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考点02常用逻辑用语一、单选题.已知a,b为实数,则“右>加”是>0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据—>妍得到根据/一从>0得到。>匕20或。〈力W0,再根据选项即可得到答案.【详解】由6>脑得到由"-廿〉。,即/>。2,得到。>62。或。<0.故“&>筋”是"/一从>o”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断,属于简单题..下列结论错误的是( )A.命题“若x—3x-4=0,则x=4"的逆否命题为“若xW4,则x—xTr。”“x=4”是“x?—3x-4=0”的充分条件C.命题“若m>0,则方程x2+x—m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若布+胡=。,则m=0且n=0”的否命题是"若m^+nZWO,贝ijmWO或nWO”【答案】C【解析】【分析】写出原命题的逆否命题,可判断A,根据充要条件的定义,可判断8;根据方程f+X—机=0有实根=△=1+4/n鹿=>/«——.即可判断C.写出原命题的否命题,可判断Z).4【详解】解:命题“若/一3*-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x*4,则/一3%一4*0",故A正确;Kx2-3x-4=0'o"x=4或x=l",故"x=4”是“/一3%一4=0”的充分不必要条件,故B正确;对于C,命题“若6>0,则方程/+》一6=0有实根”的逆命题为命题“若方程f+x—6=0有实根,则6>0,方程f+x—m=0有实根时,A=1+ m-•\,故C错误.命题“若//?+/=0,则=0且〃=0"的否命题是“若H().则加¥0或〃。0",故正确;故选C.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了四种命题,命题的否定,充要条件等知识点,属于中档题..使不等式凶42成立的一个必要不充分条件是( )A.|x+l|<3B.|x+l|<2C.log2(x+l)<lD.由W【答案】A【解析】【分析】解出五个不等式的解集,利用集合之间的关系可以判断出结果.【详解】因为|x|<2=-2WxW2,|x+l区3=TWxW2,|x+l|<2<»-3<x<l,iog2(x+i)<i»-i<x<i,「2!0|》区2且*/0。-24》<0或0<%42,kl2因为{x|-2WxW2}{%M<X<2},所以使不等式|x|<2成立的一个必要不充分条件是故选A.【点睛】本题考查了必要不充分条件,考查了绝对值不等式、对数不等式的解法,用集合之间的关系判断充分、必要条件是解题关键,属于基础题..a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0【答案】D【解析】【分析】A,ab=O是非充分非必要条件:8,是a,b中至少有一个不为零的充分非必要条件;。,是a,b中至少有一个不为零的非充分非必要条件;。,是a,b中至少有一个不为零的充要条件.即得解.【详解】A,ab=O是a,b中至少有一个不为零的非充分非必要条件;ab>0是a,b中至少有一个不为零的充分非必要条件;a2+b2=0是a,b中至少有一个不为零的非充分非必要条件;D,a2+b2>0,则a,b不同时为零:a,b中至少有一个不为零,则/+/>0.所以J+bZ>。是a,b中至少有一个不为零的充要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.TOC\o"1-5"\h\z.a<0,b<0的一个必要条件为( )A.a+b<0 B.a-b>0a, a ,C.->1 D.-<-lb b【答案】A【解析】【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】a+b<0^>a<0,b<0,而a<0,〃<0?ab<0,则A正确;a-b>0^>a<0,b<0,a<0,b<0^a-b>0,则B错误:->1^a<0,b<0,a<0,b<0=/>->\,则C错误;h b-<-1=^a<0,b<0,a<0,b<0^>-<-l,则D错误;b b故选A【点睛】本题主要考查了必要条件的判断,属于基础题..“x>0"是“xhO”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.解:对于“x>0"=>“xWO”,反之不一定成立.因此“x>0”是“xWO”的充分而不必要条件.故选A..若集合A={x|x>。},下列各式是“aeA”的充分不必要条件的是()A.a>—\B.a>\ C.a>0 D.a>0【答案】B【解析】【分析】根据要求可知:待求结果可推出aeA,但是aeA无法推出待求结果,然后判断选项.【详解】集合4={x|x>0},当。>1时,a&A,反之不成立,即为充分不必要条件,所以正确选项为B.【点睛】现有集合若A是B的充分不必要条件,则有At)8:若A是B的必要不充分条件,则有4VB..