初中数学人教九年级上册第二十四章圆-垂直于弦的直径 -

学习目标3.能运用垂径定理解决有关圆的简单实际问题.

1.了解圆是轴对称图形，进一步认识圆.2.理解垂直于弦的直径的性质，并能应用它解决一些简单的计算、证明问题.

新知导入下面我们一起来欣赏最美的平面图形——圆.知识探究

实践探究请同学们拿出准备的圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？圆的轴对称性知识点1知识点1猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.知识探究已知：如图，在ʘo中，直线CD是过圆心的一条直线，交ʘo于点C、D.求证：ʘo是关于直线CD的轴对称图形.猜想：

圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是圆的对称轴.·OABDEC证明：∵ʘo上的C、D两点在直线CD上，∴C、D关于直线CD的对称点分别是C、D本身.设A为圆上除点C、D以外的任意一点，过点A作AB⊥CD于E，交ʘo于点B.

连结OA、OB

∵OA＝OB∴AE=BE∴点B是点A关于直线CD的对称点.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点.

即ʘo关于直线CD对称.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.知识探究实践探究：如图，过圆心作一条直径CD垂直弦AB于点E，从上面的证明知道，点A关于直径CD所在直线的对称点是点B.即直径CD平分弦AB，并且平分AB，ACB

∴线段:AE=BE

弧:AC=BC,AD=BD

把圆沿着直径CD折叠时，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC重合，AD与BD重合．·OABDEC垂径定理知识点2垂径定理：·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径，

CD⊥AB∴AE=BE,AC

=BC,AD=BD.用几何语言来表述这个定理：想一想：下列图形能否根据垂径定理得到点E是线段AB的中点？如果不能，请说明理由.火眼金睛归纳：使用垂径定理的条件：一过（过圆心）；二垂直（过圆心的线垂直于弦）不是，CD没有垂直AB不是，CD没过圆心不是，AB不是弦是是是是是学以致用例1

如图，在ʘo中，AB是弦.(1)若AB=16cm，OE⊥AB于E，则AE=

cm.

(2)在（1）题的基础上，若OE=6cm，则ʘo的半径为

cm，延长OE交ʘo于点F，则EF=

cm.(3)若OE⊥AB于E，OE=6cm，ʘo的半径为10cm，则AB=

cm.·OABE垂径定理的计算810164学以致用例2如图，在半径为10的ʘO中,弦AB∥CD,AB=16,CD=12,求AB与CD之间的距离..CDABO垂径定理的计算学以致用例2如图，在半径为10的ʘo中,弦AB∥CD，AB=16，CD=12，求AB与CD之间的距离.垂径定理的计算解：作OE⊥AB,垂足为点E，延长OE

交CD于点F，连接OA，OC.∵AB=16,

∴∵OA=10∴在RtΔAOE中，

∵AB∥CD,OM⊥AB∴OF⊥CD同理可得，OF=8∴AB与CD之间的距离：EF=8-6=2.

学以致用变式：在半径为10的ʘO中,AB∥CD,AB=16,CD=12,

则AB与CD之间的距离为

.垂径定理的计算第一种情况：两条弦在圆心O同侧：第二种情况：两条弦在圆心O异侧：AB与CD之间的距离为2AB与CD之间的距离为142或14例3如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．又∵AC=AB∴AE

=AD∴

四边形ADOE为正方形.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC∴∠AEO=∠ADO=∠A=90°∴四边形ADOE为矩形.∵OE⊥AC，OD⊥AB∴学以致用垂径定理的证明学以致用例4

如图，古桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为20m,拱高(弧的中点到弦的距离)为5m，你能求古桥桥拱的半径吗？垂径定理的实际应用解：如图，用弧AB表示桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.

作半径OC⊥AB，垂足为D，∴AD=AB

由题意知AB=20，CD=5.解得R=12.5（m）.即主桥拱半径约为12.5m.在