2022-2023学年高三上学期开学考试文科数学试题

“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试文科数学试题一、单选题1.设集合M={1,3}, ={2,4,5},则（）A.1/U B.2eUC.3更U D.4任Uz-1 ..2.设复数z满足z=三，则忖=（)_ 3A.2 B.—2C.1 D.23.函数/（xAd+W的零点共有（)A.0个 B.1个C.2个 D.3个4.已知cosa=；,且a为第四象限角,则sina=()A..巫B.土迈33c.土也D.在335.已知正方体ABS-AAGR中，£:,尸分别为bc,G。的中点，则()A.AF1ED,B.EFIC%C.A.F1BFD."工ER6.已知函数/(x)=Gcos2x-sin2x,下列说法正确的是（）A./（x）的最小正周期是2兀/（x）的图像关于直线X*对称/（x）在区间（0胃）上单调递增D.“X）的图像可由y=2cos2x的图像向左平移展个单位得到7.已知乙b,c,1均为单位向量，且满足万石二小】，命题pac=bd,命题q：ad则下列命题恒为真命题的是（）A.T7qB.P~qC.PMD.8."tan2(7t+a)+sin?(g+a)的最小值为()

A-iBA-iB-1D.09.已知一个定义在R上的奇函数〃x),当大>0时，/(x)=x-l+lnr,则不等式对'(x)>0的解集D.(y,-l)u(l，+00).已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为''，设计如下调查方案:先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为()A.8 B.20 C.148 D.247.单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为()A.B4A.B4r3yf244

n3a4”出/l-cos50s.sin50 1rG.—rmi/、.攻〃=J ,b= ,c=-cos6 sm6，贝(J()V2 1+cos50 2 2A.a<c<b B.c<a<bC.a<b<c D.a<c<a二、填空题.已知函数= 贝2))=..函数f(x)=ln(x-l)+2的一条过原点的切线方程为..设尸是抛物线C：丁二叔的焦点，点A在抛物线C上，8(3,0),若|AF|=2|M|,则圈=.aABC的外心为。，三个内角4B,C所对的边分别为。，b,c,正辰=；a[a-|c),b=4.则aABC面积的最大值为.三、解答题.记数列｛4｝前〃项和为S“，2Sn+n2=2na„+n.⑴证明：｛4｝为等差数列；(2)若4=1,记7.为数列风｝的前〃项积，证明：Z题高<2..已知aABC的内角AB,C所对的边分别为a,4c,3sinAsinC=2sin2B,2sin2A+2sin2C=5sinAsinC.⑴求8；(2)若A>C,b=y/3,求A..在三棱锥中，平面BAD，平面BCDNBA。=NBQC=90,E是BC的中点.(1)证明：AB1AC；⑵若CD=娓AD=也AB=屈,求点E到平面ACD的距离.P—1.设函数/(x)=e'-x+ +a(x>。,。为常数).x⑴讨论〃力的单调性；(2)讨论函数/(力的零点个数..设椭圆c:二+¥=l(a>b>0),右焦点尸(c，0),短轴长为2,直线x=土与x轴的交点到右焦crZr c点的距离为更.3(1)求C的方程；⑵点P(l，0),A,8均在c上，且满足=尸比若AB与X轴交点为Q,求满足条件的点。的坐标.一 fx=2+cos0.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 .n(6为参数)，正方形A3CO的顶[y=sin〃点均在C上，且48C,。依逆时针次序排列，点4(3,0).(1)求C的普通方程及点8,C,。的坐标；(2)设P为C内(包含边界)任意一点，求|尸才+归81+|PCf+|尸比的最小值..已知a,b,c为正实数，a2+b2+c=l.(1)求证：a+b+4c<V3；(2)求证：abc<-.8参考答案:B【分析】先求出"={123,4,5},从而判断四个选项的正误.【详解】由题意，={1，2,3,4,5},则l,2,3,4eU.故选：BC【分析】根据已知条件，结合共轨复数的定义，以及复数模公式，即可求解.