材料力学-第十三章能量法

Chapter13 (Energy(Energy22第十三章量法(Energy§13-1概述§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading§13-3互等定理（Reciprocal§13-4单位荷载法定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’s(Energy(Energy§13-1概述一、能量方法（Energymethods)利用功能原Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内等的方法二、外力功（Workoftheexternal固体在外力作用下变形,,外力因此而做功,则成为外力功.三、变形能（Strain在弹性范围内,弹性体在外力作用下发的能量,称为弹性变形能,简称变形能 (Energy(Energy44四、功能原理（Work-energy可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对Vε=(Energy(Energy§13-2杆件变形能的计(Calculationofstrainenergyfortypesofloading一、杆件变形能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）轴向拉压的变形能（Strainenergyforaxial当拉力为F1时,杆件的伸长为当再增加一个dF1时,相应的变形增量为此外力功的增dW

) (Energy(EnergyPAGEPAGE7llF

积分得

W dW

l

F

FF 1 F根据功能Vε=W,可得以下变VW1FΔl1F ΔlFl Vε

F F 2EAVεnF2VεnF2 i12EiPAGEPAGE8((Energy当轴力或截面连续变化

lF2(N0N比能（strainenergy单位体积的应变能.记作1

2EA( 1σε σ1

σ

σε

（单位((Energy扭转杆内的变形能（StrainenergyfortorsionalllVεW

Me

M M T e e Vεl2GIp(Vεl2GIp(T2( VεnT i12Gi1或

9((Energy（Strainenergyforflexural 纯弯曲（purebending)

VVWε12Mθe12MMeeM2横力弯曲（nonuniformbendingVεVεM2(el2EI(((Energy组合变形的变形能（Strainenergyforcombined截面上存在几种内力各个内力及相应的各个位移相互独立力独立作用原理成立各个内力只对其相应的位移做功.Vε

F2( T2(

M2(x)l2EA(

l2GIp(

l2EI((Energy三、变形能的应用（ApplicationofstrainFABCabl例题 试求图示梁的FABCabl解Vε

M2(x) 2EI

ala2EI

dx1

x2blb2EI

F F Fa2EIl2 2EIl2 6EIlW1F

Fa2b2 由Vε=W

3EIl((Energy例题 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求截面的垂直位移.已知EI为常量.不计轴力和剪力影 解：M() Vε

M 2EI

2π2

πF2R3 A 8EIW1F2由Vε=W得y

4EI ((Energy例题 拉杆弹性范围内工作.抗拉刚度EI,受到F1和AaBbCAaBbC⑴若先B截面然后C截面⑵若先C截面然后B截面分别计算两种加力方法拉杆的应变能(Energy(EnergyB截面F1,然后C截面abB截面F1,B截面的位ab 外力作W1

F F C1 2 C再在C上加CCC截面的位

F2(aF2

W2

F2(a F2C (Energy(Energy在加F2后,B截面又有abBabB在加F2过程中F1作功（常力作功 W

C 1 C所以应变VW1F 1F C 112F2aF2(ab)FF12 (Energy(Energy若先在C截面加F2,然后B截面加ab在C截面加F2后,F2作 ab F2(a 2EA在B截面加F1后,F1作 FF 2EA(Energy(EnergyabF1C截面的ab

注意

VW1F 1F F C B 2F2aF2(ab)FF 2 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程序无关 (Energy(Energy§13-3互等定理（ReciprocalTheorems的互等定理（Reciprocalworktheorem 两力作用点沿的位移分 1F1F 在结构上再作F3 沿F3和F4方向的相应 F

完成的功

1F1F (Energy(Energy在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有44 F1F2成的功Fδ'F 因此,按先加F1,F2后的次序加力,结构的应 1Fδ1Fδ1Fδ1FδF

F

(Energy(Energy若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结 1Fδ1Fδ1Fδ1FδFδ'Fε2 由于应变能只决定于力最最值,与加力的次序无关,Vε1Fδ'Fδ'Fδ'F1 314功的互等定理（reciprocalwork(Energy(Energy§13-4单位载荷法(定理（Unit-loadmethodormohr’s一、定理的推导（Derivationofmohr’s求任意点A的位移A(Energy(EnergyA先作AF,再作用 F 1、变形图M2(AVεA

2EIVε

M2x 图AAVε1VεVε1

图 ((Energy单位载荷与真任意截面的弯矩

M(x)M([M(x)M(变形能

Vε2

2EI

V

1

[M(x)M(x)]2

2EIV

1

[M(x)M(x)]2

2EIM2(

M2(

M(x)M(

2EI

dx

2EI

dx (Energy(EnergywA

M(x)M(x)

（Mohr’s M(x)M(x) n桁架 Δni 定

Δ M(x)M(x) （Generalformulaformohr’sΔ

FN(x)FN(x)dx

T(x)T(x)dx

M(x)M(x)

