抽象函数与解题策略

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育诚高级中学——黄勇一、教学目标1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；3、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。二、教学重点通过对抽象函数有关性质的研究来解决求函数值、求解方程和不等式等问题。三、课型：拓展研究课

四、教学过程（一）对近年高考试题分析设奇函数的定义域为，若当时，的图像如图所示，求不等式的解。（2004年高考）2、是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示。令，则下列关于函数的叙述正确的是（）（2003年高考）

（A）若，则函数的图像关于原点对称；

（B）若，则方程有大于2的实根；

（C）若，则方程有两个实根；

（D）若，则方程有三个实根。（二）例题选讲例1已知是定义在上的增函数，且对任意都有。（1）求的值；（2）若，求解不等式：。

求函数值练习：1、定义在上的函数同时满足：（a）对任意；(b)对任意均有。求的值。2、是定义在上的函数，且，若，求的值。例2定义在上单调函数满足且对任意都有：。若对任意恒成立，求实数的取值范围。奇偶性练习：1、已知函数对任意实数均有且，试判断的奇偶性。

2、已知函数均为定义在上的奇函数，且在上的最大值为5，求在上的最小值。3、已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足。（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明。

例3设函数的定义域为，当时，，且对任意的有成立。数列满足（1）求证：；（2）证明方程至多只有一解。（3）求数列的通项公式。

单调性练习：1已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：（a）对任意都有；（b）；（c）。

（1）计算的值；（2）证明在上为减函数；（3）有集合，，则是否存在点，使？2已知定义在上的函数满足：（a）值域为，且当时有；(b)对于定义域内任意的实数均满足：。

（1）求的值；（2）判断并证明函数的单调性。课后作业：1、已知是定义在上的奇函数，且。若，则有。（1）判断在上的单调性并证明；（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。2、已知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

（a）当是定义域中的数时，有；

（b）是定义域中的一个数；

（c）当时，。试问：（1）的奇偶性如何？说明理由。（2）在区间上，的单调性如何

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