【详解】设2=。+岚(a,6wR),则彳=。一历，vz=—,BP2z=z-l,2.. ,. \2a=a-\・.・2(a+bi)=a-l-b\,即< ,[2b=-b解得a=-l,b=O,vz= z|=l.故选：C.C【分析】分别讨论x>0与x40时/(x)=0的解得个数即可.【详解】当x>0时“力=。无解：当x40时，/(x)=x3-x=x(x+l)(x-l)=OW^x]=0,x2=-1.综上，函数/(X)有2个零点.故选：C.A【分析】根据同角平方和关系即可求解.【详解】Qa为第四象限，，sina<0r :― 272••sina=-Vl-cosa= >3故选：AD【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系.【详解】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则4(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A(0,0,2),B,(2,0,2),C,(2,2,2),D,(0,2,2),£(2,1,0),F(l,2,2),AAF=(1,2,2),函=(-2,1,2),得至lj而•函'=4,前=(-1,1,2)，X=(-2,-2,2)n而司=4,卡=(1,2,0),丽=(-1,2,2)=>病历=3,卡=(1,2,0),函=(-2,1,2)=/函=0,故选：D.D【分析】利用辅助角公式对/(x)=6cos2x-sin2x恒等变形，从而求出最小正周期判断A,利用整体代入法可判断B与C,根据图像平移判断D.【详解】f("=百cos2x-sin2x=-2sin(2x-得7=§=兀，故A选项错误；^-2x--=—+kn,(keZ)=>x=—+—,(keZ),32 122函数〃幻=-2呵2》_曰单调递减,二直线x=函数〃幻=-2呵2》_曰单调递减,y=2sin(2x-]J单调递增,故C选项错误；将/（x）=2cos2x的图像向左移三个单位得=?,in =-2sin（2x-舅.故D选项正确.故选：D.B【分析】根据已知可求得Z6的夹角和32的夹角相等，进而可求解.【详解】由G石=小2可得，同年88.5）=忖洞COS«,1）,又因为乙b,C,，均为单位向量，所以G,B的夹角和32的夹角相等，作图知P，4命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是Pvg.故选：B.A【分析】由诱导公式以及基本不等式即可求最值.【详解】因为cos2a>0，原式=f—L—^+cos2a>21।,•cos2a .当且仅当—匕一=cos2a=>cosa=±-时，（9cos-a9） V9cos2a99 9cos2a 3取等号.故选：AD【分析】求导可得〃x）为增函数，且/⑴=0,再求解/（x）<0与〃x）>0的解集，结合4（x）的奇偶性求解即可.【详解】由题意，得r（x）=i+1＞o则/（力单调递增，又/⑴=0,所以当f（x）＜0时，xe（O,l）；当/（x）＞。时，XG（1,+00）..•.X＞0时，旷'（力＞。的解集为（1,+8）.又/'（X）为奇函数，，#（x）为偶函数,J.V（x）＞o的解集为（-00,-1）51，+8）.故选：DB【分析】根据题意，按比例将1400人分为840人和560人，其中840人中将有420人回答“否”，则则560人中有972-420=552（人）回答“否"，8人回答“是”，则可求出问是否带手机的回答是的人数所占的比例，从而可求出该校高三年级“带智能手机进入校园''的人数.3 2【详解】根据题意，1400人分为1400x《=84。（人）和1400x^=560（人），840人中将有420人回答“否”，则560人中有972-420=552（人）回答“否"，8人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占!，该校高三年级“带智能手机进入校园''的人数约为1400x5=20（人）.故选：BC【分析】先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可.【详解】如图为单位正四面体A-BCD.过点A作面BCD的垂线交面于点E,F为外接球球心,则E为△BC3的中心，则=3在RtAABE中，AE=y/AB2-BE2=—.