注意:上式中应看成广义位移,把单位力看成对应的广义力(Energy(Energy三、使用定理的注意事（1）M（x）：结构在原载荷下的内力 ——去掉主动力,在所求广义位移点,的方向加广义单位力时,结构产生的内力 所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲（4）M（x与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐自由建立（5）积分必须遍及整个结构例题抗弯刚度为EI的等截面简支均布荷载作用,用单位荷法求梁中点的挠度wC和支座A截面的转角.剪力对弯曲的不计A

l

B解:在实际荷载作用下,x截面的弯

实际载荷M(x)

x

(0xl (Energy(Energy

ql/2

A l

Cx求C截面的在C点加一向下的单位力

单位载荷系x截面的弯

M(x)12

(0xl2M(

l/

wClM(x)

2

2EI

x2

2 5ql

A

l

1A

Bx实际载荷求A截面的转A截面加一单位引起x截面的弯

单位载荷系M(x)1x (0xll M(x)

M(x)dx

1(

x

ql

（（顺时针

(Energy(Energy例题图示外伸梁,其抗弯刚EI.用单位载荷法求C度和转角q

x 实际载荷

x 单位载荷F解 F 求截面的挠度（在C处加一单位力

M(x) x

M(x)2(Energy(EnergyAB1CxAB1Cxa x 实际载荷 M(x)qa M(x)

单位载荷 1

2a

x

x)dx

(qax)( EI0

aa(Energy(Energy实际载荷系

单位载荷系 ABCxxa求C截面的转ABCxxa

M(x)qax

M(x)

M(x)qa M(x)

C

(2x3

)dx

0 （ ((Energy例题刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出.不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B解:（1）计算点的垂直位移在点加垂直向下的单位力BalBalCA C(Energya M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) F aM(x)M( lM(x)M( a1EIa1

dx0

EI2Ca (Fx)(x)dx1

实际载荷xAEI2

(Fa)(a)dx 010 Fa

单位载荷6((Energya（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶 A M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) l aM(x)M( lM(x)M(1 1

dx0

EI2

C实际载荷1B1BxxC

(Fx)(0)dx 1

l单位载荷系统l （(Energy(Energy例题图示为一水平面内的曲杆，B处为一刚性ABC=90°C处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别EIGIp，求C点竖向的位移.ABABbaC实际载荷实际载荷Axxba单位载荷AxxbaC解:在C点加竖向单位力 M(x)FxT(x)

M(x)xT(x)0

M(x)T(x)Fb

M(x)T(x)(EnergyAxxbAxxbaAxxba

M(x)M(x)dx

T(x)TEI 11p11abaEI0(Fx)(x)dxEI0(Fx)(x)dxaba1

0

3EI

b3)

(Energy(Energy例题图示为一简单桁架,其各杆的EA相等.在图示荷载作用下AC两节点间的相对位移2a2 桁架求位移的单位载荷2a2

nnΔi

2a2 1

1 实际载荷系

a单位载荷 杆件FNi FNiFNili1012a02-12a23214-12a25-12a26F0a072008-0a0900a0

)

4.12 i

(2

2A,C两点间的距离缩短2例题计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量ABEI=常数FO FO BRF(Energy解 1 1 OA单位载荷AO实际载荷

Mππ

πFR2(1cos)

(Energy(Energy§13-5卡氏定理(Castigliano’s任何刚性位移作用有外力F1,F2,,Fi,相应的位移结构的变形VW1Fδ1Fδ1Fδ (Energy(EnergyFi一个增Fi引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为Δδ1,Δδ2,Δδ3

在作用Fi的过程中,Fi的功

1 1原有的所有力F1Δδ1F2Δδ2FiΔδi结构应变能的增量ΔV1ΔFΔδFΔδFΔδFΔδ2 2(Energy(Energy略去高阶微 1ΔF ΔVεF1Δδ1F2Δδ2FiΔδi如果把原来的力看作第一组力,而把Fi看作第二组力.F1Δδ1F2Δδ2FiΔδiΔFi

或者

i i当Fi趋于零趋于零时上式

这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem） (Energy(Energy说明卡氏第二定理只适用于线性弹性iδi Fi为广义为相应的位一个线一个线一个角位一个相对线相对角一对(Energy(Energy卡氏第二定理的应轴向拉伸与 F2(

F( F(δi ε

2EA扭

δVε

T2(x)dx

T(

T(x)ipip

Fi p

弯δVε

M2(x)dx

M(x)M(x)ii

Fi

(Energy(Energy平面组合变

δi

nn

FNjl

δ

F2(

T2(

M2(

[ N NFN(x)FN(x)dxT(x)T(x)dxM(x)M(x)(Energy(Energy BCAFla(Energy(Energy解

MeMFe MFe Ala

M(x)(

Fa)x

M1(x1

a

M1(x1)x1

M2(x2)Fx2M2(x2)

M2(x2)(Energy(EnergyMFe Ala lMMFe Ala

dx1aM2(x2 M2(x2

1(Fla2Mela

lAl

M1(

M(1 dx11

M2(x2)aa

M(x

1(MelFla （ (Energy(Energy例题刚架结构如图所示.弹性模量EI已知。材料为线弹性.虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移在C截面虚设Ma在D截面虚设一水平力 FRDF1( M) FRAx

CB

(Energy(EnergyCD:M(x)[F