2022届重庆市高三下学期调研检测（七）数学试题（解析版）

2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测(七)数学试题一、单选题.设全集。={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,0,1,2},8={-3,2,3},则40@8)=()A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}【答案】D【分析】求出电B={-2,7,0,1}即得解.【详解】由题设，{-2,-1,0,1},则Ac%B)={T0,l},故选：D..已知函数f(x)=,(万)，X~2,则〃1隰12)=()/(x-l),x>2A.- B.-6 C.- D.-36【答案】A【分析】判断log212的范围，再代入函数的相应解析式中求得答案.【详解】因为啕3«1,2),贝i]log/2=2+log23«3,4),所以/(唾212)=〃2+嚏23)=/(10&3)=匕J =(2喝3)一=§,故选：A.3.已知双曲线C:二-或=1仕>0),若对任意实数加，直线4x+3y+m=0与C至多有k16一个交点，则C的离心率为()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.叵4 3 3 9【答案】B4 〜【分析】根据直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线产一无x的关系求得3从而求得c,以及双曲线的离心率.4【详解】依题意可知直线4x+3y+机=0与双曲线C的渐近线丫=一五》平行或重合，则4_44k=3'即2=9,4=3,从而C=7^TT^=5,所以。的离心率e=£=3a3

故选:B4.考察下列两个问题：①已知随机变量X〜且E(X)=4,£>(X)=2,记P(X=l)=a：②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，8表示"有一个景点仅甲一人去旅游”，记TOC\o"1-5"\h\zP[A\B)=b,则( )I,1 „ 1,1A.a=--=- B.a=一工，b=——23 2 24 22, 1 1 f 1C.a=,b=- D.a=-^,b=--25 2 26 22【答案】C【分析】由二项分布的期望、方差公式得〃=1,〃=8,进而得。=/；根据条件概率计算公式P(A|8)= 求解即可得b=3[E(X}=np=4 1【详解】解：问题①，由八/V 八\i解得P=：,〃=8,[Q(X)=〃p(l-p)=2 2则〃=P（X=1）=C；・问题②，根据题意，事件B的可能情况有〃(3)=C；x22=12种,事件AB发生的可能情况为〃(AB)=A；种,所以，人=尸（川8）=）^=不%〃（tij C3xZ故选：c.5.某种活性细胞的存活率〉(%)与存放温度xCC)之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度X(℃)104-2-8存活率y(%)20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2,若这种活性细胞的存放温度为6℃,则其存活率的预报值为()32%33%34%35%32%33%34%35%【答案】C【分析】根据已知回归方程的斜率，先设出回归方程，然后计算出样本中心点口5）代入回归方程，得到回归方程后，然后，令x=6即可完成预测值的求解.【详解】设回归直线方程为＞-3.2x+a,由表中数据可得，x=l,y=5Q.因为回归直线经过样本点中心（1,50）,则a=?+3.2l=53.2.所以当x=6时，＞-3.2x6+53.2=34.故选：C.的值为（6.已知sin的值为（【答案】A【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即得解.故选：A.7.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3,AA_L底面，底面扇环所对的圆心角为弧4。长度为弧BC长度的3倍，且C£＞=2,则该曲池的体积为（ ）D.5冗D.5冗【答案】B【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧4。所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r,由弧40长度为弧8c长度的3倍可知R=3r,CO=R—r=2r=2,即/'=1.故该曲池的体积

V=^x（/?2-r2）x3=6^.故选：B.在々ABC中，角B，C的边长分别为b,c,点。为aABC的外心,泥湍的取值范围是（）A.-；,o]B.（0,2） C.【答案】D求出b的取值范4求出b的取值范4【分析】作出辅助线，对数量积进行转化得到8CA0=围，进而求出答案.【详解】取BC的中点。，则。所以BCAO=BC(AD+D6)=BCAD+BCDO=BCAD=(ac-ab)1(ac+ab)=1(ac2-abj=l(h2-c2)因为c2=»-加＞。贝i]。（。-2）＜0,即0＜b＜2.所以」4所以」4南通＜2,4故选：D.二、多选题7T截面是一个椭圆.若.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若7T圆柱的底面圆半径为2,0=-9则（ ）A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为立2C.椭圆的标准方程可以是《+《=1164D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2®【答案】BCD【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长。，b,再逐项计算、判断作答.【详解】设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为8,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，TT 4则由截面与圆柱底面成锐二面角。得：2a=—4=8,解得a=4,A不正确；3 cosg显然6=2,则c=77二^=26，离心率e=£=且，B正确；a2当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程二+三=1,C正确；164椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-26，D正确.故选：BCD10.函数/(x)=Asin(azr+s)(其中A>0,<y>0,M<乃)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是()