设= 则在用AB所中，使/回=R2，解得R=逆.13m 4•••外接球内接的最大正三角形即为球的大圆的内接正三角形，•••由正弦定理可得边长为2Rsin60。=6/?=逑•4故选：CB【分析】化简。、b.c,利用不等式的性质结合正弦函数的单调性可得出这三个数的大小关系.【详解】因为a=/Z孚匚=pZ孚Hl=sin25，，.sin50 2sin25cos25: __b= = z =tun25»1+cos50l+2cos*25°—1c=1cos6-^ysin6=sin30cos6-cos30sin6=sin（30-6）=sin24,因为0<24°<25°<90°，则0<cos25"<l，0<sin25<1，且函数y=sinx在（0,小上单调递增，则tan25'=更喳->sin25>sin24,^c<a<b.V2J cos25故选：B.1##0.5【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为1呜2=1吗"=-/0822=-；,7 Z Z4又/（%）=,又/（%）=,2r<0x2,x>0所以d/logc]ll477故答案为：yy=x【分析】求出函数的导函数，设切点为(与，皿(%-1)+2),即可求出切线的斜率，从而得到J"""2,令/z(x)=-告+ln(x-l)+2,xe(l,y),利用导数说明函数的单调性，即X) X—1可得到%=2,从而求出切线方程.【详解】解：因为〃x)=ln(x7)+2,所以用x)=—三,X-1设切点为(%[n优-1)+2),则/'伉卜一^,Ao-1所以二^=皿(义7)+2,即_气+皿/-1)+2=0,JCo-1Xo %-1令〃(x)=-旨■+ln(x-l)+2,xg(1,+oo),则〃(力=()])2+£^＞。,所以〃(x)在(1,内)上单调递增，又〃(2)=0,所以%=2,则〃%)=2,/'(%)=1,所以函数/(x)过原点的一条切线方程为y=x.故答案为：y=x【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得怛打，由|A尸|=2忸耳，可得|4川=4,结合抛物线的定义可得A点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案.【详解】由可知焦点尸(1，。)，8(3,0),.•.网=2,'：\AF\=2\BF\,；.\AF\=4,点A到抛物线准线的距离为4.•••抛物线的准线方程为x=-l,•••点A的横坐标x=3,/.43,2石)或(3,-26)，,M=2技故答案为：2石.12Q【分析】由平面向量的数量积结合已知可得/+02-从=1",,再由余弦定理求得COS8,进而求得sin8,由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则aABC面积的最大值可求.【详解】设8c的中点为M,如图所示，•••aABC的外心为o,则。M_LBC,OMBC^O,:.AOBC=AOBC+OMBC=(Ad+OMyBC=AMBC=^AB+AC)(AC-AB^=^(b2-c2)"2Q,"2Q,整理得/+。2-〃=9四,■.■AOBC=-2.•.cosB=“2±cf=9,贝iJsinB=W，2ac5 5又b=4,.\1642当且仅当”=c=2ji6,等号成立.ac<40,S=—acs\nB<\2.2故答案为：12.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据。“与S,,的关系，用(〃-1)替换〃，然后作差即可证明.(2)先由(1)中结论得到｛《,｝通项，从而得到E；=i"=[+[+]+L+—J,然后裂项放缩，即可得证.由题意，得2s“=2〃a.+〃-"2.则2s两式相减，得(2〃一2月一=2"-2,n>2,neN,,