已知p:x>0,4:/>0,则( )A.4是。的充分条件 B.9是。的必要条件C.命题是真命题 D.命题是假命题【答案】B【解析】【分析】根据口、。的中x的范围判断是充分或者必要条件;再根据命题的定义来判断是否是命题或者命题的真假.【详解】当x>o时,可以得到》2>0,即所以《是。的必要条件,原语句不是命题形式,不能判断真假,所以c、d错误,所以正确选项为B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念以及命题的概念,难度较易..设全集为U,集合M、N是U的两个非空子集,则A/cN=0是((^用)口(<^")=[/的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用(CuM)d(CuN)=Cu(McN),判断互相之间的关系.【详解】因为(Cu“)d(CuN)=Cu(McN),则McN=0与(CuM)u(CuN)=U等价,所以正确选项为C.【点睛】本题主要考查集合交集、并集、补集的定义与运算,属于中档题..命题“对任意xwR,都有/+2%<1”的否定是( )A.对任意xeR,都有V+2x>lB.对任意xeR,都有V+2xNlC.存在xeR,使得Y+2x>1D.存在xeR,使得丁+2》21【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的直接得到其否定命题.【详解】解:命题“对任意xeR,都有f+2x<l”的否定是存在xeR,使得V+2x21.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定,是基础题..命题“VxeR,V—f+L,。”的否定是( )A.不存在xj—片+L,。B.存在x0eR,x;—xj+L,。C.对任意的xeR,x3-x2+1>0D.3jq)gR,xj-Xq-+1>0【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可.【详解】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意的xeR,V—f+L,。”的否定是:存在公^??,焉一x:+l>0.故选D.【点睛】本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属于基础题..命题“Vxw(o,l),x2-x<0”的否定是( )A.3x0«(0,1),-x0>0 B.3x0e(O,l),-x0>0C.Vx0g(O,l),Xq-x0<0 D.Vx0e(O,l),-x0>0【答案】B【解析】【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】•.•“全称命题”的否定一定是“特称命题”,二命题wVxg(0,1),X2-x<o”的否定是我€(0,1),片一二NO,故选B.【点睛】本题主要考查命题的否定,还考查理解辨析的能力,属于基础题..已知命题“小e/?,使2/+(。一1»+_140”是假命题,则实数。的取值范围是()
2A.(F-1) B.(-1,3)C.(-3,+00) D.(-3,1)【答案】B【解析】【分析】原命题等价于2/+(4-1n+->0恒成立,故-4x2x-<0即可,解出2 2不等式即可.【详解】因为命题“玉e7?,使2x?+(a—1)xh■-W0”是假命题,所以2x?+(a—1)xh■—>02 2恒成立,所以4=(a-l)2—4x2x;<0,解得一1<。<3,故实数。的取值范围是(—1,3).故选B.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.而二次函数的恒成立问题,也可以采取以上方法,当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时,可以直接采用判别式法.14.命题“3x0gR,有一玉)+1<。”的否定是(A.HxeR,x2-x+1>0 B.3xeR,x2-x+l>0C.VxeR.x2-x+1>0 D.VxeR.x2-x+l>0【答案】D【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“*oeR,x:—七+1<0”的否定是“DxeR,x2-x+l>0w故选D【点睛】本题考查的是特称命题的否定,较简单..设x>0, 则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1>一2不能推出|1|>卜2|,反过来,若x>|y|则x>y成立,故为必要不充分条件..以下三个命题:①“x>2”是“f-3x+2N0”的充分不必要条件:②若。人4为假命题,则〃,4均为假命题;③对于命题〃:使得Y+x+lcO;则是:Vxe/?,均有f+x+lNO.其中正确的个数是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【答案】B【解析】【分析】①求出不等式f-3x+220的解集然后再判断两集合的关系,从而得出结论.②用A联结的两个命题,只要有一个为假则这个复合命题即为假.③根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】①不等式Y一3x+2N0,解得X22或XW1,
