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文档简介

§4．质数模的同余式首先考虑质数模同余式p定理1f(x((o

f()-

a ,

(1)n n1 0证明：由多项式的带余试除法知有二整系数多项式qx及rx使fx(xpx)qxrx且rxp1xxpxp.因此（1）与rx0modp等价。定理2设k≤n，而x≡a(modp) (i=1,2…,k)是(1)的k个不同解，则对任ix来说，f(x)ak证明：由多项式带余除法得f(x)(x

n ) )f

(x)(mod p), (2)f x(xa)f1 1

xrk其中f1

x是首项系数为an

的n-1次多项式而r是一常数.由假设，fa1

0modp.故r0(modp).因此对任何整数x都有fxxaf1 1

xmodp. xai

i2,3,...,k得0fai

i

af1 1

modp但a不api1,2,......kp是质数，故i 1f1 i

0modpi2,...,k由此，显然可以用归纳法证明我们的定理定理3 (1)对任何整数x来说，(2)(Wilson定理)xp 1(xx2)(x(pp).定理4 同余式(1)的解数不超过它的次数.证明：我们用反证法。设（1）的解数不超过n个，则（1）至少有n+1个解，设为xai

p pp,in1.由定理2得;fxan

xa1

xa2

...xan

modp由于fan1

0modpan

a1

a...a2

a0modpnpan

不p,故有一ai

使得a an1

0modp，这与假设矛盾。补充例子：解同余方程：(3x112x85x410(mod7)；4x203x122x73x20(mod5)。解：(原同余方程等价于3x55x42x210(mod7)，用x=0，1，2，3代入知后者无解； (原同余方程等价于2x42x33x20(mod5)，将x=0，1，2 代入，知后者有解x(mod5)。判定2x3x23x10(mod5)是否有三个解；x62x54x230(mod5)是否有六个解？解：2x3x23x1 0(mod5)等价于x33x24x3 0(mod5)又x5x=(x33x24x3)(x23x5)+(6 x212x15)其中r(

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