即an-a〃T=1,n>2,ngN*,・・・{4}是等差数列.因为4=1,由(1)知凡Ft=bn>2,neN*(q=1也符合此式)故数列｛4｝的通项公式为则《=qqL二加el1 1所以Zy亍=el1 1所以Zy亍=1+王+1+L+13!n\故Z着!<2,得证.笠(1)3【分析】(1)由边角互化得3ac=2/A2a2+2c?=5ac,再根据余弦定理求解即可;(2)由题知ac=2,(2a—cXa-2c)=0,再结合A>C得a=2,c=l,再根据余弦定理求解即可.解：由题意，W3ac=2b2,2a2+2c2=5ac.5 3Da2+c2-b22aC~2aC1.2ac 2ac2,:Be(O,万)，aB=-.3(2)解：结合(1) 3ac=2b292a2+2c2=5ac,再将b= 代入两式，得ac=2,勿2+2c?=5ac./.（2〃一c）（々-2c）=0.当2a=c时，解得a=1,c=2；当a=2c时，解得c=La=2.乂A>C,:.a>c,;.a=2,c=1.・・・A«0㈤：.A=—,2(1)证明见解析⑵交2【分析】(1)根据面面垂直的性质可得8_L平面BAD,再根据线面垂直的判定与性质证明刚_1面CDA即可；(2)根据中点性质点E到ACO的距离为点C,8到AC3的距离的平均值，再结合(1)中8AJ■面CO4求解即可.证明：因为平面84£>_L平面BCD,且交于80,CDLBD,C£)u平面8CD,故C0_L平面8Ao.又BAu平面BAD,故8_LBA.又S4_LA£>,AD^CD=C,4£>,C£)u平面AC£),.•.a4_L面CO4.因为ACu面SA,..ABX.AC根据中点性质，知点E到ACO的距离为点C,B到ACZ)的距离的平均值.因为cd=&d=6ab=R,故ab=&.点E到ACD的距离为上走=包.2 220.(1)递减区间(0,1),递增区间(1,y)；(2)答案见解析.【分析】(1)求出函数/(x)的导数，探讨导数值为正、为负的x取值集合即可作答.(2)利用(1)的结论，在(0,xo)上探讨函数/CO值的性质，再确定零点个数作答.(1)p—1 e-1当x>0时，由f(x)=e'-x+U+a求导得：f'(x)=e'-l-7，显然函数/(x)在(0,+8)上单调X X递增，而/'(1)=0,则当0<x<l时，f'M<0,当X>1时，r(x)>0,即f(x)在(0,1)上递减，在(1,y0)上递增，所以函数/(x)的递减区间是(0,1),递增区间是(1,内).(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上递减，在(1,9)上递增，/(x)^=/(l)=2e-2+a,令力")=e=x,x>0,求导得l(K)=e”-l>0,函数力。)在(0,内)上单调递增，函数y=—在x(0,+℃)上递减，当0<xWl时，献x)取值集合为函数y=3取值集合为［e-l,+oo),x因此函数/(X)在(0,1］上的函数值集合为［2e-2+a,+e),当x21时，函数力(x)的取值集合为函数丫=口■取值集合为(0,e-l］,X因此函数/(X)在□,+<»)上的函数值集合为【2e-2,+oo),所以当2e-2+a>0,即a>2—2e时，函数f(x)无零点，当a=2—2e时，函数f(x)有一个零点，当a<2-2e时，函数f(x)有两个零点.21.⑴二Fy2=i4'Q 10(2)(00)或《,0)或(?0)【分析】(1)由题知6=1,《-c=3,再根据/=从+/解方程即可得答案；c3(2)当AB不平行x轴时，不妨设A8:x=my+f,Q(/,0),进而联立方程结合韦达定理得-2mt m殂2|lT|iE7J16(*+4")mt_E出而八知Ji+y2=-7,再根据已知得r=^==5/m+1--~z~--,―—--丁=一机进而分机工0和加+4 ,>+1 |相一+4|m-+4-4/〃2=0两种情况讨论求解得，=(,，=0,并检验判别式即可得答案.解：因为短轴长为2,直线x=4与x轴的交点到右焦点的距离为立C 3所以，c= “°=〃+c?=4.所以，椭圆C的方程为匕/=].4解：当A8〃x轴时，此时点。不存在；当AB不平行x轴时，不妨设AB:x=ay+f,Q(r,O).联立直线A8和椭圆C的方程，得(机2+4)/+2/«)+『-4=0.贝！]A=16(m2+4-/)>0=/</+4.由韦达定理，得％+必=二m+4设A8的中点为M,因为PA，PB,PA=PB,所以，其中d为P(1,O)到直线AB的距离,所以，孚2=g巫库五.J/+1 向+4]4r—nit结合直线A8和乂+%，得^/一).nT+4nr+4所以，由必/JLAB可得)”=.m,即 ""——=一机xp-xM M+4-4，、出in2+4/4ix211-r|r~i;Jl