=—,。9=——，aio=—，a\\= ,而Sio=O,当〃211时，5 7 3 11S〃>0,因此使得S〃>0的〃的最小值为11,故不正确.\o"CurrentDocument"、「I11.11 1.〃22, < = ,••1+ + +…+ Vn2n(n-l)n-1n22 32n2111111+(1 >…+( )=2--("22),因此正确.2 3n-1nn综上可得：只有②⑤正确.故答案为：【点评】本题考查了数列的单调性、求和、“裂项求和”、“放缩法”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三.解答题(共5小题)16.(2021秋•东莞市期末)已知等差数列｛斯｝的公差为2,且田+1,及+1，如+2成等比数列.(1)求｛a”｝的通项公式；4(2)求数列｛ ｝的前”项和S”.Q—1n【考点】数列的求和.【专题】方程思想；综合法；转化法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】(1)由01+1,。2+1，。3+2成等比数列，可得(%+1)2=(。1+1)(03+2),即(%+3)2=(ai+1)(ai+6),解得ai，即可得出a”.4 4 1 11= = =—— .利用裂项求和方法即(2n+l)2-1n(n+l)nn+1第18页共26页可得出.【解答】解：(1)Vai+1,02+1，。3+2成等比数列，/.(fl2+1)2=(ai+1)(43+2),；•(%+3)J(ai+1)(ai+6)，解得m=3,.•・a〃=3+2(〃-1)=2〃+l.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4 1 1 1(2) = = =- .a：-1 (2n+l)2-1n(n+l)nn+1\o"CurrentDocument"4 ill ii i数列｛ ｝的前"项和Si=1-—+—-—+…+- =1 =fln-l 223 n n+1 n+1nn+1【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(2021春•丰台区期中)已知函数/(x)=?-3x+l.(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程：(II)求函数/(x)的极值.【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.【分析】(I)xeR,/(x)=3/-3,可得：/(0),/(0),利用点斜式即可得出曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程.(II)令，G)=0,解得x=-l,或x=l.利用导数研究函数的单调性即可得出极值.【解答】解：(I)xGR,f(x)=3f-3,则/(0)=-3,且/(0)=1.二曲线y=/(x)在点(0,/(0»处的切线方程为V-1=-3(%-0),化为：3x+y-1=0.(II)令，(x)=0,解得x=-1,或x=l.列表如下：X(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)f(X)+0-0+f(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x=-l时，/(x)有极大值，并且极大值为/(-1)=3；当x=l时，/(x)有极小值，并且极小值为/(I)=-1.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(2021春•海淀区期中)问题提出：新型冠状病毒是•种人传人，不易被人们直觉发现,危及人们生命的严重病毒.我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者.已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为p(0Vp<l).一旦被确诊为阳性后即将其隔离.某位患者在隔离之前，每天有人位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为X(0WXWA).该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间.设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与上位密切关联者接触并继续传染其他人.小明想通过数学建模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第1天开始算起，第"天新增患者数&("N2),同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染.一、模型假设：1.潜伏期病毒未被发现，持续传播2.每位患者每天接触的人数均为左3.假设每位患者每天接触的密切关联者被感染人数为定值X=kp二、模型求解：①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,第2天被感染人数增至为：1+1•切=1+3；第3天被感染人数增至为(1+如)2.于是可以得出，第n天新增加人数&=%(1+如)”一2,小明根据自己的生活经验取左=10,p=一2①原的值为233280;②经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p'满足关系式p'=ln(1+p)-第20页共26页上，当p'取得最大值时，计算p'所对应的E6’和■所对应的品值，然后根据TOC\o"1-5"\h\z3 2计算结果说明佩戴口罩的必要性.\o"CurrentDocument"2(参考数据：出2=0.7,历3七1.1,/〃5比1.6,——七0.3,一=0.7,66=46656.计算结果3 3保留整数)三、模型检验与评价：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低：实际接触人数可能较少.