;{x|x>2} {*|》22或%41}所以x>2=x2—3x+2no,x2-3x+2>0=/>x>2,“x>2”是“x2-3x+2NO”的充分不必要条件.①正确;②若。人4为假命题,则P,4至少有一个为假,故②错误:③命题,:玉wR使得V+x+lvO的否定一jP为VxeR,均有/+*+120.③正确,故选B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定,属于基础题..设A是奇数集,8是偶数集,则命题“VxeA,2xe8”的否定是 ()A.A.2xgB B. 2x&BC.Vx史A,2xe8 D. 2xgB【答案】A【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题,排除C,D,的否定为2xe8.【详解】“VxeA,2x生B”即“所有xeA,都有2xe8”,它的否定应该是“存在xgA,使2xeB",所以正确选项为A.【点睛】本题考查全称命题的否定,注意任意要改成存在,考查对命题否定的理解..命题“已知y=N-1,VxeR都有mWy”是真命题,则实数加的取值范围是 ()A.m>-\B.m>-\ C.m<-\ D.m<-\【答案】C【解析】【分析】VxeR都有"Wy是真命题,可转化成“4ymi…求出丫<„而=一1,从而得到“4一1.【详解】由已知y=W-1,得yN-l,要使VxwR,都有成立,只需加4一1,所以正确选项为C.【点睛】全称命题中与不等式的交汇问题,经常转化成研究不等式的恒成立问题..关于命题''当时,方程/一2》+机=0没有实数解”,下列说法正确的是 ()A.是全称量词命题,假命题A.是全称量词命题,假命题B.是全称量词命题,真命题C.是存在量词命题,假命题 D.是存在量词命题,真命题【答案】A【解析】【分析】对加目1,2]的理解是机取遍区间[1,2]的所有实数,当m=1时方程有解,从而判断原命题为假命题.【详解】原命题的含义是“对于任意方程彳2一2工+m=0都没有实数解”,但当,〃=1时,方程有实数解尤=1,故命题是含有全称量词的假命题,所以正确选项为A.【点睛】判断命题是特称命题还是全称命题,要注意补上省略词,同时注意判断命题为假命题时,只要能举出反例即可..下列命题中,是真命题的全称量词命题的是 ()A.对于实数有/+〃一2”—2b+2<0B.梯形两条对角线相等C.有小于1的自然数D.函数y=H+l的图象过定点(0,1)【答案】D【解析】【分析】由于命题A,B为假命题,故排除A,B,选项C含存在量词,故排除C.【详解】选项A是全称量词命题,/+从_2。_2b+2=(。一1『+仅一厅W0,故A是假命题;B是假命题:''存在小于1的自然数”,C是存在量词命题;D项,对于所有jteR,函数y=h:+l的图象过定点(0,1),所以正确选项为D.【点睛】本题考查含全称量词命题真假性判断,注意是必需同时考虑两个条件..已知命题p:VxeR,%2-*+1>0,则可()A.Hx€R>%2—x+1<0 B.VxgR>%2—x+1<0C.BxgR,x2-x+1>0 D.Vxe/?.x2-x+1>0【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据全称命题与特称命题的关系,可得命题P:WxeR,*2一%+1>0,则一x2-x+l<0>故选A.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定,其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题..命题“mceR,x2+2x+2W0”的否定是()A.VxeR,x2+2%+2>0 B.Vxe/?,x2+2x+2<0C.BxeR,x2+2x+2>0 D.BxeR,x2+2x+2>0【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识,选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题,注意到要否定结论,故A选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定,属于基础题..设xeR,则"0<x<5”是“l<2x+l<3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D,既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式l<2x+l<3求得x的范围,根据充分、必要条件的概念判断出正确选项.【详解】由l<2x+l<3解得0<x<l,所以“0<x<5”是的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法,考查充分、必要条件的判断,属于基础题..