B.函数图像的对称轴为直线》=苛+行伏€2)jrC.函数/(x)的零点为-二+Qr(kwZ)6D.24D.24若/(x)在区间—13兀则实数。的取值范围为【答案】ABD【分析】由函数的图像可知，4=2*=普-(-令，从而可求出7=万，进而得。=2,然后将(F，2)代入解析式中可求出。的值，则可得函数的解析式，再逐个分析判断即可【详解】解：由函数的图像可知，A=2,；T=W-(-J),则T=",TOC\o"1-5"\h\z4 12 6由/(■—)=2sin(--+夕)=2,得°=——+2k7r(kgZ),12 6 32乃 2乃因为冏<乃，所以°=一--,所以f(x)=2sin(2x--—),所以A正确，由2x一生=^+Att,%£Z,得工=豆+卫(攵eZ),3 2 2 12kn7IT所以函数/(X)图像的对称轴为直线x=^+管(AwZ),所以B正确，，万 K7TTT k7T7T由2x-号出口尸学+1,keZ,所以函数/⑴的零点为竽+三，keZ,所以C不正确，l十7, 「24]4c 2乃「2九汽2冗一对于D,当xw-时，2x--g-,2a--,令f=2x-4，则fG ,由y=2sinf的图像可知，若y=2sinf在区间TOC\o"1-5"\h\zJ LJ -2万c 24.,,,..,_[、“ l >->124 . 27r 71 ,»n，口 137r 31—»2a--上的值域为[-2,G],则---<—t -rr-<a<—tJ J J JJ 14 4所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查了三角函数的图像和性质，解题的关键是熟记三角函数的图像和性质，合理利用换元法求解，考查计算能力，属于中档题11.已知/(X)是定义在R上的偶函数，且对任意xeR,有〃1+力=一〃1-力，当时，/(x)=x2+x-2,则()/(x)是以4为周期的周期函数/(2021)+/(2022)=-2C.函数y=/(x)-log2(x+l)有3个零点D.当xw[3,4]时，/(x)=x2-9x+18【答案】ACD【分析】首先判断出“X)的周期，然后求得〃2021)+〃2022).利用图象法判断C选项的正确性，通过求/(力在区间[3,4]上的解析式来判断D选项的正确性.【详解】依题意，"X)为偶函数，且+= x)n/(x)关于(1,0)对称，则〃x+4)=/(l+x+3)=_/(l_(x+3))=_〃_2_x)=-〃-(2+x))=-〃2+x)=-〃l+l+x)=/(l-(l+x))=f(T)="x),所以是周期为4的周期函数，A正确.因为f(x)的周期为4,则“2021)=/⑴=。/(2022)=/(2)=-/(0)=2,所以/(2021)+/(2022)=2,B错误；作函数y=logz(x+l)和y=/(x)的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；当xe[3,4]时，4-xe[0,l],则f[x)-f(-x)-/(4-x)=(4-jc)2+(4-x)-2=x2-9x+18,D正确.故选：ACD.如图，棱长为2的正方体ABC3-ABGR的内切球球心为。，E、尸分别是棱AB、CC1的中点，G在棱上移动，则()。1AEBA.对于任意点G,0A〃平面EFGB.存在点G,使OE)_L平面EFGC,直线E尸的被球。截得的弦长为6D.过宜线所的平面截球。所得截面圆面积的最小值年【答案】BD【分析】A选项，举出反例：B选项，取G为3c的中点时，证明OZ5_L平面EFG；C选项，求出球心到E尸的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心0到截面的距离440M=—,从而求出截面面积最小值.2正方体内切球的球心。即正方体的中心，且球半径R=l,当G与8重合时，Aw平面瓦B,Oe平面EEB,此时直线。4与平面E尸G相交，A错误;当G为BC的中点时，EG1BD,EG1BBt,BDcBB,=B,则EG_L平面88QQ,因为耳。u平面BBQ。，所以EGLBQ；同理，FG1B,D,因为EGn/G=G,所以用。，平面EFG,即O£>1.平面EFG,B正确;取E尸的中点M,由对称性可知，OE=OF,则所.TOC\o"1-5"\h\z因为OE=壶,EM=-EF=-yjEC2+FC2=—,则OM=JOE?- =也,2 2 2 2所以直线EF的被球。截得的弦长为2，?、。/=2$-]4=V2,C错误：设截面圆半径为，，球心。到截面的距离为d,则/+/=尸=1.因为4 立，则/=1-/2：,所以截面圆面积S=7t，21，D正确，2 2 2故选：BD.三、填空题.已知复数z满足z(l-i)=4+2i,贝”=.【答案】l+3i【分析】利用复数的除法和乘法运算求解.4+2i2(2+i)(1+i)/ 、/ 、【详解】-=-=(I_i)(1+i)=(2+1)(l+i)=l+31.故答案为：l+3i.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有种.【答案】126【分析】按甲收集资料的种数分类讨论，先确定甲收集资料的种数剩下的分成三组分给乙、丙、丁三人收集.【详解】据题意，甲可收集1种或2种资料.第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种,另两人各收集1种，有C；C：A；=108种；第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有=18种.所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.故答案为：126..已知直线/过点P(O,1),且与圆。：x?+y2=3相交于两点，^dC=OA+OB,若点C在圆。上，则直线/的倾斜角为.【答案】30。或150°【分析】由反=方+而可以判断四边形QACB为菱形，点C在圆。上，则|。0=四=@,转化成。点到直线丫=h+1的距离为由，即可求出答案.1 1 2 2 2【详解】因为无=砺+而，|。4|=|。回，则四边形O4CB为菱形，所以设。为垂足，因为点C在圆。上，则［0。=牛=也.设直线/的方程为y=^+i,由-更，得忆2=2，即％=士立，所以直线/的倾收+12 3 3斜角为30。或150°.故答案为：30。或150。.16.已知函数f(x)=x—ae*+2,若存在实数%,毛(%#七)，使得/(3)=/(9)=°，则。的取值范围是【答案】(0,e)【分析】由题意将问题转化为直线与函数六)=?的图象有两个不同交点，然后利用导数求出g(x)的单调区间和最值，结合函数图象求解即可【详解】由/(x)=x-ae"+2=0,得a**-U0据题意，“X)有两个不同零点，则直线y=a与函数g(x)=-^的图象有两个不同交点,,/、X4-2 3，,、 —(X4-1)由g(x)=h'得g(x)=^^当x<-l时，g(x)>0,当x>-l时，g'(x)<0,所以g(x)在(F,-l)上递增，在(-1,y0)上递减,-14-2所以g(x)…g(-D=『=e由图可知，a的取值范围是(o,e).故答案为：(0,e)

