广州市高一下学期期末数学试题(共2套,含答案)

=2X2,2_,25)由已知得罰又因为b--..'3,所以/+L-3二牙电二??3又因为’’所以acW6,当且仅当于匚二立时，ac取得最大值11；73V7此时Eg20.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n^N*).求证数列｛an｝是等比数列，并求an；(口)已知集合A=｛x|x2+aW(a+1)x｝，问是否存在实数a,使得对于任意的n^N*都有Sn^A?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【考点】数列与函数的综合；数列递推式.【分析】(I)先由条件构造等式(a-1)Sn1=a(an1-1)与已知条件作差求出数列｛aj的递推公式，再对数列｛an｝的递推公式变形即可证数列｛an｝是等比数列，再代入等比数列的通项公式即可求出an；(口)先对a分情况讨论分别求出对应的集合A和Sn，再分别看是否满足对于任意的nGN*都有SnGA.进而求出a的取值范围.【解答】解：(I)当n=1时，V(a-1)S1=a(a1-1)，Aa1=a(a>0)n22时，由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)得(a-1)Sn1=a(an1-1).•.(a-1)an=a(an-an〕)，变形得：=a(n三2)nnn-1an-l故｛an｝是以a1=a为首项，公比为a的等比数列，.・.an=an(n)(1)当a=1时，A=｛1｝，Sn=n，只有n=1时SnGA，a=1不适合题意a>1时，A=｛x|1WxWa｝,S2=a+a2>a,.°.S2A，即当a>1时，不存在满足条件的实数a当0VaV1时，A=｛x|aWxW1｝而Sn=a+a2+...an=T因此对任意的nWN*,要使Sn£A,只需0VaV1,解得0<aW寺综上得实数a的范围是(0,寺］.已知二次函数f(x)=x2-4x+a+3,若函数y=f(x)在［-1,1］上存在零点，求实数a的取值范围；若函数y=f(x),xG［t,4］的值域为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为7-2t?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由(注：区间［p,q］的长度为q-p).【考点】二次函数的性质.【分析(1)由题意可得-a-3=x2-4x在［-1,1］上有解，求得y=x2-4x在［-1,1］的最值，即可得到所求a的范围；(2)对t讨论，分t^2,t=0,0VtV2,tVO,运用二次函数的单调性，可得最值，结合区间的长度，解方程即可得到所求t的值.【解答】解：(1)函数y=f(x)在［-1,1］上存在零点，可得：x2-4x+a+3=0即-a-3=x2-4x在［-1,1］上有解，由y=x2-4x在［-1,1］上递减，可得最小值为-3,最大值为5.即有-3W-a-3W5，解得-8WaW0；(2)函数y=f(x),xG［t,4］,当t±2时，区间［t,4］为增区间，即有函数的值域为［t2-4t+a+3,a+3］,__由a+3-(t2-4t+a+3)=7-2t,解得t=3+iP(3-；迈舍去);当t=0时，f(x)在［0,2］递减，(2,4］递增，可得最小值为-1,最大值为3.3-(-1)=4工7-2t；当tVO时，f(t)>f(4),f(x)在［t,4］的最小值为a-1,最大值为f(t)=t2-4t+a+3,由t2-4t+a+3-a+1=7-2t,即t2-2t-3=0,解得t=-1(3舍去)；当0VtV2时，f(t)Vf(4),f(x)在［t,4］的最小值为a-1,最大值为f(4)=a+3,3由a+3-a+1=7-2t，即7-2t-4=0,解得t=.综上可得，存在常数t=3+】2,-1或〒，使区间D的长度为7-2t.已知数列｛an｝满足条件：对任意的nGN*，点(1,n2)在函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+_+anxn(nGN*)2k2的图象上，g(x)=',数列｛bn｝满足％=三,bn+1=g(bn),nGN*,求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；试比较f(寺)与bn的大小(其中nGN*)【考点】数列与函数的综合.【分析】(1)将点(1,n2)代入函数解析式，求得Sn=n2,n±2时，由an=Sn-Sn_1,即可求得an=2n-1,验证当n=1成立，由题意可知bn+1=,构造等比数列，根据等比数列通项公式即可求得｛bn｝的通项公式；(2)将x=寺代入f(x)的解析式，利用“错位相减法"求得f(寺)的解析式，与(1)所求的bn的通项公式,当n=1时,比较大小,当n±2,分别求得f(寺)与bn的极限值,即可比较大小.【解答】解：(1)设数列｛an｝的前n项和为Sn,

则Sn=a1+a2+a3+^+an=f(1)=n2,当n=1时，a]=S]=1,...当n±2时，an=Sn-Sn_1=n2-(n-1)22n-1,*.*n^2时，an=2n-1对于n=1也同样适用，an=2n-1，nGN*.bn+1=g(bn)=匕+1，n丄1丄、丄1.•・b-1=五a-1)，b-1=7cn+l2&1占・•・数列｛古-1｝是以寺为首项，号为公比的等比数列,]1-1=W)n，・・也=-2数列｛an｝通项公式为an=2n-1，｛bn｝的通项公式叫二孑亍-;1111丄(2)f()=可+3乂孑+5乂£+...+(2n-1)两边都乘以寺，可得寺f(£)=(£)2+3(£)3+5(专)4+...+(2n-1)(号)n+1，两式相减，得号f(号)=(号)+2(号)2+2(寺)3+...+2(寺)n-(2n-1)(寺)n+1,Ifl-(丄严一1]122*」，、1寸-(2n-1)(亍)n+1，31=空-(2n+3)(可)n+1，则f(亍)=3-(2n+3)(寺)n,nGN*bn=