命题“存在实数x,,使x>1”的否定是()A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x41C.对任意实数x,都有x41 D.存在实数x,使x41【答案】C【解析】【分析】【详解】解:特称命题的否定是全称命题,否定结论的同时需要改变量词.•.•命题”存在实数X,使X>1”的否定是“对任意实数X,都有X这1”故选C.25.命题“三/<O,xo220”的否定是( )A.Vx<0,x2<0 B.Vx<0,x2>0C.丸>O,jco2>0 D.3x0<0,xo2<0【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定形式,即可求解.【详解】解:命题“3/40,玉)22()”的否定形式为:“VxW0,f<0”.故选A.【点睛】本题考查命题的否定形式,注意全称量词与特称量词的转换,属于基础题.二、填空题1 326.已知不等式a-l<x<a+l成立的充分不必要条件是一<x<一,则实数a的取值范围是2 2一13'【答案】;【解析】zX U-L一【分析】首先根据题意得到;,弓。从而得到《 再解不等式组即可得‘227 a+\>-TOC\o"1-5"\h\zI 2到答案.3【详解】因为不等式。一1<%<。+1成立的充分不必要条件是:<x(二,2所以0("T"+l)・a-\<—23a+l>—2故答案为:1_22]【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数,属于简单题..已知P:T<A<O,q:函数y=^2一质-1的值恒为负,则。是q的条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】由口成立,分析可知根据二次函数的图象和性质可知q成立,反之可举例知q成立推不出P成立.【详解】当T<Z<0时,k<0且△=公+4%=左(%+4)<0,所以函数y=^2一乙一1的值恒为负;反过来,函数y=^2一"一1的值恒为负不一定有t(女<o,如当%=。时,函数y=Ax?-履一1的值恒为负.所以/,是夕的充分不必要条件故答案为:充分不必要【点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,二次函数的图像与性质,属于中档题..若“》2>1”是“*<加”的必要不充分条件,则实数加的最大值为.【答案】-1【解析】【分析】由丁>1得出龙的范围,再根据必要不充分性,得出两个范围的包含关系,从而得出结果.【详解】由/>1得x<-l或r>l,:f>1”是“x<6”的必要不充分条件,二c(-00,-1)51,+00),故答案为一1.【点睛】本题考查充分性和必要性,利用在小范围可以推出在大范围,在大范围不能推出在小范围来解决问题,是基础题..下列所给的p,q中,p是q的充要条件的为.(填序号)①若a,bWR,p:a2+b2=O,q:a=b=O;②p:|x|>3,q:x2>9.【答案】①②【解析】【分析】分别证明充分性和必要性,即可判断①;根据不等式的性质结合,结合充分性和必要性的定义判断②.【详解】①若@*+1)2=0,则a=b=0,即pnq;若a=b=0,则/+1/=0,即qnp,故p=q,所以P是q的充要条件.②由于p:1x|>3=q:x2>9,所以p是q的充要条件.故答案为:①②【点睛】本题主要考查了充要条件的证明,属于中档题..若“x>3”是“X〉。”的充分不必要条件,则实数。的取值范围是.【答案】a<3【解析】【分析】根据充分不必要条件的含义,即可求出结果.【详解】因为“x>3”是“x>a”的充分不必要条件,:.a<3.故答案为:a<3.【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题..已知“xe(TO,-2)5°,+8”是“xe伏,攵+1]”的必要不充分条件,则女的取值范围是【答案】左<一3或%>0【解析】【分析】根据必要不充分条件对应真子集关系,然后判断两个集合的关系从而可求参数范围.【详解】由已知“xe(fo,-2)5°,+8)”是“xe[A#+l]”的必要不充分条件,则,[Z,&+1]U(to,-2)d(0,+oo),所以左+1<-2或女>0,得左<-3或A>0,所以答案为Z<-3或左>0.【点睛】集合A8,若A是B的充分不必要条件,则有AU3;若A是3的必要不充分条件,则有aVb..设全集U,有下面四个命题:①AcB=A;②雷A?uB;③6BcA=0;④①Ac8=0,其中是“ArB”的充要条件的命题序号是.【答案】①②③【解析】【分析】根据集合间的运算与性质判断是否是“A=8”的充要条件.【详解】由集合的运算性质,AcB=A=Ag3;瘠A?1780A=8;68cA=0oAq8,所以①②③正确,④dAc8=0o8=A,所以正确答案为①②③.【点睛】。是q的充要条件可以得到:poq;P是4的充分件可以得到:P=>q;。是4的必要条件可以得到:qnp..“三根6人,使得方程一2%+1=0有两个不同的实数解”是真命题,则集合4=:【答案】且加彳0}【解析】【分析】求出使方程的2-2%+1=0有两个不同的实数解的根的取值范围,从而得到集合4.