四、解答题17.如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处，小岛B北偏东15,距离306-30海里处有一个小岛C.(2)如果有游客想直接从小岛4出发到小岛C,求游船航行的方向.【答案】(1)30卡海里(2)游船应该沿北偏东60的方向航行.【分析】(1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛C的距离;(2)两边两角，由正弦定理可以求角.【详解】(1)解：(1)在*ABC中，AB=60,BC=30>/3-30ZABC-180-75+15=120°,根据余弦定理得：.AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC=602+(306-30)2-2x60x网逝_30).cosl20=5400AC=30^6.所以小岛A到小岛C的最短距离是30面海里.(2)解：(2)(2)解：(2)根据正弦定理得:AC

sinZABCA8

sinZ.ACB30>/65/nl20忑%解得sin/ACB考在AABC中，BC<AC,・••/ACS为锐角ZACB=45ZCAB=180-120,-45*=15°.由75。-15,=60得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A到小岛C的最短距离是30面海里;游船应该沿北偏东60的方向航行.18.己知数列｛4一1｝是递增的等比数列，4=5且%+4=26.（1）求数列｛q｝的通项公式；⑵求数列｛叫,｝的前〃项和s..【答案】（1必=2"+1⑵5"=（〃-1）2川+1+畀2【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.【详解】（1）设数列｛《,一1｝的公比为4,bn=an-l,则a“=6.+l.由。2=5得%=4,由%+〃4=26得4+仇=24,所以4（＜?+/）=24,解得4=2或g=-3（舍去），所以々=b0”=4x2"2=2".所以数列｛。.｝的通项公式为%=2"+l.（2）由条件知〃《,=小2"+",设=1x2+2x22+3x2'+…+〃x2",则2A=1x2?+2x23+3x24+…+（〃-1）x2"+〃x2”"，将以上两式相减得-4=2+22+23+―+2"—〃x2"M=2（2"-1）-〃x2""=（1-〃）2""-2,所以4=（〃—1）21+2.设纥=1+2+3+…+小,则S"=A,+纥=（〃-1）2""+2+^^=（〃一1）2"”+导〉2・19.2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120

(1)根据所给数据，完成下面2x2列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.(注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标)达标不达标合计男生.女生合计(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X,求X的分布列及数学期望.n(ad-bcj(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)尸(犬认)0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，没有；7(2)分布列见解析，O【分析】(1)完成列联表，再利用独立性检验求解；(2)由题得X的所有可能取值为0,1,2,3,4,再求出对应的概率，即得分布列和期望.【详解】⑴解：由题得2x2列联表如下：达标不达标合计男生10801201200女生840120960合计192024021602160(1080xl20-840xl20)2=271920x240x960x1200~8