【考点】离散型随机变量及其分布列：离散型随机变量的期望与方差.【专题】转化思想；综合法；概率与统计：逻辑推理；数学运算.【分析】①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,第2天被感染人数增至为：1+1*kp=1+Ap；第3天被感染人数增至为：(1+kp)+(1+kp)kp=(1+Ap)2.第〃-1天被感染的人数增至为：(1+kp)"2第”天被感染的人数增至为：(1+切)丁1,根据题意中均值定义，可以得出，第〃天新增加人数蜃=切(1+3)”一2,由此能求出1 2 1—2o②P，=/(p)=加(]+p)--p，从而= - ，进而p'1+p 3 3(l+p)1 1 1=/(p)maxWp(——)=/n3-ln2-——七0.1,p=——，p'=0.1,由此能推导出献口罩是2 3 2非常必要的.原因：实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际接触人数可能较少.【解答】解：①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1,第2天被感染人数增至为：1+1•S=1+切；第3天被感染人数增至为：(l+kp)+(1+kp)kp=(1+kp)2.第〃-1天被感染的人数增至为：(1+3)”-2,第〃天被感染的人数增至为：(1+S)〃r,于是根据题意中均值定义，可以得出，第〃天新增加人数：En=(1+切)n1-(1+即)n2=kp(1+kp)"-2,1 1 16 ,取左=10,p=—,得E8=10X—(1+10X—)=5X66=233280；2 2 22②根据题意p'—fCp)=ln(1+p)-——p,3…，,、 1 2_l-2p(p)= ，1+p 3 3(l+p)1当且仅当pe(0,—)时，f(p)>0,此时p'=/(p)单调递增,21当——,1)时，(p)<0,即p'—f(p)单调递减,2于是p'=f(p)maxWp(——)=ln3-ln2-—^0.1,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 31此时，p=—,p'=0.1,21•,.£6=10X—（14-10X一） =5X64=6480（人），\o"CurrentDocument"2 21 1瓦，=iox—（1+10X——） =24=16（人），10 10戴口罩情况下患者与密切接触的关联者被感染的人数为16人，而不戴口罩的情况下，患者与密切接触的关联者被感染的人数为6480人，即比远远大于...谶口罩是非常必要的.原因：实际上有更多的防疫措施：病人体内病毒的传染性可能会降低；实际接触人数可能较少.故答案为：（1+即）2,kp（1+即）”-2,233280,实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低：实际接触人数可能较少.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的运算，涉及到古典概型、导数性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题.（2013•乐山一模）已知函数/（x）=ln（1+x）-mx.（1）当加=1时，求函数/（x）的单调递减区间；

(II)求函数/(x)的极值；(III)若函数/(x)在区间［0,e2-1］上恰有两个零点，求m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数的极值.【专题】综合题；导数的综合应用.【分析】(/)确定函数/(x)的定义域，求导函数，利用/(x)<0,可得/(x)的单调递减区间；(〃)求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数/(x)的极值：(〃/)由(〃)问可知，当加《0时，在区间［0,1］不可能恰有两个零点；当机>0时，利用。为/(x)的一个零点，结合f(x)在［0,/-I］恰有两个零点，建立不等式，即可求机的取值范围.【解答】(/)解：依题意，函数f(x)的定义域为(-1,+8),］TOC\o"1-5"\h\z当初=1时，f(x)=ln(1+x)-x,；•''(1)= (2分)1+11 —0由/(x)V0得 1V0，即 <0，解得x>0或xV-1,1+1 1+1又；x>-1,，x>0,.V(x)的单调递减区间为(0,+8). •••(4分)(//)求导数可得,(1)= (x>-1)1时，f(x)20恒成立，.♦./(x)在(-1,+8)上单调递增，无极值.…(6分)1 1m>0时，由于 1>-1，所以/(x)在(-1» 1］上单调递增，在m m: 1,+8比单调递减,m从犯⑸极大值1)=从犯⑸极大值1)=m—inm—1-…(9分)(///)由(〃)问显然可知，当mWO时，/(x)在区间［0, 1］上为增函数，在区间［0,e2-1］不可能恰有两个零点.…(10分)1TOC\o"1-5"\h\z当z„>0时，由(〃)问知/(x)极用a=* 1).m又/'(())=0,，0为/(x)的一个零点. …(11分)?(e-l)<0...若/(x)在［0, 1］恰有两个零点，只需(八，1 ,0< 1<e-1mr2-m(e-l)<0即h ,—<m<l,e2•*- EmVI…(13分)e—1【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.220.(2021春•徐州期中)已知函数，(1)=aln++——+o.x(1)若/(x)在口，2］上单调递减，求a的取值范围：(2)若/(x)有两个零点xi，X2，求a的取值范围；(3)证明：当。=1时，若对于任意正实数xi，X2，且xi〈X2，若/(xi)=f(X2))则Xl+X2>4.【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】函数思想；综合