【详解】方程的2一2工+1=0有两个不同的实数解,当机=0时,方程只有一个解,不符合条件,所以znwO且△=4一46>0,解得且加。0,所以答案为{”|“<1且mH。}.【点睛】本题考查方程有两个不同解问题,由于方程的2一2》+1=0没有明确是二次方程,所以对实数m分两种情况讨论,即加=0或机。0..已知下列命题①“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”;②“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题;③“至少存在一个实数X,使得国20”是含有存在量词的真命题;④“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题。其中正确的有.【答案】②③④【解析】【分析】命题①是全称命题,其否定为特称命题,所以应成写“存在实数不大于0",故①错误:其余都是正确的.【详解】①“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0",所以它的否定应该是“存在实数不大于0",所以①错误;②"三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”,所以②正确;同理③④也正确.所以答案为“②③④”.【点睛】全称命题的否定为特称命题,注意体现把任意改写成存在.三、解答题.已知p:x<—2,q:x<a,若p是q的必要条件,求实数a的取值范围.【答案】(-8,-2]【解析】【分析】令人=反以〈-2},B={x|x<a},由必要条件的定义得出BUA,即可得出实数a的取值范围.【详解】令A={x|x〈-2},B={x|x<a}因为P是q的必要条件,所以q=P,则BUA故实数a的取值范围是(-8,-2].故答案为:(-8,—2]【点睛】本题主要考查了根据必要条件求参数的范围,属于基础题..已知都是非零实数,且x>y,求证:!<1的充要条件是孙>0.尤V【答案】见解析【解析】【分析】根据充要条件的定义进行证明即可.1 1 1 1 .y-x .【详解】(1)必要性:由一〈一,得 <0,即^——<0,x y x y xy又由x>y,得y-x<0,所以—>0.(2)充分性:由外>0及x>y,x y 11得一>上,即一〈一.xyxy xy综上所述,的充要条件是个>0.xy【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键..已知p:x<-2,q:x<a,若。是夕的必要不充分条件,实数"的取值范围是什么?【答案】(—8,-2)【解析】【分析】把命题p是q的必要不充分条件,转化为集合q是。的真子集,结合集合的包含关系,即可求解.【详解】由题意,命题。是“的必要不充分条件,即集合“是夕的真子集,又由命题P:x<-2,q:x<a,所以。<一2,即实数”的取值范围是(-8,-2).【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定及应用,其中解答中把命题的关系转化为集合包含关系是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算能力..设集合4=卜,+3*+2=()},B= +(/n4-l)x+/n=0|;(1)用列举法表示集合A;(2)若是xwA的充分条件,求实数m的值.【答案】(1)A={-1,-2};(2)6=1或m=2【解析】【分析】(1)解方程求集合A,(2)若xeB是xwA的充分条件,则8=A,然后求解集合3,根据子集关系求参数.【详解】(1)x2+3x+2=0=>(x+1)(x+2)=0即x=-l或x=-2>A={-1,-2};(2)若xe5是xw4的充分条件,则81A,x2+(m+l)x+/n=O=(x+l)(x+m)=0解得x=-l或工=一",当机=1时,8={-1},满足BqA,当,”=2时,5={-1,-2),同样满足BqA,所以m=1或m=2.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系,以及充分条件和子集的关系,属于基础题型..已知A={x|V—3ox+2/>0,a>()},B={x|x?-x—62。},若xeA是xe8的必要不充分条件,求实数。的取值范围.3【答案】0<。(一2【解析】【分析】先解出B的范围,根据B是A的真子集求解范围即可。【详解】解出B={x|xW—2或xN3},A={x|x<a或r>2a,a>01因为xgA是xw3的必要不充分条件,所以B是A的真子集.[a>—2所以{2a<3=0<a<3>03故答案为:0<。<一2【点睛】此题考查简易逻辑和集合,注意将条件通过充分必要条件翻译为集合的子集关系,属于简单题目。.判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若。,则4”的形式.(1)垂直于同一条直线的两条
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