・・・没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.(2)解：由题意男生体质测试优良率女生体质测试优良率巴=g.X的所有可能取值为0,1,2,3,4..如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC_L底面ABC,AC±BC,△PAC是边长为2的正三角形，BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AE尸与平面ABC的交线为I.(1)证明：直线/，平面PAC；(2)设点Q在直线/上，直线尸2与平面AE尸所成的角为a,异面直线尸。与EF所成的角为。，求当A。为何值时，a+O=~.【答案】(1)证明见解析

TT（2）当AQ=1时，a+0=—【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；（2）作出辅助线，找到直线P。与平面AE尸所成的角a,异面直线PQ与瓦'所成的角为。，结合三角函数的性质进行求解.【详解】（1）因为EF分别是PCPB的中点，则BC〃EF,又BCa平面五，EFu平面AEf，从而BC//平面AEF.因为BCu平面ABC,平面AEFP）平面ABC=/,则8C〃/,因为平面尸AC_L平面ABC,平面P4CD平面ABC=AC,BC_LAC,则BC_1_平面PAC,所以直线/_L平面PAC.PP因为BCJ■平面PAC,PCu平面PAC,则BC_LPC.又EF//BC,则EF_LPC.因为△R4c为正三角形，E为PC的中点，则AELPC.因为AEflEGE,从而PCJ_平面A£E连接E。，则NPQE=a,因为1〃EF,/IPA,则NPQA=。,在Ri.PEQ中,.PEsina=在Ri.PEQ中,.PEsina= PQ在Rt^PAQ中,COS0=AQPQ'TT因为a+e=5,则sina=cos。，得AQ=1.TT所以当AQ=1时，a+6=]..已知椭圆E：W+]=l（a>b>0）的焦距为2c,左、右焦点分别是耳，尸2,其离心率a~h~为B,圆月：（x+c）2+y2=i与圆6：（x-c）2+y2=9相交，两圆交点在椭圆E上.2⑴求椭圆E的方程；⑵设直线I不经过尸（0,1）点且与椭圆E相交于AB两点，若直线抬与直线总的斜率之和为-2,证明：直线/过定点.【答案】⑴*』（2）证明见解析【分析】（1）根据题意列出等式，求得“，"c,即得答案；（2）考虑直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合直线R4与直线m的斜率之和为-2化简整理可得参数之间的关系式，即可证明结论.【详解】（1）由题意得0=£=3，a2由圆耳：*+°）2+/=1与圆勺。-靖+〉2=9相交，两圆交点在椭圆E上，可知：2a=1+3,又02=从+©2,解得：a=2,b=l,c=所以椭圆E的方程为：—+/=1.4'（2）证明：①当直线A8的斜率不存在时，设直线/:x=f,由题意可知，xo,且「|<2,设Ar,与r,一3尹）J4_/2 J4_.2因为直线尸APB的斜率之和为_2,所以——一1一――一1 .t t化简得r=l,所以直线/的方程为x=l.②当直线A8的斜率存在时，设AB方程为y=H+/n（/«xl）,A（x，y）,B（w，y2），V、联立消去化简得（4/+1）/+86械+4桃2-4=0.y=kx-\-tn8km 4m2-4再+%=-赤?中产赤丁由题意可得A=16（4公->+1）>。，因为直线PA,PB的斜率之和为-2,所以2一+匕一=一2,XyX2・•・—! + =-2,X *22kxi4+（机一1）（百+七）平2.\（2/：4-2）X1X24-（W—1）（X1+%2）=0,.•.(2k+2)-^^~-+(m-l)-―= 1),' '4^+1' '4二+1 ' '化简整理得上=-m-l,当且仅当A=16[4(m+l)2-m2+l]=16(3/+即1+5)＞。时，即,"-g或帆＞-1且mxl时符合题意，二直线A8的方程：y=(-m-l)x+/n,即y+]=(th-,故直线/过定点(LT),综上①②可得直线/过定点【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的直线过定点问题，解答时要注意考虑直线斜率是否存在的情况，斜率存在时设出直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，然后结合条件得等式，化简即可，难点在于计算量较大并且运算繁琐，需要十分细心.22.己知函数/(x)=xe*-］x(x+2)-l(4wR).(1)若x=-l为/(x)的极小值点，求a的取值范围；⑵若/'(x)有唯一的极值」T，证明：VxN—l,/(x)+l>sinx.e【答案】(1)卜8,j(2)证明见解析【分析】(1)将函数求导之后，讨论a的取值范围，进而判断了(X)的单调性和极值的情况，由x=-l为/(力